串聯諧振變換器斷續模式下的建模和控制

摘 要： 建立串聯諧振DC?DC變換器在斷續模式（DCM）下的等效電路，采用注入?吸收電流的方法得到了串聯諧振變換器在斷續模式下控制到輸出的小信號傳遞函數。通過仿真變換器輸出波形與傳遞函數開環輸出波形，驗證了所推導的傳遞函數的正確性。通過Matlab SISOTOOL工具得到其開環幅頻特性曲線和相頻特性曲線，在此基礎上優化設計了變換器控制環路的補償網絡，在補償器控制下，系統的穿越頻率為4.52 kHz，幅值裕度是53.3 dB，相角裕度是78.3°，提高了系統的穩定性和瞬態響應。

關鍵詞： 串聯諧振； 斷續模式； 小信號分析； 補償器

中圖分類號： TN710?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）04?0142?04

0 引 言

諧振變換器是依靠改變開關網絡的工作頻率實現對輸出量的控制的，因此它是一種變頻控制的開關調節系統[1]。諧振變換器的開關動作被設定在零電流或零電壓時刻發生，大大減小了開關損耗；正弦諧振波還能降低高頻諧波噪聲；由于電路是利用LC諧振，電路中的寄生電感和電容能夠得到應用。基于這些優點，諧振變換器得到了廣泛的應用。小信號建模是分析和控制變換器的有力工具。

諧振變換器建模方法有擴展描述函數法[2]、DQ等效法[3]、注入?吸收電流法[4?5]等。擴展描述函數法也是一種適用于諧振類變換器建模方法，根據描述函數理論非線性環節的穩態輸出可看成一個與輸入信號同頻的正弦函數，只是幅值與相位不同。把輸出信號和輸入信號的復數比定義為非線性環節的描述函數，但是其前提是將輸入端開關動作等效成一個統一的函數。DQ等效法將電路中的矢量，從靜止的直角坐標系變換到與電路中矢量相同角速度旋轉的 DQ坐標系中。擴展描述函數法和DQ等效法都是以基波等效法為基礎所建的模型，適用于電流連續模式，并不適用于電流不連續模式。注入?吸收電流法是一種電流連續模式和電流不連續模式下都可用的建模方法。本文采用注入?吸收電流法對工作于電流斷續模式下的串聯諧振變換器的建模展開研究，并在此基礎上設計了滿足要求的補償器。

1 串聯諧振斷續模式建模

當不考慮變壓器時，串聯諧振變換器如圖1所示。其中Vdc為輸入端電壓；Lr為諧振電感；Cr為諧振電容；Cf為濾波電容；R為負載電阻；開關S1～S4是輸入端開關；4個二極管為全橋整流模塊。假設所有的開關和整流器件均為理想原件，不考慮雜散損耗。

1.1 傳遞函數推導

根據電感電流的連續與否，變換器工作模式分為兩種：連續導電模式（CCM）和不連續導電模式（DCM）。當開關頻率大于[12]的諧振頻率時，串聯諧振變換器是工作在電流連續模式下的；當開關頻率小于[12]的諧振頻率時，串聯諧振變換器是工作在電流斷續模式下的，這樣開關工作在零電流（ZCS）條件下，可以降低開關損耗，提高電源的效率。斷續工作模式的半個開關周期包含a，b，c三種工作狀態。假設負載電容值遠遠大于諧振電容的電容，因此在一個諧振周期內，負載電容的電壓上升非常小，在分析過程中將其看成一個恒壓源。根據以上分析；a，b工作模式的等效電路如圖2所示。c表示諧振電流為零時的工作模式（其狀態電路圖省去）。

（1） 工作模式a：導通輸入端S1，S4，輸入端電壓正想接入，與諧振電感和諧振電容、負載等效恒壓源構成一個回路，其工作模式持續時間為半個諧振周期。

此階段的諧振電感電流為：

[iL（t）=Vin-Vo-VmZsinω（t-t0）] （1）

諧振電容電壓為：

[VCr（t）=（Vin-Vo）-（Vin-Vo-Vm）cosω（t-t0）] （2）

其中[Z0=LrCr，ω=1LrCr]，諧振電感的初始電流和諧振電容的初始電壓分別為：[iLr（t0）=0，VCr（t0）=-Vm]。

（2） 工作模式b：導通輸入端開關S2，S3導通，輸入端電壓反向接入電路中。其工作模式持續時間也是半個諧振周期。

此階段的電感電流為：

[iL（t）=Vin+Vo-VaZsin ω（t-t1）] （3）

諧振電容電壓為：

[VCr（t）=（Vin+Vo）-（Vin+Vo-Va）cos ω（t-t1）] （4）

其中[VCr（t1）=Va]；

（3）工作狀態c：輸入端開關全部斷開，這個階段電感電流為0；諧振電容電壓為：

[VC（t）=-Vm] （5）

綜上可以求得：

[Vm=2V0，Va=2Vin] （6）

故一個周期的諧振電感平均電流為：

[I0=2T0t2iL（t）dt=4Vin?fnπ?Z0] （7）

平均電流還可以寫成[I0=V0R。]其中[fn=fsf0，Z0=LrCr]，故增益[M=V0Vin=4fn?rπ]，其中：

[r=RZ0] （8）

綜合式（6）、式（7）可得：

[Vm=V024Vin?fs?Cr?R， Va=V04?fs?Cr?R] （9）

對比式（6）與式（9）可知，這兩個公式是等效的，將Vm和Va寫成與頻率相關的表達式是為了求解輸出電壓到控制頻率的小信號傳遞函數。根據電流注入法，輸出平均電流可以寫成如下形式：

