同質企業研發競爭行為的動力學性態分析

黃東衛，付玉霞，于沈新

（天津工業大學理學院，天津 300387）

同質企業研發競爭行為的動力學性態分析

黃東衛，付玉霞，于沈新

（天津工業大學理學院，天津 300387）

應用非線性動力系統中的分岔和混沌理論及相關的經濟學理論，建立了同質三寡頭R&D（研究與開發）競爭在有限理性預期下的動力學模型，分析了該系統的均衡點及其穩定性，并以投入調整速度及技術溢出水平為控制參數，分析了系統產生分岔及混沌狀態的條件，進一步得到了寡頭間博弈引起的利潤變化性態；結合Mathematics對不同參數條件下的系統進行了數值模擬，發現當企業的R&D投入調整速度過大時，系統由穩定狀態進入倍周期分岔進而進入混沌狀態；隨著企業的技術溢出水平增大，其自身的利潤下降，競爭對手的利潤上升.模擬結果表明企業的利潤在穩定狀態下是穩定變化的，在混沌狀態下則是連續波動的；當企業的投入調整速度過大時，其自身的平均利潤呈下降趨勢，競爭對手的平均利潤呈上升趨勢.

同質企業；競爭行為；動力學性態分析；研究與開發；有限理性；分岔；均衡點；Lyapunov指數；技術溢出

研究和開發（R&D）已經成為企業發展的主力，是企業核心競爭力和科技提升的重要科技手段.企業開展R&D活動可以獲取更低的生產成本，更高的生產效率，從而獲取更大的利潤.然而，企業的R&D成果具有公共產品的部分屬性，這就意味著在進行R&D活動的過程中，一定存在著技術溢出.技術溢出效應是經濟市場中不可避免的現象，所以，這個因素也是不可忽略的.中外學者對此做了很多研究.J.A.Schum Peter創新的技術理論推動了R&D的相關研究的發展.Dssgupta根據創新收益的不同結構，把R&D分為競爭和非競爭兩種類型.D’Aspremont和Jac-quemin最早研究了R&D合作問題，提出了R&D兩階段理論[1]. Ziss（1944）和Bischi（2002）建立了具有技術溢出水平的R&D博弈模型[2].Trshler[3]和Luckraz[4]從外生溢出的角度討論了R&D的競爭和合作.國內不少學者對R&D的決策問題也做了一些研究.霍沛軍等[5]研究了雙寡頭R&D合作與非合作時最優溢出問題.盛昭瀚等[6]運用非線性動力系統理論對R&D投入動態競爭系統進行了復雜性分析.胡榮等[7]對異質產品雙寡頭企業R&D最佳技術含量的博弈進行了分析.然而，多數文獻主要研究了雙寡頭R&D的決策問題，對于三維、四維等更高維寡頭之間的競爭卻研究較少.而真實的市場中往往都是多于兩個寡頭的競爭.本文對不同溢出水平下有限理性同質三寡頭的兩階段動態競爭模型作了復雜性分析，并用數值模擬分析了投入速度、技術溢出水平對企業利潤及平均利潤的影響.

1 模型的建立

假設市場上競爭的三寡頭企業生產的產品是同質的，競爭中存在技術溢出.由 D’Aspremont和Jacquemin的經典R&D兩個階段研究：R&D活動分為R&D投入和產量決策兩個階段.同時，假設三企業的R&D投入都是有限理性的，即企業第二階段的決策是根據邊際利潤效應做出判斷的.

