單層與多層球形容器爆破壓力的概率分布

劉小寧，劉岑，張紅衛，劉兵，袁小會，陳剛

1.武漢軟件工程職業學院機械工程學院，湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430205

單層與多層球形容器爆破壓力的概率分布

劉小寧1，2，劉岑2，張紅衛1，劉兵1，袁小會1，陳剛1

1.武漢軟件工程職業學院機械工程學院，湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430205

為了建立壓力容器可靠性設計方法，基于59組實測數據，應用數理統計理論與方法，定量分析了材料屈強比范圍為0.336 2~0.847 5與徑比范圍為1.053~1.257的單層與多層球形容器爆破壓力的概率分布.結表明，在顯著度為0.05時，其爆破壓力的實測值與中徑公式計算值之比，是基本符合正態分布的隨機變量；在雙側置信度為98%時，該隨機變量的均值為1.001 3~1.049 7，標準差為0.068 95~0.095 95；在可靠度為99.98%時，爆破壓力的實測值與中徑公式計算值與之比為0.644 5~1.358 1.

單層與多層；球形容器；爆破壓力；中徑公式；概率分布

0 引言

球形容器是壓力容器的常見類型，也是石油、化工、醫藥與能源等行業的常用設備.球形容器的結構可分為單層與多層兩種形式.目前，工程上采用確定性方法設計球形容器，即采用中徑公式計算球形容器爆破壓力并確定容器壁厚［1-2］.

由于容器的幾何尺寸、容器制造材料的抗拉強度存在隨機不確定性［3］，因此，基于隨機不確定性，探索球形容器爆破壓力概率分布，是建立壓力容器可靠性設計方法的基礎，也是工程界研究的熱點課題［4－7］.分析球形容器爆破壓力概率分布包括兩方面，一是研究爆破壓力分布規律，即分析其概率密度函數的形式，二是探討分布參數的取值范圍.對于用相同材料制造的單層與多層球形容器，文獻［8-9］基于少量試驗數據，定性分析了其爆破壓力的分布規律與參數.

文中以用相同或者不同材料制造的單層與多層球形容器為研究對象，基于容器爆破壓力的59組試驗數據［10－12］，應用數理統計理論與方法［3，13－16］，定量研究了球形容器爆破壓力的分布規律與分布參數的取值范圍.

1 理論分析

1.1 球形容器爆破壓力計算公式

為研究方便，對球形容器作如下基本假設：1）球形容器有n層，每層球殼材料有足夠韌性，不發生低應力破壞；2）在內壓作用下，每層球殼變形后形狀保持不變，材料的壓縮可忽略不計；3）每層球殼的間隙足夠小，即容器各層球殼同時爆破，多層球形容器的爆破壓力為每層球殼爆破壓力之和.

如果不考慮有關因素的不確定性，采用中徑公式時，球形容器爆破壓力的計算值ub為

式（1）中，ub為采用中徑公式（1）得到的球形容器爆破壓力計算值，MPa；Rmi為第i層球殼材料抗拉強度的均值，MPa；Ki為第i層球殼徑比的均值，Ki＝Di＋1／Di；Di、Di＋1分別為第i層球殼內、外直徑的均值；φi為第i層球殼焊接接頭系數的均值.

如果考慮有關因素的不確定性，用中徑公式可得到球形容器爆破壓力的預測值ub/為

1.2 構建具有統計性質的隨機變量

為分析球形容器爆破壓力的概率分布，構建如下隨機變量：

式（3）中，Pb為球形容器爆破壓力的實測值，MPa；r為與式（1）對應的隨機變量；r1為容器爆破壓力實測值與預測值的比值；r2為容器爆破壓力預測值與計算值的比值.

根據數理統計理論［3，13－15］，當r1和r2基本符合正態分布時，r也基本符合正態分布時，如果已知r1和r2在（1－α）的雙側置信度時分布參數范圍

式（4～5）中，μ1、μ2分別為r1、r2的均值；S1、S2分別為r1、r2的標準差.在一定置信度下，上標l與u分別表示分布參數的較小值與較大值.

根據可靠性理論與方法［3，14-15］，在（1－α）的雙側置信度時，r的參數范圍由式（4）與式（5）可得

式（7）中，μ、S分別為r的均值與標準差.

