基于多目標(biāo)粒子群算法的螺旋槳多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計＊

葉禮裕 王 超 黃 勝 常 欣

（哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院 哈爾濱 150001）

0 引 言

螺旋槳幾何造型復(fù)雜，包含螺距、縱傾、側(cè)斜、拱度、弦長、槳葉剖面等幾何參數(shù)，這些幾何參數(shù)相互聯(lián)系和制約，影響著整個螺旋槳的水動力、噪聲、空泡、振動等性能.在螺旋槳的理論設(shè)計中，螺旋槳的幾何參數(shù)往往是給定的，但是給定的螺旋槳幾何參數(shù)得到的螺旋槳性能并不能滿足實(shí)際要求，需要進(jìn)行參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計得到性能更佳的槳.由于螺旋槳的各個性能的相互沖突，要想得到螺旋槳參數(shù)使得各方面性能達(dá)到最優(yōu)是很難的，改善螺旋槳的一些性能就有可能使其他性能的惡化.因此，如何權(quán)衡螺旋槳幾何參數(shù)得到接近理想的槳一直是研究人員們所關(guān)注的.

粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）是 Kennedy和 Eberhart［1］于1995年提出的一種優(yōu)化算法.PSO具有較強(qiáng)的全局收斂能力和魯棒性，非常適合于在復(fù)雜環(huán)境中對優(yōu)化問題的求解.在解決多目標(biāo)優(yōu)化問題時，維持著一個較大數(shù)量的種群，高效獲得多個Pareto解集，成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問題［2］.采用多目標(biāo)優(yōu)化可以得到一些目標(biāo)得到優(yōu)化同時其他目標(biāo)不惡化的情況，也就是Pareto解集或非支配解集［3］.當(dāng)?shù)玫絇areto解集或非支配解集之后，決策者們可以根據(jù)實(shí)際情況來選擇合理解.在船舶設(shè)計領(lǐng)域，商船主要關(guān)心的是經(jīng)濟(jì)性與節(jié)能，希望得到的是效率最優(yōu)且振動、噪聲等性能不惡化的螺旋槳；軍艦主要關(guān)心的是快速性與隱身性，希望得到的是推力與噪聲最優(yōu)且效率減小的螺旋槳.

本文以節(jié)能為目的，選取了DTRC4382型槳為母型，基于螺旋槳水動力性能的面元理論預(yù)報程序，采用粒子群算法，螺旋槳的各個幾何參數(shù)用B樣條曲線來擬合，以提高螺旋槳的推力系數(shù)和敞水效率為目標(biāo)進(jìn)行螺旋槳優(yōu)化設(shè)計，選取Pareto前沿上3個點(diǎn)為方案槳，分析了原槳和方案槳的水動力性能的不同特點(diǎn).

1 螺旋槳的面元法理論

與螺旋槳的升力線理論和升力面理論不同，螺旋槳的面元法不對物體形狀做任何假設(shè)，并在真實(shí)物面上滿足邊界條件，能比較精確預(yù)報螺旋槳水動力性能，使其在近幾年來得到了廣泛的應(yīng)用［4］.

假定螺旋槳在速度V0的來流，以角速度ω轉(zhuǎn)動.利用格林公式將描述不可壓、無粘、無旋的勢流問題的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為物體邊界上的積分方程，從而將物體繞流問題的求解轉(zhuǎn)化為任意物面上未知節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的求解［5］.

式中：Δφ為通過尾渦面的速度勢跳躍，可表示為

在螺旋槳定常問題中，尾渦面的速度勢跳躍Δφ在同一半徑處是常量，由法向偶極子分布與渦環(huán)分布的等價關(guān)系可知，Δφ即為尾渦強(qiáng)度.可在升力體的尾緣處滿足庫塔條件以確定該尾渦強(qiáng)度.庫塔條件有多種形式，這里采用壓力庫塔條件，要求在升力體的尾緣處上下表面的壓力差為零，即

2 多目標(biāo)粒子群算法

2.1 算法的數(shù)學(xué)模型

多目標(biāo)優(yōu)化往往是在一組可行解中選擇Pareto解集的過程，通常多目標(biāo)優(yōu)化問題包括：n個決策變量，m個目標(biāo)函數(shù)，k個約束條件，可將其數(shù)學(xué)模型表示為

式中：x＝ （x1，x2，…，xn）∈X 代表決策向量.