設第i家企業（i=1，2，3）在t時期的價格為pi（t），qi（t）表示企業i（i=1，2，3）在t時期生產的產品產量，市場的總產出Q（t）=q1（t）+q2（t）+q3（t）.設三企業在t時期的逆需求函數為pi（t）=a-bQ（a，b＞0）.其中：a為市場最高價；b為市場需求彈性.設第i家企業（i=1，2，3）在t時期的第一階段的研究投入量為xi（t）（≥0）.博弈過程中存在著技術溢出，為了討論方便，設企業i對企業j和企業k的技術溢出水平都為αi（0≤α≤1；i，j，k=1，2，3；i≠j≠k），則企業i通過企業j和企業k的技術溢出使本企業的投入增加量為αixj（t）+αkxk（t）.設未進行R&D活動時的三企業的單位產品成本均為c，開展R&D活動后企業i單位產品的成本減少量為εijk（t）=β（xi（t）+αjxj（t）+αkxk（t））（β≥0），則成本變為Ci（t）=c-εijk（t）.本文假設企業i的研究投入的成本是非線性的：

于是三企業在t時期第二階段的利潤函數為

把（2）代入（1）得在t時期第一階段企業i選擇投入量為xi（t）（i=1，2，3）時利潤最大，為

又知3個企業都采用有限理性預期，企業的研究投入不是通過精確計算得出的使利潤最大化的決策，而是根據邊際利潤做出判斷，邊際利潤大于零時，企業進行投入，邊際利潤小于零時，企業不投入，于是企業在t+1期的投入量為

式中：γi＞0（i=1，2，3）為企業i在博弈過程中R&D投入調整速度.由式（1）—式（4）得到同質三寡頭R&D博弈動態模型為：

2 不動點及局部穩定性分析

為了研究系統的不動點的局部穩定性，首先計算系統（5）的雅克比矩陣

令xi（t+1）=xi（t），求得系統的解析解比較繁瑣，為了簡便，給某些參數賦值.取α1=0.3，α2=0.2，α3=0.25，β=1.2，λ1=2，λ2=2.3，λ3=2.2，a=30，b=2，c=4得到系統的8個不動點E1（0，0，0）E2（0，0，2.977 1）E3（0，2.997 2，0）E4（0，2.807 3，2.745 7）E5（3.158 6，0，0）E6（2.910 7，2.836 1，0）E7（2.953 8，0，2.814 8）E8（2.735 6，2.665 5，2.607 0）.顯然，這些不動點和γi（i=1，2，3）無關；其中Ei（i=1，2，3，4，5，6，7） 稱有界均衡點，E8是唯一的Nash均衡點[8-9].

定理 有界均衡點Ei（i=1，2，3，4，5，6，7）是不穩定均衡點.

證明 將E1（0，0，0）代入雅克比矩陣得

則它的特征值分別是1+4.68γ1，1+5.07γ2，1+4.875γ3，又因為參數γi＞0（i=1，2，3），所以這3個特征值的模都是大于1的，所以該不動點是不穩定的.

同理，將Ei（i=1，2，3，4，5，6，7）分別代入雅克比矩陣計算出它們各自的特征值（不再一一列舉出來），結果發現特征值的模都至少有一個大于1[10]，即Ei（i=1，2，3，4，5，6，7）是不穩定的.

下面討論Nash均衡點E8的穩定性情況，將E8代入雅克比矩陣得

它的特征方程為f（λ）=λ3+Aλ3+Bλ+C，其中

根據Routh-Hurwitz穩定性判據，系統在E8漸近穩定的充要條件是特征方程的所有零點落在復平面的單位圓內，必須滿足以下4點[11]

根據式（7）解出來的γi（i=1，2，3）就是系統的穩定區域.穩定的Nash均衡點表明：盡管三寡頭初始的R&D投入量不同，但是經過重復博弈，企業每次對初始投入量的調整最終將穩定在Nash均衡點處的穩定的投入量水平，一旦企業的調整速度超出了穩定區域，系統就會進入倍周期分岔甚至混沌狀態.

3 數值模擬及模型的復雜動力學特性分析

為了更好地了解系統（5）的動態演化過程，識別系統的混沌行為[12-13]，本文采用數值模擬來分析.給出部分參數的值，作出R&D投入量的分岔圖和李雅普諾夫指數譜.取數值模擬的初始參數值為α1=0.3，α2=0.2，α3=0.25，β=1.2，λ1=2，λ2=2.3，λ3=2.2，a=30，b=2，c=4，γ2=0.3，γ3=0.4，3個寡頭的初始R&D投入量分別是x1=1.7，x2=2，x3=2.1.

