基于GM（1，1）和灰色馬爾可夫模型的器材消耗預(yù)測＊

周 浩 黃善忠

（海軍工程大學(xué)兵器工程系 武漢 430033）

0 引 言

裝備維修保障是保持與恢復(fù)裝備和遂行持續(xù)運(yùn)行的有力保證，是影響工業(yè)、軍事航空、交通等領(lǐng)域發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵因素，與工業(yè)生產(chǎn)率、產(chǎn)品質(zhì)量、工業(yè)設(shè)備的可靠性水平、資源消耗、可持續(xù)發(fā)展等問題息息相關(guān)，因此重要裝備維修器材配置策略的重要性就顯得尤為突出，為了制定科學(xué)合理的維修器材配置策略，本文利用GM（1，1）模型和馬爾可夫過程的綜合模型對器材消耗量進(jìn)行預(yù)測.

1 GM（1，1）預(yù)測模型

中國學(xué)者鄧聚龍教授在1982年創(chuàng)立了灰色理論，而GM（1，1）又是灰色理論體系中最先發(fā)展的理論之一，能在“小樣本”和“貧信息”條件下對數(shù)據(jù)進(jìn)行有效預(yù)測［1］，建模過程如下

1）設(shè)x（i）（0）為原始序列，進(jìn)行累加得x（1）（t）.（i） （t＝1，2，…，n）

2）建立GM（1，1）模型的微分方程：

式中：a 為 發(fā) 展 系 數(shù)；b 為 灰 作 用 量；z（1）（t）為x（1）（t）的緊鄰均值生成序列［2］.

3）利用最小二乘法對a和b估計(jì)［3］得到：

2 基于GM（1，1）模型的器材消耗預(yù)測

表1是近年來某器材消耗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)信息，下面利用灰色理論模型對消耗量進(jìn)行預(yù)測.

表1 某器材消耗情況表

1）取前5組數(shù)據(jù)作為樣本，對最后2組（即第15，16a）消耗數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，建立 GM（1，1）模型，通過 matlab編程［4］得到a＝－0.095 8，b＝18.486，得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)＝213e0.0958t－193.從而得到原始數(shù)據(jù)的測算值為（t）＝（22，24，26，28，32，34，38，42，45，47，49，52，55，57，59）

2）取前13組數(shù)據(jù)作為樣本，對最后2組消耗數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，基于同樣的方法，得到時(shí)間函數(shù)：＾x（1）＝1528e0.0173t－1 508.從而得到原始數(shù)據(jù)的測算值為（t）＝ （27，27，27，28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，34，34）

將上述計(jì)算結(jié)果繪制成圖1.由圖1可知，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)呈規(guī)律性變化時(shí)（如前9組），2種數(shù)據(jù)樣本的測算結(jié)果相差不大（都不是很精確），而后幾組樣本數(shù)據(jù)無規(guī)律變化造成13組樣本數(shù)據(jù)的測算結(jié)果比5組樣本數(shù)據(jù)的測算結(jié)果略好，但顯然上述測算精度都無法滿足現(xiàn)實(shí)需求，說明GM（1，1）模型對于具有指數(shù)變化規(guī)律的數(shù)據(jù)有較好的擬合效果，但對于隨機(jī)變化的數(shù)據(jù)就無法獲得滿意的預(yù)測效果.因此需要對GM（1，1）模型進(jìn)行改造，從而得到更具有普適性的數(shù)據(jù)預(yù)測方法.

圖1 不同樣本數(shù)據(jù)條件下GM（1，1）測算結(jié)果

3 灰色馬爾可夫預(yù)測模型

灰色馬爾可夫模型的基本思路是首先建立GM（1，1）模型，得到預(yù)測序列，然后用預(yù)測序列和實(shí)際序列的相對差序列，來進(jìn)行狀態(tài)空間的劃分［5］，通過原始數(shù)據(jù)序列落入各狀態(tài)的點(diǎn)計(jì)算出轉(zhuǎn)移概率矩陣，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對未來的變化趨勢做出估計(jì)［6－7］.