1.2.1 r1的概率分布當r1基本符合正態分布時，其分布參數必須由容器爆破壓力實測值與預測值的比值來確定，對于m組有效實測數據，根據式（3）可得到第j組實驗數據的統計量為

式（8）中，Pbj為第j組容器爆破壓力的實驗值，MPa；Ubj′為第j組容器爆破壓力預測值，MPa.

r1的準確度與精密度分別為

在（1－α）的雙側置信度時，r1的均值與標準差的分布區間為［3，14-15］

式（11）中，tm－1，0．5α，tm－1，1－0．5α分別是單側置信度為0．5α與（1－0．5α）時的t分布系數.

式（12）中，χ2m-1,1-0.5α，χ2m-1,0.5α分別是單側置信度為（1－0．5α）與0．5α時的χ2分布系數.

文中所用的有關系數如表1所示［3，13－15］.

表1 系數Table 1 Coefficient

1.2.2 r2的概率分布由于影響爆破壓力預測值的物理量是隨機變量，有關國家通過標準限制這些物理量的誤差范圍，把其控制在允許值內，因此，r2基本符合正態分布.對于按標準設計、制造與檢驗的球形容器［1－2］，在雙側置信度為（1－α）時，r2的均值與標準差的分布區間為［8-9］

1.2.3 r分布的概率密度函數根據數理統計理論［3，13－15］，當r1、r2基本符合正態分布時，r也基本符合正態分布，其概率密度函數為

1.3 Pb的概率分布

在相同的試驗條件時，爆破壓力的計算值ub是確定量，如果Pb也基本符合正態分布，取雙側置信度為（1－α），根據式（1）、式（3）、式（6）與式（7）可知，Pb的均值與標準差的分布區間為

式（16～17）中，μpb、σpb分別為Pb的均值與標準差.

Pb分布的概率密度函數為

將式（16）與式（17）代入式（18）可得

若試驗條件相同，由式（1）得到的爆破壓力計算值ub是確定量，根據式（19）可知，Pb與r的分布規律相同，即Pb基本符合正態分布，但是兩者的分布參數不同.

1.4 Pb的取值區間

根據式（16）與式（17），取Pb最苛刻的分布參數為（μlub，Suub）時，爆破壓力的實測值位于取值區間

的可靠度為

式（21）中，β為可靠度系數；φ（β）為標準正態積分.

2 概率分布的假設檢驗與分布參數

2.1 實測數據及有效性分析

文獻［10］提供了4組單層球形容器爆破壓力實測數據，文獻［11］提供了7組由相同或者不同材料制造的多層球形容器爆破壓力實測數據，有關的試驗數據如表2所示.關于r1統計量的準確度與精密度如表3所示.

表2 單層與多層球形容器的爆破壓力試驗數據Table 2 Single-layer and multilayer spherical vessel burst pressure test data

表3 r1的統計數據Table 3 Statistics data of r1

由于試驗數據有效性對物理量概率分布的分析有重要影響［13－15］，因此，在雙側置信度為98%時，必須分析表2中試驗數據的有效性.采用文獻［14］的方法可知，有效性判別指標的絕對值均小于t10，0．99（等于2．764），表明有98%的把握認為表2中試驗數據都是有效的.

2.2 r1概率分布的假設檢驗

對r1概率分布可采用假設檢驗的方法為［3，14－16］，假設r1基本符合正態分布，根據11個有效試驗數據，因為1＋3．3lg11＝4．44，因此，把r11、r12、…、r111分為4個區間，其f＝4－1－2＝1，取δ＝0．05，由表1可知，皮爾遜統計量的允許值χ21，0.05＝3．841.每個分組區間的皮爾遜統計量之和如表4所示.

由表4可知，當用式（1）計算球形容器爆破壓力時，r1的皮爾遜統計量χ2σ為0．675 2，小于臨界值3．841，表明在顯著度為0．05時，r1基本符合正態分布.

表4 r1的皮爾遜統計量χ2σTable 4 Statistic χ2σof r1

2.3 r分布參數的取值區間

當球形容器材料屈強比范圍為0．591 9～0．847 5，徑比范圍為1．053～1．128時，由于r1基本符合正態分布，因此，取雙側置信度為98%，將表3中有關統計數據代入式（11）與式（12），得到r1分布參數的取值區間

由以上分析可知，r基本符合正態分布，將式（22）、式（23）、式（13）、式（14）代入式（6）與式（7），可得到r分布參數在雙側置信度為98%時的取值區間

2.4 Pb的概率分布

根據以上分析，r1與r基本符合正態分布，因此，用式（1）計算球形容器爆破壓力時，Pb基本符合正態分布，把式（24）與式（25）代入式（16）與式（17），在98%的雙側置信度時，球形容器爆破壓力Pb參數的分布區間

2.5 實測爆破壓力的取值區間

根據式（26）與式（27），爆破壓力最苛刻分布參數為（μlub，Suub）＝（1．001 3ub，0．095 95ub）時，取可靠度為R＝φ（3.719）＝99．98%，將有關數據代入式（20），可得實測爆破壓力的取值區間即有99．98%的把握認為，球形容器實測爆破壓力的取值區間由式（28）確定.

