基于G 代碼修改的數控機床幾何誤差補償方法*＊

高 興 佟 浩 周 雷 滿建財 李 勇

(①清華大學機械工程系/摩擦學國家重點實驗室，北京 100084;②精密超精密制造裝備及控制北京市重點實驗室，北京 100084;③滕州市產品質量監督檢驗所，山東 滕州 277500;④國家機床產品質量監督檢驗中心(山東)，山東 滕州 277500)

隨著現代機械制造技術的發展，以及精密加工技術在航空航天、醫療器械等領域的應用需求增加［1］，對數控機床加工精度的要求也日益提高。目前，有2種基本方法可提高機床精度:誤差防止和誤差補償。誤差防止是通過設計、制造及裝配途徑減少或消除可能的誤差源［2］。但當加工精度提高到一定程度時，單純通過誤差防止會大幅增加機床制造成本，并增加技術上實現的難度。因此，僅依靠誤差防止很難滿足更高精度的要求。誤差補償已成為提高機床精度、改善機床性能的重要途徑之一［1］，其涉及誤差檢測和誤差糾正［2］。

近年來，國內外學者針對數控機床的誤差補償進行了大量工作，取得了一些成果。例如，1997年，美國Michigan Ann Arbor 大學J.C.Liang 等人，開發了1 套用于校正車削中心幾何誤差、熱誤差和切削力誘導誤差的綜合誤差補償系統，對1 臺車削中心進行補償并使其加工精度提高5 倍以上［3］;2003年，天津大學劉又午等人基于多體系統理論，建立了包含幾何誤差和熱誤差的全誤差模型，實現了3 坐標和4 坐標聯動數控機床平均精度提高50%～80%［4］。誤差建模方法是誤差補償有效性的關鍵，這成為國內外學者研究的重點。先后出現了三角關系幾何法、矢量法、誤差矩陣法、機構學法、剛體運動學法等誤差建模方法［5］，為數控機床誤差補償提供了一定理論基礎，但仍存在誤差模型難于適用不同類型機床的通用性問題、也存在建模過程復雜等問題［6］。

本文研究一種基于G 代碼修改的幾何誤差補償方法，以提高數控機床各軸的空間運動精度。建立包含幾何誤差的多軸數控機床空間誤差模型，并提出直線和圓弧軌跡的誤差補償算法，采用修改G 代碼的方式實現誤差補償方法的通用性，通過開展補償實驗驗證相關理論和方法的有效性。

1 多軸機床空間誤差建模方法

建立數控機床的空間誤差模型，即建立包含機床單項誤差和位置信息的目標點空間誤差的函數。為獲得通用型誤差模型，以多體系統理論和齊次坐標變換理論為基礎，將機床分為刀具分支和工件分支，分別獲得刀具相對床身和工件相對床身的位置矩陣，建立理想情況時和有誤差時刀具相對工件的位置矩陣，從而獲得機床的通用誤差模型。

1.1 通用型誤差模型建模

如圖1 所示，可將常見數控機床結構分為刀具與工件2 個分支:由床身w 到刀具τ 的刀具分支，由床身w 到工件p 的工件分支。由多體系統理論可知［1，4，6］，刀具相對工件的位置矩陣為:

同理可知，刀具相對床身的位置矩陣為:

式中:0 表示床身;1 至n 表示床身到刀具分支之間除床身外還具有n 個部件。

工件相對床身的位置矩陣為:

式中:0 表示床身;1'至n'表示床身到工件分支之間除床身外還具有n'個部件。

根據式(2)和式(3)可得:刀具相對工件的位置矩陣與分支部件間的關系為:

機床的空間誤差方程可由刀具相對工件的位置矩陣得到，即建立起刀具相對工件的理想時位置矩陣和有誤差時位置矩陣之間的關系，如式(5)所述:

由式(4)和式(5)可得機床空間誤差方程表示為:

則解該空間誤差方程便可求得空間誤差模型，即式(6)為機床通用誤差模型。

1.2 XZOY 型三軸機床誤差建模實例

根據建立的機床通用型空間誤差模型，以后續實驗將用的三軸數控機床為例，建立三軸機床誤差模型。如圖2 所示為實驗機床結構示意圖，坐標系設定如圖中所示，其中刀具分支包含床身、X 軸、Z 軸、主軸及刀具，依次編號為0、1、2、3、4;工件分支包含床身、Y 軸和工件，其編號分別為0、5、6。

