多種不確定性并存情形下的非常規可靠性度量方法

李玲玲 段超穎 李志剛

多種不確定性并存情形下的非常規可靠性度量方法

李玲玲 段超穎 李志剛

（河北工業大學電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室 天津 300130）

多種不確定性（如隨機性、模糊性和不完全可信性）并存的情形在現實中很常見，但此情形下的可靠性度量并未得到充分研究。本文基于模糊理論和云理論提出了一種適用于上述情形的可靠性度量方法，即：首先針對應力、強度中的模糊變量，根據其不完全可信性采用云理論對其隸屬函數進行云化處理，并在不同可信度下獲得以上、下隸屬函數描述的正態云生成區間值Fuzzy集；然后對上、下隸屬函數進行處理，使其擁有概率密度函數的數學特征，進而采用常規的應力-強度干涉模型計算可靠度的上、下限，構造一個可靠度區間，最終獲得一條由一系列可靠度區間及其相應的可信度構造的分布曲線，以此作為可靠性度量結果。本文方法不僅可綜合處理多種不確定性，且能使更多信息保留在可靠性度量結果中。

可靠性度量 隨機性 模糊性 不完全可信性 區間值 Fuzzy集 正態云

1 引言

常規的可靠性理論以概率論和數理統計為基礎，稱為概率可靠性模型[1-2]，但是它只研究工程設計中存在的隨機現象，僅能處理隨機性而不能處理模糊性、不完全可信性等其他類型的不確定性（所謂不完全可信性，是指人們對相關信息并不完全信任），因此模糊可靠性[3]、能度可靠性、穩健可靠性以及在穩健可靠性基礎上發展起來的區間可靠性[4]等相繼被提出，然而這些方法在綜合處理多種不確定性方面仍存在一定局限性。局限性一方面表現在上述方法只針對一種或兩種不確定性，如以模糊概率公式或截集概念為基礎的模糊可靠性只是探討變量的隨機性和模糊性對可靠度的影響；另一方面表現在可靠性的度量結果上，只用單一值或者區間值表示度量結果并不完善，不能夠滿足工程師快速查找可靠度的需求。當前，將人工智能、計算智能方法[5-8]引入可靠性工程以解決并存于實際問題中的各種不確定因素是一種新的發展趨勢，文獻[9-10]分別提出了一種基于D-S證據理論的系統可靠性分析、評估方法，但是應用證據理論的算法是一個獨立系統，并不能得到常規可靠性與模糊可靠性的聯系；文獻[11]提出了一種基于云理論、可處理多種不確定性的可靠性度量模型，但其可靠性度量結果被表達為一種云分布，實用性較差，不利于為實際問題的解決提供直接指導。

針對這種情況，本文提出一種旨在同時處理隨機性、模糊性和不完全可信性的非常規可靠性度量方法，即基于正態云生成區間值Fuzzy集方法。該方法可以獲得可靠度可信度曲線，適用于已知應力、強度分布或通過計算可以獲得其分布的精密產品的可靠性度量，不僅使度量結果蘊含了比現有方法更多的信息，而且克服了文獻[11]方法“實用性差”的不足。

2 基礎知識簡介

2.1 模糊可靠度計算模型

文獻[12]提出了一種綜合處理隨機不確定信息與模糊不確定信息的可靠度計算方法。該方法在應力、強度為隨機變量、模糊變量的任意組合下都具有可用性，其特點是首先處理應力、強度中的模糊變量，使之具有與隨機變量相同的數學性質；然后借助應力—強度干涉模型獲得一個以分布函數（分布曲線）表達的可靠度度量結果，從而建立起一個可同時處理隨機性與模糊性的可靠度計算模型。以下對文獻[12]中可靠度計算方法做一簡單說明。

（1）當應力、強度變量均為隨機變量時，應用傳統可靠性理論中經典的應力—強度干涉模型進行可靠度求解。應力-強度干涉模型如圖1所示。

圖1 應力-強度干涉模型Fig.1 Stress-intensity interference model

在論域U范圍內，常規可靠性理論中可靠度R計算式為式中，f(s)、g(r)分別為隨機應力、隨機強度的概率密度函數。

當s=r=a時，給出強度一定時產品安全程度和應力一定時產品安全程度的定義，分別用字母表示為P、Q，并有

所以，可以將常規可靠度計算式（1）表示為

若令P為x軸，Q為y軸，當a在U上自由取值、并遍歷 U時，即獲得了無數個序偶（P, Q），則可以得到一條表征產品可靠度的曲線，如圖 2所示，曲線與x軸、y軸所圍面積即為產品可靠度值。