1）狀態(tài)劃分 根據(jù)GM（1，1）模型求出預(yù)測序列，以預(yù)測曲線為基準(zhǔn)，劃分成與預(yù)測曲線平行的若干條形區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域構(gòu)成一個(gè)狀態(tài)，這樣就將一個(gè)隨機(jī)序列劃分成n個(gè)狀態(tài).任一狀態(tài)?i（k）＋ Bi. 條 形 區(qū) 域 的 上 限 Ai為max ［x（0）（k）－＾x（0）（k）］，條 形 區(qū) 域 下 限Bi為max［x（0）（k）－＾x（0）（k）］.

式中：Mi為系統(tǒng)處于狀態(tài) ?i的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)；Mij（k）為狀態(tài)?i經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到?j狀態(tài)的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù).

4 基于灰色馬爾可夫模型的器材消耗預(yù)測

1）利用表1數(shù)據(jù)，建立GM（1，1）模型 取前14組數(shù)據(jù)，建立GM（1，1）模型，通過matlab編程解算得到a＝－0.017 3，b＝26.095 7，代入時(shí)間函數(shù)得到＝1 528e0.0173t－1 508

從而得到原始數(shù)列 的模擬 值為：＾x（0）（t）＝（27，27，27，28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，34，34）

2）建立灰色馬爾可夫模型

（1）狀態(tài)劃分 利用GM（1，1）模型得到的模擬值.用實(shí)際值除以模擬值，即可得到比值見表2.

表2 實(shí)際值與模擬值的比值表

依據(jù)表2中模擬值與實(shí)際值的差值關(guān)系，按表3將系統(tǒng)劃分為3個(gè)狀態(tài)，其各年份的狀態(tài)也隨之確定，見表4.實(shí)際的狀態(tài)區(qū)間劃分情況見圖2.

表3 狀態(tài)劃分表

表4 各年份狀態(tài)表

圖2 狀態(tài)區(qū)間劃分

（2）構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)與預(yù)測年份（第15a）相接近的3a編制狀態(tài)轉(zhuǎn)移表見表5.

表5 狀態(tài)轉(zhuǎn)移表

從表5中的合計(jì)欄可以看出，狀態(tài)3的概率最大，所以第15年的器材的消耗量最有可能是狀態(tài)3，由GM（1，1）模型得到的第15年預(yù)測值為34，則得：＾y（t）＝×（1.09＋1.2）＋34＝35.15

因此，應(yīng)用灰色馬爾可夫模型獲得的第15年器材的消耗量預(yù)測為35.15.而其他年份的預(yù)測值也可通過此法來測算.

將上述2種模型分別獲得的測算結(jié)果繪制成圖3，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)呈規(guī)律性變化時(shí)，2種模型的預(yù)測效果比較接近，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)隨機(jī)變化時(shí)，灰色馬爾可夫模型的預(yù)測效果明顯優(yōu)于GM（1，1）模型的預(yù)測.

圖3 2種模型測算結(jié)果對比

5 結(jié)束語

文中針對“小樣本”“貧信息”條件下的預(yù)測展開分析，提出利用GM（1，1）模型對實(shí)際裝備維修器材進(jìn)行預(yù)測，通過對比分析不同數(shù)據(jù)信息條件下預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)隨機(jī)變化時(shí)，增加先驗(yàn)數(shù)據(jù)信息量對提高預(yù)測精度有一定效果，但其測算精度不高是該GM（1，1）模型預(yù)測所無法避免的.在上述情況下提出利用灰色馬爾可夫綜合模型對維修器材進(jìn)行預(yù)測.仿真測算結(jié)果表明灰色馬爾可夫綜合模型能解決“小樣本”，“貧信息”的數(shù)據(jù)預(yù)測難點(diǎn)，它不僅能對規(guī)律變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行有效預(yù)測，也能對隨機(jī)變化數(shù)據(jù)進(jìn)行合理科學(xué)推斷，可以這樣總結(jié)：灰色馬爾可夫模型對于隨機(jī)序列預(yù)測的科學(xué)性和可靠性明顯優(yōu)于GM（1，1）模型.

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