2.2 算法關(guān)鍵問題的處理

盡管基于PSO算法在處理單目標(biāo)問題時取得了較大的成功，但是并不能直接用于處理多目標(biāo)問題［6］.目前，MOPSO算法主要采用 NSGA－II非支配排序策略，采用變異操作來保持種群的多樣性，選擇最優(yōu)粒子可采用隨機(jī)選擇、輪盤賭或非支配解的疏密等方法［7－9］.

在處理 MOPSO關(guān)鍵問題上，本文采用了NSGA－II非支配排序策略來構(gòu)成Pareto最優(yōu)解集，采用動態(tài)加權(quán)法來選擇最優(yōu)粒子來提高Pareto解的多樣性，采用慣性權(quán)重來提高全局尋優(yōu)能力.針對種群飛行速度減弱時，采用變異操作來引導(dǎo)粒子跳出局部最優(yōu)解.

NSGA－II中非支配排序思想是目前MOPSO形成Pareto最優(yōu)解的主流方法，操作方法如下，首先將當(dāng)前支配解集Pt和當(dāng)前的子代Qt合并成種群Rt，對Rt進(jìn)行非劣排序和擁擠距離排序得到新的種群Pt＋1.對已形成的Pareto解集，采用動態(tài)加權(quán)法來選擇最優(yōu)粒子，按下式動態(tài)計算Pareto解集中各粒子適應(yīng)度并將當(dāng)前動態(tài)適應(yīng)度最大的粒子作為全局最優(yōu)粒子［10］.

粒子群算法模型可被抽象成每個個體由當(dāng)前位置和速度組成.在每次迭代過程中，為了克服早熟收斂，提高PSO算法開拓能力和保持收斂速度，槳自適應(yīng)慣性權(quán)重和變異操作引入粒子群算法中，當(dāng)前粒子的速度和速度可按下式更新.

式中：xi為粒子位置；vi為粒子飛行速度；w為慣性權(quán)重；r1，r2為［0，1］范圍變化的隨機(jī)數(shù)；pi為個體最優(yōu)粒子的位置；pg為全局最優(yōu)粒子位置.k為壓縮因子，表示為對粒子的飛行速度進(jìn)行約束.

加速因子隨迭代次數(shù)增加而增加，在后期有利于提高全局搜索能力，特別對多峰問題有利.α為加速因子，按下式更新

慣性權(quán)重w是衡量上一代的進(jìn)化速度對現(xiàn)有速度的影響程度，對粒子群算法的收斂性能影響很大.大的慣性權(quán)重得到的粒子速度大，有利于擴(kuò)大搜索空間.小的慣性權(quán)重得到的粒子速度小，有利于局部搜索.可按下式調(diào)整.

式中：w0∈ （0，1），w1＞ w0均 為 常 數(shù)；r為 在（0，1）間的隨機(jī)數(shù).

本文選擇了4種具有代表性的多目標(biāo)優(yōu)化測試函數(shù)ZDT1～ZDT4.算法參數(shù)選取：種群規(guī)模N＝100，迭代次數(shù)Nt＝250，算法運(yùn)行100次，w0＝0.3，w1＝0.8.圖1給出了該算法在測試函數(shù)上所得到的Pareto解.由圖1可知，該算法能較好地保持所得最優(yōu)解在Pareto前端上的收斂性和分布均勻性.

圖1 測試函數(shù)所得Pareto前沿

圖2 推力系數(shù)與敞水效率的散點(diǎn)圖

3 多目標(biāo)螺旋槳參數(shù)優(yōu)化

本文優(yōu)化設(shè)計是以提高推進(jìn)效率為目標(biāo)進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計.在明確設(shè)計任務(wù)的情況下，結(jié)合傳統(tǒng)設(shè)計確定各參數(shù)的取值范圍，評估各參數(shù)范圍的可行性，提前減少不合理的參數(shù)情況，提高效率.由于設(shè)計參數(shù)及其取值范圍的多樣性，設(shè)計空間理論上是無窮大的.實(shí)際操作中，設(shè)計空間的規(guī)模，即方案個數(shù)要適當(dāng)；方案較少不具有代表性，優(yōu)化效率將會很低，而方案過多則會造成計算成本的大大增加，將造成資源的浪費(fèi)，也不利于設(shè)計效率和設(shè)計質(zhì)量的提高.