圖2 可靠度分布曲線Fig.2 The reliability distribution curve

（2）當應力、強度變量其中一個為模糊變量或者兩者均為模糊變量時，首先對模糊變量的隸屬函數進行轉換，將其轉換為具有概率密度函數性質的函數；再將轉換好的函數帶入常規可靠性計算方法中計算。

假設模糊變量的隸屬函數為μU(x)，轉換過程按式（3）進行處理。

p(x)便成為了具有概率密度函數性質的函數，稱這個過程為歸一化處理，稱p(x)為歸一化函數，此后可以按式（1）計算模糊可靠度。

2.2 云滴貢獻度

當超熵He=0時，云滴分布為高斯分布，此時所有云滴都分布在高斯曲線上。隨著超熵 He逐漸增大，云滴開始離散，當En-3He＞0時，有99.74%的云滴落在曲線 y1和 y2所圍的區域內，其中，如圖3所示。這就是正態云“熵的 3σ準則”。

圖3 熵的3σ準則Fig.3 The 3σ criterion of Entropy

圖4 超熵的3σ準則Fig.4 The 3σ criterion of Hyper entropy

表1列出了熵和超熵的三個特殊倍數時對應的云滴貢獻度。同樣，可以根據式（4）計算熵和超熵任意倍數時對應的云滴貢獻度。

表1 云滴定性貢獻Tab.1 Qualitative contribution of cloud droplets

2.3 正態云生成區間值Fuzzy集

根據區間值Fuzzy集理論以及云滴對定性概念的貢獻度，給出正態云生成區間值 Fuzzy集的定義[18]。

設 C是論域 U上的定性概念，其正態云的數字特征為(Ex, En, He)，令，其中，，則稱為正態云生成的一個區間值Fuzzy集。該定義說明由云滴產生的隨機數主要（99.74%）落在區間值Fuzzy集C的值域帶子里。根據正態云生成區間值Fuzzy集定義和表 1的內容，可以得出一個衍生概念，n倍正態云生成區間值 Fuzzy集。在正態云生成區間值 Fuzzy集定義中，令，其中，且。稱為n倍正態云生成的區間值Fuzzy集。

該衍生定義與原始定義最主要的區別是將3倍超熵擴展成為[0,3]區間上任意實數倍數的超熵，當取定一個超熵倍數n時，同樣可以求得云滴貢獻度C來表征云滴產生的隨機數落在區間值Fuzzy集的值域帶內的概率，此時，每一個n值都對應一個可信度。可信度T滿足，。比如當n=0時，和相同，均為該云模型的期望曲線，強度的區間值Fuzzy集成為了對應的隸屬函數曲線，即只考慮到了模糊性的曲線，這樣就違背了考慮隨機性、模糊性和不完全可信性這三種不確定性的初衷，所以認為其可信度 T=0、n=3時，應力和強度的區間值Fuzzy集曲線值域帶子很寬，即云模型的厚度較大，不完全可信性取值較大，此時對應的云滴貢獻度雖然很高，但其可信度 T= 0.002 7。圖5展示了當n=1時，有68.26%的云滴落在區間值Fuzzy集的值域帶里，其余云滴落在值域帶外。

圖5 1倍正態云生成區間值Fuzzy集Fig.5 One times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model

3 模型建立及算例分析

直流電機的電磁轉矩受電樞繞組上的電樞電流影響，針對電機轉矩的可靠性能進行分析，假設電流應力變化范圍，電流強度變化范圍。設該型號產品應力變量為隨機變量，且符合正態分布，，強度為模糊變量，其模糊隸屬函數為。根據以上信息建立隨機應力-模糊強度的可靠性度量模型。