根據式(6)可知，上述三軸機床的空間誤差方程為:

由齊次坐標變換理論［7-9］和小角度誤差假設［11］可知，相鄰兩部件a、b 之間的變換矩陣(即a 相對b 的位置矩陣)為:

式中;δx、δy、δz為a 相對b 運動時分別沿X 軸、Y 軸、Z軸方向的線性位移;εx、εy、εz為a 相對b 運動時分別繞X 軸、Y 軸、Z 軸旋轉的角位移。

式中:x、y、z 分別為X 軸、Y 軸及Z 軸的位移;δb(a)表示a 軸沿b 軸方向的線性誤差，εb(a)表示a 軸繞b 軸旋轉的角度誤差，Sab表示a、b 兩軸間的垂直度誤差，a、b 可取x 或y 或z。三軸機床共計21 項上述幾何誤差［1］，本文建模僅考慮這21 項誤差。

將式(9)～(11)代入式(7)，可求得空間誤差模型為:

式(12)～(14)即為后續實驗所采用三軸機床的空間誤差模型;其中，ηx、ηy、ηz分別為空間誤差沿X軸、Y 軸和Z 軸方向的誤差分量。從上述表達式可知，測得各單項誤差并將誤差值與對應機床坐標值代入誤差模型，取計算值的相反數并與原坐標值疊加，即得目標點補償后的坐標值。

2 基于G 代碼修正的誤差補償方法

為實現誤差補償方法的通用性，采用修改G 代碼的誤差補償方法。基于誤差模型和誤差測量數據，通過修改待加工工件的數控G 代碼來補償機床的幾何誤差。為實現直線運動補償，提出可對三維空間內任意直線實行補償及插補精度可控的直線軌跡補償算法。為實現圓弧運動補償，提出可提高圓弧軌跡圓心位置精度和插補精度可控的圓弧軌跡補償算法。目前，通用G 代碼指令僅可實現二維平面內的圓弧插補，故本論文提出的圓弧軌跡補償算法同樣只針對二維平面內的圓弧軌跡。

2.1 基本補償方法

修改G 代碼方法是以機床原點為補償參考點，即補償參考點為固定點。修改后的補償點由式(15)計算:

式中:Pi為理想指令值;Pe為修改后的補償值;E)為Pi點相對機床原點Po的空間誤差值，可由式(12)～(14)計算獲得。

修改G 代碼雖然比較繁瑣，但對數控系統沒有特定要求，常見數控系統都可采用該方法實現誤差補償。同時，G 代碼采用機床原點的絕對坐標作為補償參考點，使G 代碼可根據式(15)進行修正。絕對坐標補償的參考點為固定的機床原點，故只需目標點理論坐標便可計算空間誤差;相對坐標補償的參考點為上一目標點，計算空間誤差時，需通過上一目標點的實際位置坐標計算相對上一點的幾何誤差，再通過其理論位置坐標計算空間誤差;上一目標點的指令值是確定的，而實際坐標不確定，因此會造成幾何誤差計算不準確。故與相對坐標參考點相比，本文提出的絕對坐標參考點可避免由于實際坐標不確定引入的誤差。

2.2 直線運動補償算法

如圖3 所示，(X1，Y1，Z1)、(X2，Y2，Z2)分別為直線l 的起點和終點坐標，(Xi，Yi，Zi)為第i 個插補點坐標，α、β 為直線l 在XY 平面內的投影分別與X 軸和Y 軸正向的夾角，γ 為直線l 與其在XY 平面內投影的夾角。

由起點、終點坐標可得直線長度L、sinα、sinβ、sinγ、cosγ;設定插補精度為，由L 和可得分段數N，則插補點坐標可由式(16)計算獲得。

式中:i 表示第i 個插補點。由式(16)計算插補點的理想坐標，再由式(15)對理想坐標進行修正。在修改G代碼時，可選擇不同的，實現不同插補精度的補償。

2.3 圓弧運動補償算法

如圖4 所示，以XY 平面內圓弧插補為例，簡述圓弧插補過程。α 為圓心角，α1與α2分別表示起點、終點向量與X 軸正向夾角，(X1，Y1)、(X2，Y2)、(X0，Y0)為分別為圓弧起點、終點及圓心坐標，(Xi，Yi)為第i個插補點坐標。

