高等數學教學中創新思維的培養

楊海霞

（蘭州文理學院師范學院，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

高等數學是理工類的大學生必修的基礎課,也是學習其他課程的一門工具,它扮演著越來越重要的角色.但大部分學生認為高等數學抽象乏味、枯燥難學,學習的主動性不高.為了搞好高等數學的教學,進一步激發學生的學習興趣,教學不但應該傳授數學知識,尤其要結合教學內容,適時地培養學生的創新思維和創造精神,提高高等數學教學的趣味性,思想性,培養學習的主動性,讓數學學習變得簡單起來.本文將結合高數數學的有關內容,從五個方面闡述如何在教學中培養學生的創新思維.

1 歸納思維

在高等數學中,許多重要結果的得出,都可以用到歸納思維,通過這些內容的學習和體驗,可以逐步培養滲透學生的歸納思維.

例1 求某一函數的高階導數時,通常的是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導數,再歸納出n階導數的表達式.

如：求余弦函數y==cosx的n階導數.

例 2 由兩個可導函數的求導法則 （uv）′＝u′v＋uv′可歸納出任意有限個函數之積的法則.如:（u1u2…un）′＝u1′u2u3…un＋u1u2′u3…un＋…＋u1u2…un－1un′.

從一階、二階常系數線性齊次微分方程通解的結構及其求解方法,可以歸納出n階常系數線性齊次方程通解的結構及其求解方法[1];多元函數求條件極值的拉格朗日乘數法,從兩個自變量、一個約束條件,推廣到n個自變量、m個約束條件,也是用歸納的方法得出的[2-3].著名的哥德巴赫猜想,費馬猜想,素數定理等[4-5]都是通過大量觀察、計算……,然后歸納得到的.

2 類比思維

類比就是由此去發現彼（或由彼去發現此）.在教學過程中,將新內容與已經熟悉的知識進行類比講解,不但使學生易于接受、理解、掌握新知識,更重要的是可以培養、鍛煉學生的類比思維,有利于開發他們的創造力.

例3 牛頓二項式展開公式和萊布尼茨公式的類比學習

這些公式比較繁瑣,單純記憶起來不方便,但通過將兩個公式類比,發現將第一個公式中u＋v換成uv,將n次冪換成n階導數(零階導數理解為函數本身),就成了第二個公式,就易于理解和記憶.

例4 立體幾何問題與平面幾何問題的類比學習

在學習多元函數的微積分學時,應與已經學習過的一元函數的微積分相應的概念、理論、方法進行類比學習.

在學完了積分學后應將定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分進行類比,包括它們的定義、性質、計算方法、物理意義等等.通過類比學習，可以達到事半功倍的教學效果.

3 發散思維

在高等數學教學中,通過多種思路培養、訓練學生的更廣闊的思維,將所學知識能夠活學活用,進一步開拓知識視野,提高解決問題的能力.

3.1 一題多解

等等.

這道題目的計算過程中,使用了多種計算不定積分的方法,可以引導學生將所學知識活學活用,讓同學們明白絕對不能以為獲得一種方法以后,作業就完成了,問題就解決了,或把另外的解法當作浪費自己的時間.

（可以用洛必達法則;用等價無窮小的替換定理;用重要的極限；用三角公式變形；等等.）

3.2 一題多變

例7 求微分方程x2dx＝y2dx＋2xydy的通解

它是齊次微分方程,用齊次微分方程的解法求出其通解；

（2）變形為（x2－y2）dx－2xydy=0

所以它是全微分方程,可用全微分方程的解法求出其通解；

它就是伯努利方程,設z＝y2先化為線性微分方程,然后用線性微分方程的解法求出其通解[6].

4 逆向思維

是從已有的思路的反方向去思考問題.在高數的教學過程中,應滲透這種思維的培養,它可以開闊解決某些難題的思路,對解放思想、發現新生事物、開辟新的方向,往往能起到柳暗花明又一村的作用,可以更加激發學習數學的興趣.

4.1 若遇到某些問題順推不行,可以考慮逆推

例 8 求方程 ydx＋（x－lny）dy=0 的通解

解 利用逆向思維,將y視為自變量,x視為因變量 ,解題過程就會變得很容易.方程化為如下的線性方程：

利用線性微分方程的通解公式很容易求出其通解

4.2 若遇到某些問題直接解決困難,想法間接解決

例10 將y=ln（1+x）展成x的冪級數.

解 若用直接展開法將函數展開成冪級數,展開過程中計算f（n）（x）的工作量大,還得討論余項Rn（x）.間接方法,就變得很簡便

5 合理的猜想

大科學家牛頓曾經說過：“沒有大膽的猜想,就作不出大膽的發現.”縱觀數學發展史,可以說,沒有猜想就沒有數學,更沒有數學的發展.例如,著名的哥德巴赫猜想,費馬猜想等.因此,在數學教學中應結合教材重視培養學生數學猜想的能力.

例如,在學習復合函數的求導法則時,利用已經學過的導數的含義（變化率）,引導學生合理的猜想出復合函數的求導法則.

例 11 若 y=f（u）,u＝φ（x）都是可導函數,求

通過大膽的猜想會給學生帶來發現和成功的喜悅,不但可以牢牢記住這些內容,也逐漸提高數學猜想的能力,激發學習數學猜想的樂趣.

總之,在高等數學教學中滲透創新思維的培養,幫助學生在學習、研究、應用數學的過程中讓數學變得活起來,更加深刻理解數學的內容、思想、方法及其應用,增強學習數學的熱情,從而提高教學效果,逐步培養學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.著名教育家蘇霍姆林斯基說：“思維就像一棵花,它是逐漸地積累生命汁液的,只要我們用這種汁液澆灌它的根,讓它受到陽光照射,它的花朵就會綻開.”在數學教學中,創新思維必不可少.S

［1］同濟大學應用數學系.高等數學[M].5版.北京:高等教育出版社,2004.

［2］華東師范大學數學系.數學分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

［3］劉玉璉.數學分析[M].2版.北京:高等教育出版社,1994.

［4］王樹禾.數學思想史[M].北京:國防工業出版社,2003.

［5］朱家生.數學史[M].北京:高等教育出版社,2004.

［6］李心燦,等.高等數學一題多解200例選編[M].北京:機械工業出版社,2002.