在該算例中，應力為隨機變量不作處理，將模糊強度變量根據其不完全可信性采用云理論對其隸屬函數進行云化處理，并在不同可信度下獲得以上、下隸屬函數描述的正態云生成區間值Fuzzy集；然后對強度變量的上、下隸屬函數進行處理，使其擁有概率密度函數的數學特征，進而采用常規的應力-強度干涉模型計算隨機應力、模糊強度模型可靠度的上、下限，構造一個可靠度區間，最終獲得一條由一系列可靠度區間及其相應的可信度構造的分布曲線，以此作為可靠性度量結果。

3.1 建立 3倍正態云生成區間值 Fuzzy集

算例中，應力變量為隨機變量而且概率密度函數已知，就不再做處理；如果針對強度變量源信息可信度為0.9，則強度云模型中的超熵對強度變量建立 3倍正態云生成區間值 Fuzzy集模型，此時 99.74%的云滴落在區間帶子內，模型為

圖6 應力-強度區間值Fuzzy集Fig.6 Stress-intensity interval-valued Fuzzy set model

圖7 3倍正態云生成應力-強度區間值Fuzzy集Fig.7 Three times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model of stress-intensity model

3.2 模糊可靠度計算

由于強度變量的隸屬函數是基于區間值 Fuzzy集的，即分別擁有上、下兩個隸屬函數，以上文中提到的歸一化模糊可靠度計算方法為基礎，根據式（4），針對不同的強度隸屬函數會有不同的可靠度解，所以，對于可靠度的求解會有兩種不同的組合方式：①隨機應力和模糊強度的下隸屬函數組合；②隨機應力和模糊強度的上隸屬函數組合。以組合①為例說明模糊可靠度的求解過程。

強度模糊變量的下隸屬函數為

同時，應力一定時產品安全程度Q為

其中，erf(x)函數為誤差函數，是對一個形如正態分布的概率密度函數利用Matlab計算變上限積分的結果；。

根據應力、強度的安全概率密度函數 P(l)和Q(l)，可以得到部分P、Q的值，見表2。

表2 部分P、Q值Tab.2 A part of numerical values of P、Q

通過仿真計算，得到更多 P、Q值，繪制成模糊可靠度分布曲線，如圖 8所示。

圖8 可靠度分布曲線Fig.8 The reliability distribution curve

再根據式（4）可以算出模糊可靠度為

按照上述計算原理，對強度變量分別建立n倍正態云生成區間值Fuzzy集且），同時求出對應的云滴貢獻度。應用 Matlab編程可以分別得到n倍正態云生成區間值 Fuzzy集時，繼電器對應的模糊可靠度區間、貢獻度及可信度，表3列舉了幾個特殊倍數時對應的數據。

表3 n倍正態云生成區間值Fuzzy集對應的模糊可靠度區間和貢獻度Tab.3 Fuzzy reliability intervals and contributions of n times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model of stress-intensity model

圖9將表3中列舉的數據繪制成了可靠度可信度分布散點圖。

圖9 可靠度-可信度的分布Fig.9 The reliability-credibility distribution

保持超熵不變即He=0.1時，改變n的數值建立應力-強度n倍正態云生成區間值Fuzzy集，進而獲得更多模糊可靠度區間-可信度的數據，圖 10表示n以0.01為步長變化時獲得的可靠度-可信度分布。

文獻[11]提出了可信度的概念，并繪制了可靠度-可信度分布曲線，用來表征“對象的可靠性度量值在某種程度上是值得相信的”這個概念的可信程度。圖 10所示可靠度-可信度曲線，得到了和文獻[11]類似的結果。

圖10 步長為0.01時可靠度-可信度分布Fig.10 The reliability-credibility distribution when step is 0.01

以圖10例均為He=0.1情況下取不同步長時的可靠度-可信度曲線；當超熵變化時，即對模糊變量（本文指強度）的不完全可信性取值變化時，獲得的可靠度-可信度分布曲線，如圖 11所示，兩條曲線說明了超熵的大小對可靠度的影響。可見，超熵的變化并不影響可信度為1時的可靠度取值，只是改變了可靠度-可信度的分布形式。

圖11 He=0.05時可靠度-可信度的分布Fig.11 The reliability-credibility distribution with different Hyper entropys