由起點、終點及圓心坐標可得α1、α2，則圓心角α可由α1、α2計算;根據I、J 值可得圓弧半徑R，則由α和R 可得圓弧長度L;設定插補精度為L，根據L、L及R，可得插補分段數N 和分段圓心角α，則插補點坐標可由式(17)計算獲得。

式中;i 表示第i 個插補點，當順時針時，在(α1±i×)中取“-”，逆時針則取“+”。由式(17)計算插補點的理想坐標，再由式(15)對理想坐標進行修正。I、J為一段圓弧軌跡內，圓心坐標相對圓弧起點坐標方向的增量。

根據式(18)計算第i 個插補點對應Ii、Ji值:

式中:(X0，Y0)為補償前圓心坐標，(X(i-1)'，Y(i-1)')為第i-1 個插補點修正后的坐標。由式(18)計算的Ii、Ji值，可使補償前、后圓心坐標一致，避免了由于補償后圓心坐標改變引入的誤差，從而保證了補償精度。在修改G 代碼時，可選擇不同的，實現不同插補精度的補償。

3 誤差補償實驗

為驗證誤差建模及其補償方法的有效性，采用球桿儀檢測實驗機床兩軸聯動時的動態性能。將球桿儀兩端分別固定在機床兩軸上，在兩軸聯動帶動下產生球桿儀測量運動:XY 聯動時，使球桿儀往返轉動2 圈，每圈360°;XZ 和YZ 聯動時，使球桿儀往返轉動2 圈，每圈220°。當XZ 和YZ 聯動時，球桿儀轉動整圈會與機床發生干涉，故此處取接近極限位置的220°作為球桿儀的測量角度。最后，通過測試獲得的“最大徑向偏差”數據評價補償效果:即最大徑向偏差越小，則補償效果越明顯。

3.1 實驗系統簡介

實驗系統采用山東普魯特機床廠的DX6080 三軸數控機床(圖5)，該機床X、Y 及Z 軸有效行程分別為580 mm、750 mm、250 mm;采用英國雷尼紹公司的QC-20 球桿儀(圖6)對補償效果進行驗證，該球桿儀可對機床兩軸聯動的綜合性能進行檢測。

3.2 幾何誤差檢測

激光干涉儀可檢測除滾動角以外的其它幾何誤差［10］，電子水平儀可對滾動角誤差進行檢測［11］。因實驗機床結構原因，導致電子水平儀測量位置受限，未測量3 軸滾動角誤差，故實際對3 項定位誤差、3 項垂直度誤差、6 項直線度誤差及6 項角度誤差，共計18項幾何誤差進行了補償。采用英國雷尼紹公司的XL-80 激光干涉儀(圖7)對18 項誤差進行檢測。基于幾何誤差測量數據，利用提出的G 代碼修改誤差補償方法，自主開發了G 代碼修改的補償軟件，以獲得補償后的G 代碼。將補償前、后的G 代碼載入機床數控系統，便可開展誤差補償實驗。

3.3 誤差補償實驗及結果分析

在空載情況下，機床分別在XY、XZ 及YZ 平面內進行圓弧補償實驗，通過球桿儀檢測機床補償前、后兩軸聯動的綜合性能(圖6):圓弧測試半徑為150 mm，3個平面均測量順逆兩圈圓弧且順逆軌跡基本重合(圖8～10)，其中XY 平面為360°圓弧，XZ 與YZ 為220°圓弧。補償結果如圖8～10 及表1 所示。

由表1 可知，補償后運動空間3 個平面內聯動軌跡誤差減小40%以上，補償效果明顯;同時，從圖8～10 中可以看出，補償后圓弧圓度也有較大提高。

表1 圓弧補償結果

4 結語

為提高數控機床運動的幾何精度，采用修改G 代碼方式實現幾何誤差的補償。建立了多軸數控機床的空間誤差模型，提出了直線和圓弧軌跡的誤差補償算法。通過球桿儀測試機床的動態性能，開展了聯動軌跡的圓弧補償實驗，得到如下主要結論:

(1)基于多體系統理論和齊次坐標變換理論，建立了多軸數控機床的通用型誤差模型，該模型適用于不同結構的機床，并以三軸機床為例建立了其空間誤差模型。

(2)描述了基于修改G 代碼的運動誤差補償方法，驗證了所提出的三維空間內任意直線插補補償算法和可提高圓心位置精度的圓弧插補補償算法的有效性。

(3)在實驗機床運動空間3 個平面內進行聯動軌跡補償實驗，實現了機床空間誤差減小40%以上。

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