3.1 優(yōu)化模型和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

在設(shè)計進(jìn)速J＝0.899下，以DTR4382槳為母型，目標(biāo)函數(shù)取螺旋槳推力系數(shù)和敞水效率，但未對其他性能加以限制，目的是為了獲得更多數(shù)據(jù)信息.在實(shí)際設(shè)計需求中，對螺旋槳其他性能的限定是必不可少的.螺旋槳的螺距分布、側(cè)斜分布、縱傾分布、拱度分布和弦長分布可采用B樣條曲線的參數(shù)化表達(dá)方式，并根據(jù)這些幾何參數(shù)數(shù)值大小對控制點(diǎn)的變化范圍加限制，以提高搜索效率.對目標(biāo)槳進(jìn)行搜索時，將種群數(shù)目設(shè)為20，迭代次數(shù)15次，Pareto解的個數(shù)設(shè)為20個，對權(quán)重的分配與上文的測試函數(shù)選取的相同.

優(yōu)化前的推力系數(shù)和敞水效率的坐標(biāo)點(diǎn)記為original，而優(yōu)化后的坐標(biāo)點(diǎn)組成了Pareto前沿，將Pareto前沿解記為Pareto.圖2給出了推力系數(shù)與敞水效率的散點(diǎn)圖.由圖可知，Pareto解的個數(shù)較多且分布較均勻，能夠構(gòu)成Pareto前端線.original點(diǎn)離Pareto前沿有一定距離.可見，推力系數(shù)或者敞水效率都得到了較大程度的優(yōu)化.該圖也反應(yīng)了推力系數(shù)和敞水效率是相互矛盾的，推力系數(shù)最優(yōu)必須以降低敞水效率為代價，而敞水效率最優(yōu)就必須以降低推力系數(shù)為代價.

表1 原槳和方案槳的推進(jìn)系數(shù)和敞水效率

Pareto前沿的每個坐標(biāo)點(diǎn)代表一個設(shè)計方案，船舶設(shè)計人員可以根據(jù)不同的船舶需求選擇合適的方案.商船主要關(guān)心的是節(jié)能與經(jīng)濟(jì)性，可從效率較高的那端選擇.軍艦主要關(guān)心的是快速性，可從推力系數(shù)較高的那端選擇.對設(shè)計方案進(jìn)行選擇時，也應(yīng)對方案進(jìn)行可行性評估，包括螺旋槳幾何外形光順程度、空泡性能及強(qiáng)度等.為了分析的方便，本文從Pareto前沿上只選擇了3個方案進(jìn)行分析.3個方案所對應(yīng)的推進(jìn)系數(shù)和敞水效率見表1，以下簡稱方案槳.其中，與原槳相比，方案1的敞水效率較高且推進(jìn)效率不減小；方案2較為折中，推力系數(shù)與敞水效率都得到相同程度的優(yōu)化；方案3的推進(jìn)系數(shù)較高且敞水效率不減小.三個方案槳選擇于Pareto前沿的兩端與中部，能夠反映其他方案的特點(diǎn).

表2給出了原槳和3個方案槳在不同進(jìn)速下的推力系數(shù)kt和敞水效率ηo的對比.由表可知，方案槳的推力系數(shù)kt和敞水效率ηo都比原槳提高了.在不同進(jìn)速，方案1能保證敞水效率比其他槳高；方案2比較折中，能保證推力系數(shù)優(yōu)于方案1且敞水效率優(yōu)于方案3；方案3也能保證推進(jìn)效率比其他槳高.另外，當(dāng)進(jìn)速系數(shù)較低時，方案槳的推力系數(shù)明顯比原槳大，而敞水效率相差不大.隨著進(jìn)速系數(shù)的增大，方案槳的敞水效率較原槳大得多，而推力系數(shù)與原槳越接近.

表2 不同進(jìn)速下敞水效率與推力系數(shù)對比

3.2 優(yōu)化前后螺旋槳幾何參數(shù)和外形

圖3～5分別給出了原槳和3個方案槳的弦長、螺距及拱度分布，與原槳相比，方案槳的這3個幾何參數(shù)的分布曲線均有改變且能保證光順.3個方案槳的弦長分布變化趨勢相同，不同半徑處的弦長均減小，將導(dǎo)致整個槳葉的盤面比減小，使得螺旋槳剖面上的載荷越大，其吸力面的壓力值越小，壓力面的壓力值越大，該變化將會對螺旋槳的空泡性能產(chǎn)生不利的影響，但是對螺旋槳敞水效率的提高是有利.對于螺距，方案槳的螺距分布比較光順，槳葉葉根附近的螺距減小，而靠近葉梢附近的螺距增加，由螺旋槳環(huán)流理論可以知道，這種變化趨勢將使得螺旋槳負(fù)荷徑向分布的最大值位置偏向葉梢，槳葉的效率越高，但葉梢處的空泡性能會變得很差.螺旋槳葉梢附近螺距的增加將增大其葉剖面攻角，進(jìn)而增大螺旋槳的推力系數(shù)和扭矩系數(shù)，螺旋槳的敞水效率也會明顯增加.對于拱度，方案槳的拱度分布變化較大，3個方案槳在不同半徑處的拱度都增加，而方案3增加最多，對應(yīng)推力系數(shù)最大，由此推斷拱度與推力系數(shù)有較大的關(guān)系；另外，拱度決定葉剖面的負(fù)荷沿弦向的分布，拱度增大能避免導(dǎo)邊附近出現(xiàn)負(fù)壓峰，推遲空泡的發(fā)生，但對整個槳葉的強(qiáng)度不利.

