真空無奇點黑洞的擬正則模:無質量標量場擾動

奉勇輝, 劉道軍

(上海師范大學 天體物理研究中心,上海 200234)

真空無奇點黑洞的擬正則模:無質量標量場擾動

奉勇輝, 劉道軍

(上海師范大學 天體物理研究中心,上海 200234)

摘要:研究帶有de Sitter中心的球對稱黑洞在標量場擾動下的擬正則模.幾何上來講,這種黑洞在半徑r很大的時候趨近與史瓦西解形式,在r 趨于0 的時候是de Sitter 解形式的.在這里通過變化參數r0 (它與宇宙學常數有關),角量子數l,泛音數n和黑洞質量M 來研究這個黑洞的擬正則模ω .計算結果發現:擬正則模在隨r0 的變化出現極大值和極小值,同時對于一定范圍的r0,當擬正則模隨泛音數n變化時也會出現極值現象,這是值得關注的.

關鍵詞:真空無奇點黑洞; 擬正則模; 6階WKB近似

黑洞是愛因斯坦廣義相對論的重要預言之一.根據霍金和彭羅斯的黑洞奇點理論[1],黑洞中不可避免地存在時空奇點.然而,奇點的存在使一切物理定律在這里都失效.因此,怎樣避免黑洞中的奇點是非常重要的研究方向.1968 年Bardeen 構造了第一個無奇點黑洞,即存在事件視界的無奇點的黑洞,而且滿足弱能量條件[2].盡管Bardeen 黑洞在理論上是自洽的,但它在物理解釋上一直不令人滿意.原因是愛因斯坦方程在中心處不存在真空解,如果要得到真空解必須引入額外的物質形式或者修改引力.直到Ayon-Beato 和Garcia[3]把它解釋為與某種非線性磁單極子耦合的引力場,Bardeen 黑洞才得到大家的重視.

1992年,Dymnikova根據一個特殊形式的球對稱的真空能動張量獲得愛因斯坦方程的一個精確解析解,當r足夠大時,它與史瓦西解一致,當r很小時,它的性質與de Sitter 解類似,但它在任何地方都不存在奇點[4].這個愛因斯坦方程解沒有用到電動力學或其他的理論,所以通過對這個黑洞的擾動的擬正則模的研究,將有助于了解對不帶電的無奇點黑洞的性質.

眾所周知,存在于人們周圍的每個物體當它們受到擾動時都產生專屬于自己的振動的特征模.當黑洞受到物質場的擾動時,它會以引力波的形式產生輻射,從而產生屬于自己的振動特征模.一般情況下只考慮線性微擾,這樣擾動的能動張量在黑洞的背景度規中通過最低階的線性近似才能被忽略不計.引力波在時空中的演化可以恰當地分為3個階段,引力波的初始爆發階段,此階段依賴于擾動的初始條件,持續時間短,因此一般不作為研究對象.擬正則模階段,屬于較長時間的固有振蕩的衰減期,它與初始條件無關,是黑洞的內稟振蕩.晚期拖尾階段,這個階段引力波的衰減受到黑洞遠處時空的反向散射,對于漸進平坦黑洞,擬正則模的衰減被冪律形式的衰減代替.

近年來,黑洞(包括非廣義相對論中的黑洞)的擬正則模得到了廣泛研究比如[5-6],這方面的詳細綜述可見[7-8].其原因首先源于實驗的興趣.在不久的將來引力波很可能被LIGO,VIRGO和LISA 等引力探測器探測到.由于擬正則模只與黑洞的物理性質有關,所以這些探測將有助于鑒別黑洞的物理特性.另一方面則由于Ads/CFT 對應.AdS/CFT為應對一些困難的問題提供了新的思考問題的角度,例如黑洞信息不守恒,黑洞奇點的性質和量子引力等[9].在計算擬正則模方面,主要有連分數法,WKB 近似,Poshl-Teller 勢近似法,半解析的單值法等等,這方面的詳細綜述可見[10].這里本文作者應用Konoplya 給出的六階WKB近似公式計算擬正則模[11].

1真空無奇點黑洞的無質量標量場擾動

在這一節,將引入真空無奇點黑洞的無質量標量場的擾動.真空無奇點黑洞的度規[4]

(1)

其中,G=c=1,

(2)

彎曲空間中的無質量標量場Φ滿足克萊因-高登方程

(3)

上式可以通過假設標量方程Φ分離變量,

(4)

(5)

其中

(6)

這里l是球諧函數的角動量量子數.當r→,x→∞ 而且r→r+,x→+∞.所以,滿足物理性質的邊界條件為

(7)

如前文所述,真空無質量黑洞當r足夠大時,它與史瓦西解一致,當r適當小時,它的性質與de Sitter 解類似,但它在任何地方都不存在奇點.而其擬正則模只與黑洞視界的外部有關,度規函數f(r)和有效勢V(r) 隨相關參數的變化如圖1和圖2所示:

從圖1和圖2可以看出,有效勢在視界視界外是正定的.因此,根據錢德拉塞卡的觀點,真空無奇點黑洞在無質量標量場的擾動下是穩定的[12].