[i0=2fsZ0w0· Vin-V0+Vm（1-cosωta）-Vin+V0-Va（1-cosωta）] （10）

式中設定[cosωta=Vin-V0-VaVin-V0+Vm]。

式（10）包含了所有的擾動變量：輸入電壓、輸出電壓以及控制頻率。令[A=di0dfs，B=-di0dv0，C=di0dvin]，所以輸出到控制的傳遞函數是：

[Hes=AR01+BR0+sCfR0] （11）

從式（11）可以看出，串聯諧振變換器的開環輸出電壓到控制（頻率）的傳遞函數是一個一階的表達式，計算過程簡單清晰。

1.2 結果對比

通過改變電路開關頻率和輸出電壓這兩個的參數，對電路輸出電壓曲線和傳遞函數輸出電壓曲線進行仿真對比。諧振頻率根據諧振電感和諧振電容系數確定為500 kHz；開關頻率在50～200 kHz之間變化；相應的輸出電壓在1.528～6.11 V之間變化。表1中的幾組數據為傳遞函數和變換器輸出電壓的仿真曲線的對比。圖3為輸出電壓對比圖。

從圖3中可以看出開關頻率從50 kHz變化到200 kHz，其傳遞函數輸出電壓曲線和變換器傳出電壓曲線都基本吻合，可以得出結論：根據注入?吸收電流法所求解的串聯諧振（工作在斷續模式下）輸出到控制的傳遞函數是較為準確的。通過分析控制?輸出傳遞函數的幅頻特性和相頻特性，就可以分析出變換器的動態特性，從而為變換器動態性能指標的設計提供參考依據，設計出合理的補償器。

2 補償器設計

2.1 開環系統穩定性分析

變換器各項參數為：輸入電壓Ui=537 V；諧振電感值Lr=8 μH；諧振電容值Cr=0.8 μF ；濾波電容值Cf=200 μF；負載電阻R=4.8 Ω 。使用Matlab工具對控制到輸出的小信號傳遞函數進行仿真，可得變換器開環傳遞函數的幅頻特性和相頻特性，如圖4所示。

開環系統階躍響應如圖5所示。從圖4可知，開環系統是穩定的，穩定裕度是無窮，但是其穿越頻率為0 Hz；由圖5可知，系統的調節時間大約為6 ms，響應速度太慢了。所以需要加入適當的補償網絡來改善其動態響應。

2.2 補償網絡設計

結合變換器主要參數，以及變換器輸出到控制的小信號傳遞函數公式，可以求解出系統未加補償器時的開環傳遞函數如式（2）所示：

[G（s）=0.014 880.000 96s+0.903 7] （12）

采用PID控制器為開關變換器串聯補償器。補償網絡的傳遞函數形式為：

[G（s）=K·1+sωz11+sωz2s1+sωp1] （13）

第一個零點與位于原點的極點組成PI補償網絡，用來緩和PI控制器極點對系統穩定性產生的不利影響；第二個零點設置在系統轉折頻率附近，用來抵消系統轉折頻率處兩個極點的其中一個極點的影響，提高系統相交裕度；極點設置在補償后系統的穿越頻率附近，用來提高系統的高頻抑制能力；增益K的確定是通過SISOTOOL工具獲得。

確定補償后的系統穿越頻率：穿越頻率越高，系統的動態特性越好，但是同時需要考慮開關頻率和其諧波噪聲，以及寄生震蕩引起的高頻分量的有效抑制問題。因此一般設置為0.1～0.2倍開關頻率。

最終確定的補償器的傳遞函數如下所示：[G（s）=3.045 9×105×1+0.001s1-4.7×10-7ss1+4.1×10-5s] （14）

利用Matlab中的SISOTOOL工具對開環系統的傳遞函數進行了仿真，加入補償器后的開環系統的伯德圖如圖6所示。在補償器控制下，開環系統的穿越頻率4.52 kHz，表明系統的動態響應速度得到明顯的提高；幅值裕度是53.3 dB（幅值裕度至少大于10 dB）；相角裕度是78.3°（相位裕度至少大于45°），符合設計要求。

3 仿真實驗結果

為了驗證補償器的性能，對串聯諧振變換器閉環系統進行了仿真分析。圖7為串聯諧振變換器加入閉環控制后的輸出電壓波形。開環系統的調節時間大約為6 ms（如圖4所示），閉環系統的調節時間大約為0.8 ms，超調量大約為1%，響應速度有明顯的提高。當負載電阻由4.8 Ω跳變至8 Ω時（其他參數固定不變），電路輸出電壓動態仿真波形如圖8所示。從圖8可以看出，當負載發生較大突變時，輸出電壓能較快的調節穩定，調節時間大約為1 ms，達到了較好的動態調節性能。

4 結 語

采用注入?吸收電流的方法，建立工作在電流斷續模式下串聯諧振變換器的小信號傳遞函數，其傳遞函數輸出電壓曲線和變換器傳出電壓曲線基本吻合，驗證了傳遞函數的準確性。其傳遞函數是一階的，雖然不完全精確，但足以通過分析其頻率特性來分析電路的動態特性。通過仿真可得到變換器控制?輸出的小信號傳遞函數的頻率特性曲線， 在此基礎上設計了合理的補償器。仿真實驗結果表明，基于串聯諧振變換器的小信號模型設計的補償器改善了電路穩定性以及電路負載瞬變的動態特性。

圖8 負載突變變換器輸出電壓波形（V）

參考文獻

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