圖3 弦長分布

圖6 ～7分別給出了原槳和3個方案槳的側(cè)斜和縱傾分布.與原槳相比，3個方案槳的側(cè)斜分布變化趨勢相同，葉根附近的側(cè)斜減小而葉梢附近的側(cè)斜增大，槳葉葉梢附近的側(cè)斜增加，螺旋槳的水動力性能會提高，但方案槳的側(cè)斜分布變化并不明顯，主要是因為側(cè)斜對螺旋槳水動力性能的影響不大.對于縱傾，方案槳的槳葉葉根處縱傾減小而葉梢附近的縱傾增加.隨著縱傾的增加，螺旋槳的推力系數(shù)及扭矩系數(shù)會提高，但變動幅度很小，相比其他參數(shù)的影響，縱傾對螺旋槳水動力性能的影響相對較小，而葉梢處的縱傾增大將改善槳葉梢部的三維繞流，進(jìn)而影響槳葉表面的壓力分布，改變梢渦空泡的初生特性.

圖4 螺距分布

圖5 厚度分布

在進(jìn)行螺旋槳單參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計過程中，其他參數(shù)不變，僅改變單個參數(shù)，會造成螺旋槳變化不夠協(xié)調(diào)造成螺旋槳外形的畸變.在螺旋槳多參數(shù)優(yōu)化中，各個參數(shù)之間不能很好的耦合，也會造成螺旋槳外形不光順.螺旋槳的幾何參數(shù)采用怎樣的參數(shù)化表達(dá)方式和怎樣進(jìn)行變形控制，都將影響優(yōu)化后的螺旋槳各幾何參數(shù)的耦合程度.人們希望看到的是各組參數(shù)的變化能耦合在一起，以達(dá)到協(xié)同影響螺旋槳性能的目的.圖8給出了原槳和方案槳的模型.由圖8可知，在幾何參數(shù)變化后，3個方案槳都能保持較光順的幾何形狀.可見，本文采用B樣條曲線擬合方式對進(jìn)行螺旋槳的多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，能使得優(yōu)化槳各個參數(shù)之間能夠很好地耦合.與原槳相比，3個方案槳比較直觀的變化是槳葉面積變小，葉梢處的側(cè)斜增加.

圖6 側(cè)斜分布

圖7 縱傾分布

圖8 原槳與方案槳的模型

4 結(jié) 論

1）在設(shè)計進(jìn)速下，優(yōu)化后得到的Pareto解的個數(shù)較多且分布均勻，能夠形成Pareto前沿線，每個Pareto解都可作為方案槳，優(yōu)化后螺旋槳的推力系數(shù)和扭矩系數(shù)都能得到不同程度的提高.

2）在不同進(jìn)速下，所選的3個方案槳的推力系數(shù)和敞水效率都能比原槳高.方案1能保證敞水效率比其他槳高，方案2能保證推力系數(shù)和敞水效率得到相同程度提高，方案3也能保證推進(jìn)效率比其他槳高.

3）所選的3個方案槳的各個幾何參數(shù)都出現(xiàn)了變化，從而引起了螺旋槳幾何外形的改變.但是，螺旋槳的幾何參數(shù)采用B樣條曲線表達(dá)以及對控制點(diǎn)的變化范圍加以限制，各個參數(shù)之間能夠很好地耦合，能夠形成較光順的螺旋槳幾何外形.

為了獲得更多數(shù)據(jù)信息，未對螺旋槳其他性能加以限制，只對推力系數(shù)和敞水效率的進(jìn)行尋優(yōu)，優(yōu)化能達(dá)到節(jié)能的目的，可能帶來其他性能的惡化.本文為后續(xù)對螺旋槳各方面性能的統(tǒng)籌優(yōu)化設(shè)計，以實(shí)現(xiàn)螺旋槳的全面優(yōu)化打下基礎(chǔ).

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