球頭銑刀動力學模型的仿真算法分析

孫孟琴

（長春工程學院機電學院，吉林 長春 13001230012）

對球頭銑刀銑削加工過程簡化為具有相互垂直的兩個自由度的集中質量塊，系統在X與Y方向的數學模型［1］表達式如下：

球頭銑刀的動力學模型被假設為在二維坐標系X，Y下的二個自由度的振動模型，進給方向延著X軸。銑刀的N個齒被假設為等距，當第j齒切削位置時，將參與切削的切削刃上的切削力累加后，在X與Y方向上總球頭銑刀的動態銑削力表達式如下：

第j齒的轉角位移為：

R0為球頭刀最大半徑；φ為螺旋滯后角。

由方程式1-3可以看到，由于球頭銑刀銑具有2個以上刀齒，對及切削厚度的再生效應，兩個方程均為二階常系數非齊次線性微分方程，這類非齊次線性微分方程的解析基本無法實現，由20世紀80年代以來開始的計算機技術，用計算機的數值計算進行仿真的方法越來越多地被應用到復雜的模型當中，即用仿真算法將原始的數學模型轉換成計算機上能運行的仿真模型，用仿真算法求解這類常系數非齊次線性微分方程，從而對球頭銑刀的動力學特性進行仿真。

1 球頭銑刀動力學模型常見的計算機仿真算法

通常求解常微分方程初值問題的數值方法可分為兩類：

單步法：計算第i個點處的值時，只用到第i-1個點處的數值信息；

多步法：計算第i個點處的值時，要用到第i+1個點之前的多個網絡點處的數值信息；

用數值方法求解常系數非齊微分次方程時，現常用到的數值算法有：Simpson方法、Eluer方法、顯式Runge-Kutta方法、Adams方法、基于數值積分的Eluer方法等［2］。

1.1 Euler方法

在一段兩點構成的區間上，任取一些節點，將這些節點進行離散化，離散化的方法采用數值微分，即將常系數非齊微分次方程轉化為差分方程，算法簡單，把原來方程降階為一階的方程，將節點處離散的解作為近似的解。此Euler方法在求解的過程中，節點間的仿真步長較大時，求解時仿真步數就會增加，帶來的誤差將慢慢擴大。如果節點間的仿真步長較小時，求解步數增加，求解效率下降。求解過程中，誤差的產生與各離散點的計算值誤差有關，也與步長大小相關。此Euler方法在求解常系數非齊微分次方程時，雖然簡單，但是精度只用一位數，精度不高。

1.2 基于數值積分的Eluer方法

基于數值積分Eluer方法是將區間內的節點采用高階數值積分來對節點進行離散化，即將常系數非齊微分次方程轉化為數值微分方程。基于數值積分的Eluer方法，解決了步長對求解精度的影響，只要節點步長適當，方程的收斂性與求解精度都高于基于數值微分的Eluer方法，但是如果節點步長不合適，使求解時誤差被放大，仿真結果會失真，計算失敗，它的精度是二位數。

1.3 Simpson方法

Simpson算法是近似計算定積分的方法，由此導出常系數非齊微分次方程求解公式屬于隱式求解，多步算法，也由此常系數非齊微分次方程的求解精度為四位，不能再提高了，但是方程求解的收斂性與穩定性都高于前兩者（基于數值微分的Eluer方法、基于數值積分的Eluer方法），可是求解時一直有較大誤差。

1.4 顯式Runge-Kutta方法

目前是一種應用很廣的算法，該方法是單步算法，簡單的理解是一階Runge-Kutta方法是基于數值微分的Eluer方法，二階Runge-Kutta方法是基于數值積分的Eluer方法，最經典的是四階Runge-Kutta算法，即對節點上的離散值進行線組合來代替求解高階導數，也就是用Taylor離散法建立的差分方程，此方法在求解動力學方程時具有很好的收斂性與數值穩定性，方法簡練，但是離散方法要求方程解具有良好的光滑性，才能使近似解準確趨近，如果沒有好的光滑性，那么數值解的精度也許只是一位數。此算法的缺點是每一步的計算工作量都較大，四階以上的Runge-Kutta算法較少被采用。從實際出發，按所要求求解的精度選擇合適的算法，在采用顯式Runge-Kutta方法時，節點處離散解的誤差大于迭代允許誤差時，步長減到一半，再計算，反復到離散點誤差小于迭代允許誤差值為止。反過來，節點處離散解的誤差小于迭代允許誤差時，步長增加，再計算，反復到離散點誤差累加到迭代允許誤差值為止。它的精度是四位的，適合在計算機上進行迭代數值計算。當該方法在球頭銑刀動力學系統微分方程時表現出了較好的收斂性及穩定性，同時在求解過程中始終保持較小的計算誤差。

1.5 Adams方法

Adams方法是多步方算法，它是對節點處采用Lagrange型離散法來進行求解。方程求解的收斂性較好，但是求解過程的穩定性低于Simpson方法和Runge-Kutta方法。因為此方法的初始值誤差累積導致最終的誤碼差較大。

2 總結

由上可以看到Simpson方法、Eluer方法、顯式Runge-Kutta方法、Adams方法、改進的Eluer方法的算法、精度、方程求解的收斂性及穩定性都不同，通過分析與比較，適合兩自由度球頭銑刀銑削加工動力學方程的算法為四階顯式Runge-Kutta方法，求解過程中計算誤差較小，能更好進行動力學性能仿真。

［1］孫孟琴，王立臣.球頭銑刀動力學模型及其銑削加工穩定性的研究［J］.機床與液壓，2012，40（9）：52-54.

［2］吳志強，張晏銘，秦浩東.成格-庫塔法與差分法的比較［J］.成都大學學報，2014，33（4）：337-338.