3 驗證

為證明式（28）的正確性，應用文獻［12］提供的48組單層特種球形容器實測爆破壓力進行驗證，如表5所示.

表5 48組單層球形容器實測爆破壓力的驗證Table 5 Verification of 48 groups burst pressure measured of single-layer spherical vessel

由表5可知，48組單層特種球形容器爆破壓力實測值，均在式（28）的取值區間內，表明對于徑比范圍為1．114～1．257與屈強比范圍為0．336 2～0．520 8的單層球形容器，文中的分析與研究也有一定的試驗基礎.

4 結語

對于單層球形容器，以及用相同或者不同材料制造的多層球形容器，基于59組材料屈強比范圍為0．336 2～0．847 5，徑比范圍為1．053～1．257的球形容器爆破壓力的實測數據，定量分析與驗證了其爆破壓力概率分布，研究表明：

a．顯著度為5%時，球形容器爆破壓力實驗值與中徑公式計算值的比值，是基本符合正態分布的隨機變量；在98%的雙側置信度時，該隨機變量均值的范圍為1．001 3～1．049 7，標準差的范圍為0．068 95～0．095 95.

b．可靠度為99．98%時，球形容器爆破壓力實測值與中徑公式計算值之比不小于0．644 5但不大于1．358 1.

c．用中徑公式計算球形容器爆破壓力，會出現計算值大于實測值的結果.

致謝

感謝湖北省教育廳科研項目（B2014209）對本研究的資助!

［1］中華人民共和國國家標準．GB 150．1～150．4－2011，壓力容器［S］．北京：中國標準出版社，2012．

National Standard of the People’s Republic of China．GB 150－2011 Steel pressure vessel［S］．Beijing：Chinese Standard Press，2012．（in Chinese）．

［2］中華人民共和國國家標準．GB12337－1998，鋼制球形儲罐［S］．北京：中國標準出版社，1998．

National Standard of the People’s Republic of China．GB 12337－1998 Steel spherical tanks［S］．Beijing：Chinese Standard Press，1998．（in Chinese）

［3］徐灝．機械強度的可靠性設計［M］．北京：機械工業出版社，1984．

XU Hao．Mechanical strength reliability design［M］．Beijing：Mechanical Industry Publishing House，1984．（in Chinese）

［4］袁小會，劉岑，吳元祥，等．單層厚壁圓筒容器爆破壓力的分布規律與參數［J］．武漢工程大學學報，2014，36（2）：49－55．

YUAN Xiao－hui，LIU Cen，WU Yuan－xiang，et al．Distribution law and parameters of monolayer thickwall cylindrical vessel burst pressure［J］．Journal of Wuhan Institute of Technology，2014，36（2）：49－55．（in Chinese）

［5］劉小寧，張紅衛，韓春鳴，等．耐壓試驗時薄壁內壓容器靜強度的可靠度［J］．機械設計與研究，2013，29（1）：39－40，45．

LIU Xiao－ning，ZHANG Hong－wei，HAN Chunming，et al．Reliability of Thin－walled internal pressure vessels static strength in pressure test［J］．Machine Design＆Research，2013，29（1）：39－40，45（in Chinese）．

［6］劉小寧，劉岑，張紅衛，等．鋼制薄壁內壓容器靜強度最小安全系數的研究［J］．現代制造工程，2014（9）：130－133．

LIU Xiao－ning，LIU Cen，ZHANG Hong－wei，et al．Study on the minimum safety factor of static strength for Thin－walled internal pressure vessel［J］．Modern Manufacturing Engineering，2014（9）：130－133．（in Chinese）

［7］劉小寧，張紅衛，韓春鳴．基于模糊可靠度的薄壁外壓容器穩定性設計［J］．機械強度，2011，33（2）：217－224．

LIU Xiao－ning，ZHANG Hong－wei，HAN Chun－ming．Stability design of steel thin wall external pressure vessels based on fuzzy reliability［J］．Journal of Mechanical Strength，2011，33（2）：217－224．（in Chinese）

［8］劉小寧，劉岑，張紅衛，等．球形容器靜強度的分布規律與參數［J］．壓力容器，2012，29（8）：26－30．

LIU Xiao－ning，LIU Cen，ZHANG Hong－wei，et al．New methods of calculation distribution law and parameters of the spherical vessel static strength［J］．Pressure Vessel Technology，2012，29（8）：26－30．（in Chinese）