3.1 R&D投入調整速度對系統狀態的影響

為了研究企業R&D的調整速度對系統（5）的狀態影響，本文選取企業1的R&D調整速度作為研究對象，企業2和企業3的R&D的調整速度對系統（5）的影響可以用同樣的方法做.企業1的R&D投入量的分岔圖如圖1所示.

圖1 R&D投入量的分岔圖Fig.1 R&D input bifurcation diagram

觀察圖1可知，系統（5）隨著企業1的R&D投入調整速度γ1的連續變化呈現穩定、倍周期分岔、混沌狀態.γ1較小時，系統穩定；γ1較大時，系統出現分岔進而出現混沌狀態.同時也可以用系統的Lyapunov指數譜（圖2）進一步闡述該過程的變化趨勢.Lyapunov指數是用來表征相軌道間分離快慢的指標，如果Lyapunov指數為正，則系統為混沌狀態，如果Lyapunov指數為負，則系統處于穩定狀態.

圖2 系統的最大Lyapunov指數譜Fig.2 Maximal Lyapunov exponent of system

從圖2可以看到，企業1的R&D投入調整速度γ1較小時，系統的最大Lyapunov指數小于零，系統處于穩定狀態；γ1=0.49時，系統的最大Lyapunov指數等于零，系統進入倍周期分岔狀態；當γ1增大到0.62時，系統的最大Lyapunov指數開始大于零，系統進入混沌狀態.這與圖1觀察到的結果是一致的.

3.2 R&D投入調整速度對企業利潤的影響

仍然以企業1的R&D投入調整速度為研究對象，模擬三寡頭企業的利潤在不同的γ1取值下，隨博弈周期變化趨勢圖如圖3所示.選取博弈周期T=100，分別取γ1=0.32和γ1=0.66，作出企業利潤在這兩個取值下的變化趨勢圖.由圖1和圖2知，γ1=0.32對應系統（5）的穩定狀態，γ1=0.66對應系統（5）的混沌狀態.

圖3 三企業的利潤變化趨勢圖及相圖Fig.3 Changing profit of three enterprises and phase diagram

由圖3（a）可知，γ1=0.32即系統處于穩定狀態時，三企業的利潤隨博弈周期穩定變化；由圖3（b）可知，γ1=0.32系統處于混沌狀態時，三企業的利潤連續波動.圖3（c）和圖3（d）是對應的三企業的利潤的相圖，γ1=0.32時相圖基本是一條直線，說明利潤穩定變化，γ1=0.32時相圖是混沌吸引子，說明利潤是波動的，這和圖3（a）、圖3（b）的結論的是一致的.

為了進一步說明企業1的R&D投入調整速度γ1、γ2和γ3對企業利潤的影響，模擬企業平均利潤在100個博弈周期內隨著γ1、γ2和γ3的變化趨勢圖，如圖4所示.

圖4 平均利潤隨γ1、γ2、γ3時變化趨勢圖Fig.4 Average profit with change of γ1，γ2，γ3

從圖4（a）可知，企業1 R&D投入調整速度γ1較小時，系統處于穩定狀態，三企業的平均利潤穩定變化；隨著γ1的增大，系統進入倍周期分岔甚至混沌狀態，企業1的平均利潤呈下降趨勢，但企業2與企業3的平均利潤呈上升趨勢.這說明企業的投入調整速度過大時對企業自身是不利的，對競爭對手是有利的，圖4（b）與圖4（c）也說明了這個結果.

3.3 技術溢出水平對企業平均利潤的影響

以企業1的技術溢出水平α1為研究對象，分別選取α2=0.2和α2=0.6，α3=0.25和，α3=0.7，模擬三企業的平均利潤隨著α1的變化趨勢圖，其他參數不變，選擇博弈周期T=100，見圖5.