3.3 繼電器溫度實例

某型號繼電器溫度的變化范圍為-40～70℃，認為此區間為溫度強度區間，若溫度應力的變化范圍為-60～40℃，假設其溫度應力和溫度強度均為模糊變量，且隸屬函數如下，取超熵為 0.1時，云化的區間值Fuzzy集模型如圖 12所示。

圖12 3倍正態云生成應力-強度區間值Fuzzy集Fig.12 Three times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model of stress-intensity model

由圖 12可以看出應力與強度干涉區域較大，根據式（2）可以計算出模糊可靠度為=0.685，圖 13為步長為0.1，超熵為0.1時獲得的繼電器溫度應力強度的可靠度可信度分布圖，由圖 13中可以讀出可靠度為0.685時對應的可信度為1，與計算結果相符。

圖13 步長為0.1時可靠度-可信度分布Fig.13 The reliability-credibility distribution when step is 0.1

由圖 13可以看出繼電器溫度為例，可靠度在[0.68,0.69]區間范圍內變化，可靠性能較低。同樣可以得出超熵為 0.1，步長為 0.01時可靠度可信度分布曲線，如圖 14所示。

圖14 步長為0.01時可靠度-可信度分布Fig.14 The reliability-credibility distribution when step is 0.01

4 結論

在常規的可靠性分析中，除了隨機不確定信息和模糊不確定信息，通常還需要處理不完全可信的不確定信息，為此，本文提出了基于正態云生成的區間值Fuzzy集模型，能夠同時處理上述不確定性，并得出如下結論，該可靠性度量模型適用于應力、強度變量為隨機或模糊的任意組合，可以應用到機械、電器產品的可靠性度量中，由于獲得的模糊可靠度精度較高，該模型尤其適用于對于可靠性要求較高的領域中。

（1）不完全可信性則存在于對源信息的可靠性的信任程度以及對于同一概念的不同認知。利用正態云的超熵來考慮源信息的不完全可信性解決了對第三種不確定性的處理。

（2）對于含有模糊信息的變量，對變量建立區間值Fuzzy集，利用其上、下隸屬函數計算模糊可靠度，并用區間表示，這個過程考慮了變量的模糊性；而且利用云模型對區間值Fuzzy集進行云化，將云滴的隨機性與模糊性融合了起來。

（3）可靠性度量結果以一條由一系列可靠度區間及其相應的可信度構造的分布曲線來表示，由結果中不僅可以看出可靠度的趨勢，讀出某可靠度區間及其對應的可信度，還可以繪制不同超熵情況下的可靠度曲線。

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Study of Unconventional Reliability Measure Methods in the Case of Several Uncertainties Coexisting

Li Lingling Duan Chaoying Li Zhigang

（Province-Ministry Joint Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability Hebei University of Technology Tianjin 300130 China）

A variety of uncertainties including randomness, fuzziness and incomplete credibility coexist in reality. Even though this situation is common, it is not fully researched. An unconventional method is proposed which can deal with above-mentioned uncertainties. This method is based on fuzzy theory and cloud theory. First, make the incomplete credibility information of fuzzy stress and intensity variables cloudization by using the theory of cloud. And get the Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy sets which are described by the upper and lower membership functions at different credibility. Then, deal with upper and lower membership functions to make them have the mathematical characteristics of probability density function. In this way, the upper and lower limit values can be calculated with conventional stress-intensity interference model and a reliability interval can be constructed. At last, the reliability measure results curve which consists of a series of reliability intervals and their corresponding credibility can be obtained. The method not only can deal with a variety of uncertainties comprehensively, but also can keep more information in reliability measure results.

Reliability measure, randomness, fuzziness, incomplete credibility, int erval-valued Fuzzy sets, Gaussian cloud

TB114.3

李玲玲 女，1968年生，教授，博士生導師，研究方向為電器可靠性、電力系統及其自動化。

國家自然科學基金（51377044, 51475136），河北省自然科學基金（E2014202230）和河北省高等學校創新團隊領軍人才培育計劃（LJRC003）資助項目。

2014-07-30 改稿日期 2014-09-19

段超穎 女，1990年生，碩士研究生，研究方向為電器可靠性檢測技術。