［9］劉小寧．球形容器靜強度概率分布研究［J］．石油化工設備，2004，33（4）：17－19．

LIU Xiao－ning．Study on probability distribution of spherical vessel static strength［J］．Petro－Chemical E-quipment，2004，33（4）：17－19．（in Chinese）

［10］李生昌．壓力容器爆破壓力的確定［J］．化工機械，1987，14（2）：120－126．

LI Sheng－chang．Burst pressure determination of pressure vessel［J］．Chemical Engineering Machinery，1987，14（2）：120－126．（in Chinese）

［11］鄭津洋，匡繼勇，徐平，等．多層超高壓容器爆破壓力研究［J］．化工機械，1994，21（5）：271－277．

ZHENG Jin－yang，KUANG Ji－yong，XU Ping，et al．Research intobursting pressures of the multi－layered super－high pressure vessel［J］．Chemical Engineering＆Machinery，1994，21（5）：271－277．（in Chinese）．

［12］柳愛群，尹益輝，劉興福．基于實測數據的特種球形壓力容器爆破壓力計算公式［J］．應用數學和力學，2014，35（11）：1232－1238．

LIU Ai－quan，YIN Yi－hui，LIU Xing－fu．Reconstructed formulas calculating bursting pressures of the special spherical pressure vessels based on experimental data［J］．Applied Mathematics and Mechanics，2014，35（11）：1232－1238．（in Chinese）．

［13］化學工程手冊編輯委員會．化工應用數學［M］．北京：化學工業出版社，1983：23－28，369－375．

Editorial Board of Chemical Engineering Handbook．Chemicalapplicationmathematics［M］．Beijing：Chemical Industry Press，1983：23－28，369－375（in Chinese）．

［14］李清，袁小會，劉岑，等．有效試驗數據對鋼材機械性能分布規律的影響［J］．武漢工程大學學報，2015，37（4）：69－73．

LI Qing，YUAN Xiao－hui，LIU Cen，et al．Validity test data effect on steel mechanical properties distribution law［J］．Journal of Wuhan Institute of Technology，2015，37（4）：69－73．（in Chinese）．

［15］劉智敏．誤差與數據處理［M］．北京：原子能出版社，1981．

LIU Zhi－min．Errors and data processing［M］．Beijing：Atomic Energy Press，1981．（in Chinese）

［16］劉小寧，劉岑，吳元祥，等．超高壓圓筒形容器爆破壓力計算公式的比較［J］．機械強度，2015，37（2）：373－376．

LIU Xiao－ning，LIU Cen，WU Yuan－xiang，et al．Burst pressure caculation formula compare of superhigh pressure cylinder vessel［J］．Journal of Mechanical Strength，2015，37（2）：373－376．（in Chinese）

Probability distribution of burst pressure in single-layer and multi-layer spherical vessel

LIU Xiao-ning1,2，LIU Cen2，ZHANG Hong-wei1，LIU Bing1，YUANG Xiao-hui1，CHEN Gang1
1.School of Mechanical Engineering,Wuhan Polytechnic College of Software and Engineering,Wuhan 430205,China; 2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuhan Institute of Technology,Wuhan 430205,China

To establish the reliable design method of pressure vessel,the probability distribution of single-layer and multi-layer spherical vessel burst pressure was analyzed;Based on 59 set test data,applying statistical theory and methods,we explored quantitatively the probability distribution of burst pressure of single-layer and multi-layer spherical vessel with the material yield and tensile strength ratio of 0.336 2-0.847 5 and the radius ratio of 1.053-1.257.The results shows that the ratio of the measured burst pressure values and middiameter formula theory value is consistent with the normal distribution of random variables at the saliency of 0.05；the mean values of the random variable are 1.001 3-1.049 7，and the standard deviations are 0.068 95-0.095 95 at two-sided confidence of 98%;the ratios of the measured burst pressure value and the mid-diameter formula calculated value are 0.644 5-1.358 1 when the reliability is 99.98%.

single-layer and multi-layer；spherical vessel;burst pressure；mid-diameter formula;probability distribution

TH 49

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2015.07.011

1674－2869（2015）07－0049－06

本文編輯：陳小平

2015－05－07

湖北省教育廳科研資助項目（B2014209）

劉小寧（1963－），男，湖北武漢人.教授，正高職高級工程師.研究方向：機械結構與壓力容器可靠性等.