圖5 三企業的平均利潤隨α1的變化趨勢圖Fig.5 Average profit of three enterprises with change of α1

比較圖5（a）和圖5（b）可以看出，當企業3的技術溢出水平固定為α3=0.25，企業2的技術溢出水平分別為α2=0.2和α2=0.6時，企業1的平均利潤隨著它自身的技術溢出水平α1的增加呈下降趨勢；企業2和企業3的平均利潤呈上升趨勢；圖5（b）中三企業的大體趨勢和圖5（a）是一樣的，但是企業1和企業3的平均利潤整體上高于圖5（a）中企業1和企業3的平均利潤，企業2的平均利潤整體上則相對降低，同時企業2與企業3之間的平均利潤差距變大.這說明，企業的技術溢出使自身利潤下降，則對競爭對手是有利的.反過來，如果企業降低自己的技術溢出水平，對手的利潤就會降低，由于競爭者同樣的心理，對手也會降低自身的技術溢出水平來降低對方的利潤，最終各企業將在技術溢出水平相等時達到博弈均衡.比較圖5（a）和圖5（c），圖5（b）和圖5（d）亦能得到同樣的結論.

由此可見，企業之間是相互影響又相互依存的，只有企業間相互合作，達到知識共享，資源共享，技術共享，優勢互補，才能共贏，才能為社會創造更多的財富和價值.

4 結束語

本文建立了不同溢出水平下同質三寡頭在有限理性預期下R&D競爭模型，對此模型作了復雜的動力學分析，發現當企業的R&D投入調整速度過大時，系統由穩定狀態進入倍周期分岔進而進入混沌狀態；隨著企業的技術溢出水平增大，它自身的利潤下降，對手的利潤上升，對手的技術溢出水平變大時，它的利潤也會相對變大.同時用數值模擬分析了企業的R&D投入調整速度及技術溢出水平對企業利潤和平均利潤等的影響.結果表明：企業的利潤在穩定狀態下是穩定變化的，在混沌狀態下則是連續波動的；企業的平均利潤與自身的調整速度密切相關，當某個企業調整速度過大時，自身的平均利潤呈下降趨勢，競爭對手呈上升趨勢.企業在競爭的過程中，企業的技術溢出水平對自身和對對手的影響都是利大于弊的.企業間只有合作，形成資源共享，知識共享，技術共享才能共贏.本文僅就同質三寡頭R&D之間的競爭做了一些分析，對于產品有差異性企業間的競爭，不同預期條件下企業間的競爭及更高維寡頭之間的競爭沒有作分析，這些問題還需要進一步的研究.

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Dynamics analysis of state of homogenous corporate R&D competition

HUANG Dong-wei，FU Yu-xia，YU Shen-xin
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

We apply the theory of bifurcation and chaos of nonlinear dynamical systems and related theory of economics，and then establish a R&D competition dynamic model under the limited rational expectations of three homogeneous oligarchs and analyze this system′s equilibriums and their stability.We also take adjusting speed of R&D input and technical spillovers level as the control parameter and analyze the condition of the system bifurcation and chaos，then we get the changing behavior of profit as competition among oligarchs；Under the condition of different parameters we simulate the system by Mathematics and illustrate the result.We find that when the adjusting speed of R&D input of the enterprise is too large，then the system becomes from stable state into period-doubling bifurcation and chaotic state.As the technical spillovers level of the enterprise increases，its profit falls and the opponent′s profit rises.In addition，the results of simulation show that enterprise′s profits changes steadyly under the stable state and changes valatily，under the chaotic state.When the adjusting speed of input of the enterprise is too large，its average profit falls and the opponents′rises.

homogenous corporate；competition；dynamics analysis；research and development（R&D）；bounded rationality；bifurcation；equilibriums；Lyapunov index；technical spillovers

F274；F224

A

1671-024X（2015）03-0073-05

10.3969/j.issn.1671-024x.2015.03.016

2014-12-11

國家自然科學基金資助項目（11102132）

黃東衛（1966—），男，教授，博士，研究方向為隨機動力系統理論及應用.E-mail：tjhuangdw@163.com