通過一題多解，提高學生的解題能力

單 鵬

（江蘇省大豐高級中學）

本人在講周練卷的一道向量題：點O 在△ABC 的內部，且滿足則△ABC 的面積與△AOC 的面積之比是__的時候學生想到了很多種解法，但是又不能把它完全解到底，所以我就利用這個題目與學生小結了向量題的常見解法：

方法一：利用三角形的重心的性質去解

首先向同學們提問：重心有哪些性質？

1.三角形的重心是三條高線的交點，它分中線所成的比為二比一；

2.連結重心與三角形的三個頂點，得到三個小三角形，那么這三個小三形的面積相等，且等于原三角形面積的三分之一；

同學們利用上面三個性質，可以猜一下想如何解決這個問題呢？就有同學想到了構造三角形，讓題設中的O 點成為新的三角形的重心，具體過程如下：

延長OB 到B1使得OB1=2OB，延長OC 到C1使得OC1=4OC，則三角形AB1C1的重心就是O 點了，設△AOC1的面積S，則△AOC 的面積為則△BOC 的面積為則△AOB 的面積為則△ABC 的面積為所以所求面積的比為

點評：該方法從三角形的重心的第三個性質入手，運用構造法，使同學們的解題思路得以順利打開，從而順利地解決了問題。

方法二：利用三點共線的性質來解題

點評：充分運用三點共線找到過渡的點A1，這樣使得各邊的比例關系一目了然，從而順利地解決了該問題。

方法三：利用解析法來解

建立直角坐標系如下圖所示，并設各點的坐標：C（c，0），B（a，b），O（x，y），則將已知條件用坐標表示，并根據縱坐標相等，可得到此即為所求兩個三角形的高之比，而所求兩個三角形是同底的，所以所求兩個三角形的面積的比為

點評：由于所求兩個三角形共底，所以就以這個底所在直線為X 軸，建立坐標系，這樣就把問題轉化成求B 點與O 點的縱坐標之比了。

解法四：利用基底法來解題

由圖可知，B 點到AC 邊距離與O 點到AC 邊的距離的比為所求兩個三角形的面積的比為

黃智華.設置延伸拓展問題的幾種過程.數學通訊，2009（08）.