2六階WKB近似法計算擬正則模

應用六階WKB近似公式計算擬正則模.由上節給出的有效勢公式,可以計算真空無奇點黑洞的擬正則模如下[11],

(8)

其中V0是有效勢的最大值,V0″是有效勢最大值處的二次導數的值.Λ2,Λ3可以在S.Iyer和C.M Wil的文章[13]中找到,Λ4,Λ5,Λ6可以在 Konoplya的文章[11]中得到.這里n是泛音數,擬正則模記作w=wR-wI.

下面計算真空無奇點黑洞的擬正則模隨質量M的變化結果如圖3和圖4.

從圖3和圖4可以看出,隨著質量M的增大,擬正則模的實部和虛部也同時減小.它們的變換與史瓦西黑洞的情況相同.對比Bardeen 黑洞的擬正則模也具有相同的性質[14].

下面,計算真空無奇點黑洞的擬正則模隨角量子數l的變化,結果如圖5~6所示.這里要注意,WKB 近似方法在l>n時的計算結果更為精確,所以選擇泛音數n=1作為比較.

從圖5~6可以看出,對于n=1,擬正則模的實部隨角量子數l的增加呈線性增加,虛部隨角量子數l的增加而減小,最終隨角量子數l的增大趨于一個穩定值.對比S.Fernando 和J.Correa 計算的Bardeen黑洞的擬正則模也存在相同的變換性質[14].

3結論

參考文獻:

[1]HAWKING S W,PENROSE R.The singularities of gravitational collapse and cosmology[M].London:Proc Roy Soc Lon A,1970.

[2]BARDEEN J M.Proceedings of GR5[M].USSR:Tbilisi,1968.

[4]DYMNIKOVA I.Vacuum Nonsingular Black Hole[J].Gen Relativ Gravit,1992,24:235-242.

[5]LI X Z,HAO J G,LIU D J.Quasinormal modes of string black hole[J].Phy Lett B,2001,507:312-361.

[6]LIU D J,YANG B,ZHAI Y J,et al.Quasinormal modes for asymptotic safe black holes[J].Class Quantum Gravity,2012,29:145009.

[7]NOLLERT H P.Quasinormal modes:the characteristic ′sound′ of black holes and neutron stars[J].Class Quantum Gravity,1999,16:159-216.

[8]BERTI E,CARDOSO V,STARINETS A O.Quasinormal modes of black holes and black branes[J].Classical Quantum Gravity,2009,26:163001.

[9]HOD S.Bohr′s Correspondence Principle and the Area Spectrum of Quantum Black Holes [J].Phys Rev Lett,1998,81:4293-4296.

[10]KONOPLYA R A,ZHIDENKO A.Quasinormal modes of black holes:From astrophysics to string theory[J].Rev Mod Phys,2011,83(3):793-836.

[11]KONOPLYA L R A.Quasinormal behavior of the D-dimensional Schwarzschild black hole and the higher order WKB approach[J].Phys Rev D,2003,68:024018.

[12]CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].London:Oxford University Press,1992.

[13]IYER S,WILL C M.Black-hole normal modes:A WKB approach.I.Foundations and application of a higher-order WKB analysis of potential-barrier scattering[J].Phys Rev D,1987,35(12):3621-3631.

(責任編輯：顧浩然)

[14]FERNANDO S,CORREA J.Quasinormal modes of the Bardeen black hole:Scalar perturbations[J].Phys Rev D,2012,86:064039.PENROSE R.The singularities of gravitational collapse and cosmology[M].London:Proc Roy Soc Lon A,1970.

Quasinormal mode of a vacuum non-singular black hole:masslesssscalar perturbationsFENG Yonghui, LIU Daojun

(Shanghai United Center for Astrophysics,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

Abstract: :In this paper,we investigate quasinormal mode(QNM) of the spherically symmetric BH with de Sitter centre due to scalar perturbations.This BH is,geometrically,asymptotically Schwarzschild for large r and asymptotically de Sitter as r → 0.We analyze the QNM ω by varying the parameter r0 (it is related to cosmological constant),spherical harmonic index l,overtune n and the BH mass M. According to calculations,we find that the QNM Lhave maximum and minimum with a changing r0,and for some r0 it is worthy to attention that the QNM have extreme with a changing overtune n

Key words:vacuum non-singular BH; QNM; 6-order WKB approximation

通信作者:奉勇輝,中國上海市徐匯區桂林路100號,上海師范大學天體物理研究中心,郵編:200234,E-mail:1046240759@qq.com

基金項目:上海市自然科學基金項目(12ZR1421700)

收稿日期:2014-11-12

中圖分類號:P 142.9

文獻標志碼:A

文章編號:1000-5137(2015)02-0122-05