EPDM絕熱層的粘超彈本構模型①

張中水，陳 雄，周清春，杜紅英

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094；2.晉西工業集團技術研發中心，太原 030027)

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EPDM絕熱層的粘超彈本構模型①

張中水1，陳 雄1，周清春1，杜紅英2

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094；2.晉西工業集團技術研發中心，太原 030027)

為了準確描述固體火箭發動機內三元乙丙(EPDM)絕熱層在有限變形下的力學特性，主要通過多步松弛和單軸拉伸2種實驗方法，獲得平衡響應曲線和拉伸曲線。分別采用Ogden模型、Mooney-Rivlin模型，對平衡響應曲線進行擬合，并以此為基礎，引入應變率參數μ來描述EPDM在單軸拉伸實驗中的率相關特性，從而建立了EPDM在準靜態單軸拉伸條件下的本構模型。研究結果表明，本文所建立的模型能很好地描述EPDM在準靜態條件下的力學特性，通過該模型，也可在有限應變率范圍內預測EPDM的應力響應特性。

EPDM絕熱層；粘超彈；單軸拉伸；本構模型

0 引言

體火箭發動機絕熱層位于殼體與藥柱之間，發動機工作時，推進劑燃燒，產生大量高溫高壓燃氣，絕熱層通過不斷分解、燒蝕消耗大部分熱量，從而避免了燃氣對發動機殼體的侵蝕。此外，絕熱層的熱膨脹系數介于推進劑與殼體的熱膨脹系數之間，緩解了在生產、貯存和使用過程中，由于溫差較大而引起的殼體與推進劑之間的擠壓與摩擦。

目前，國內外有多種絕熱層材料，EPDM由于其密度小、比熱大、燒蝕率低、耐腐蝕和耐老化等特點，而得到廣泛應用。但由于EPDM橡膠本身極性低、自粘性和互粘性能差，燒蝕和成碳性能有限，一般需要加入一定比例的填料和粘接劑，來提高其耐燒蝕性能和粘接性能。因此，EPDM橡膠作為絕熱層所需要的填料，以及粘接劑成分的選擇和復合，成為許多當代學者主要研究的課題。張嘉蕙[1]提出，在EPDM中加入樹脂增粘劑，改善其粘接性能，加入玻璃、酚醛、碳等微球體作為填料，則可使EPDM作為絕熱層密度更低、更耐燒蝕。汪建麗等[2]提出在絕熱層中加入三溴化銻作為阻燃劑，促進聚合物表面成碳，稀釋或隔斷與氧作用的同時，也可降低聚合物表面的溫度。

為保證固體火箭發動機絕熱層在運輸、使用過程中，受到撞擊、熱應力等外力條件下能保持結構完整，要求絕熱層材料必須具有良好的力學性能。李冬等[3]對EPDM包覆層拉伸性能影響因素的實驗表明，在適當的拉伸速率下，材料鏈段運動的松弛時間與拉伸速率相適應，EPDM表現為一種粘超彈性能。Cheng和Chen[4]對EPDM在準靜態條件下的Mullins效應進行了研究。研究表明，在常溫下，EPDM是一種粘超彈性材料，其率相關性可采用應變率參數來進行描述。目前，在構造粘超彈性材料的本構模型中，主要可采用以下兩種方法：一種是在超彈性本構的基礎上，考慮參數的率相關性，從而建立粘超彈本構模型[5-7]；另一種是用超彈性元件與粘彈性元件進行串并聯組成的模型，該模型用于描述非填充與顆粒填充橡膠的率相關性[8-11]。

本文提出了一種新的方法，通過引入一個關于應變率的參數函數，建立能夠描述EPDM在單軸拉伸實驗過程中的粘超彈本構模型。經擬合與計算，得到模型參數，通過該模型的建立，使得在有限范圍內，可預測出EPDM在任一應變率下的應力應變響應。

1 實驗與結果分析

1.1 實驗材料及其制備

參照標準QJ 924—85，制備了厚度為6 mm的EPDM啞鈴型試件，尺寸如圖1所示(單位：mm)。實驗夾具采用該標準推薦的夾具，如圖2所示。

圖1 試件尺寸示意圖Fig.1 Diagram of specimens sizes

圖2 啞鈴型試件及夾具示意圖Fig.2 Diagram of dumbbell specimens and jig

實驗在微機控制電子萬能材料試驗機上完成，實驗環境溫度為15 ℃，相對濕度為40%。分別進行了5組等速單軸拉伸實驗、多步松弛實驗以及驗證實驗。

1.2 實驗方法

在100 mm/min的速率下做多步松弛實驗，將試件每次拉伸2%，應變保持600 s，重復進行若干次，直至試件斷裂。將每次松弛后的應力看作該應變處應力的平衡位置。依次連接各平衡應力點，即可得到EPDM的平衡響應曲線，如圖3所示。由于平衡響應曲線是將材料松弛若干次之后得到的，因此可將其看作是EPDM超彈性部分的力學曲線[12]。

圖3 多步松弛實驗下的力學曲線Fig.3 Experimental date under multi-step relaxation

分別在應變率為3.33×10-4、3.33×10-3、6.67×10-3、3.33×10-2、6.67×10-2s-1下進行等速單軸拉伸實驗，得到5組不同應變率下的拉伸曲線。其實驗結果均為5個有效樣本的平均值。將單軸拉伸曲線與平衡響應曲線進行對照，如圖4所示。

圖4 EPDM不同加載速率下的力學曲線Fig.4 Experimental data for EPDM under different rates

1.3 實驗結果分析

如圖4所示，不同應變率下拉伸的曲線與平衡響應曲線趨勢較為接近，均由彈性上升段、屈服流動段和應變軟化段構成。相對于其他橡膠材料，EPDM的拉伸強度較高，拉斷伸長率較大，拉伸曲線的率相關性明顯，隨應變率的增加，同一應變下的應力值隨之增大。因此，可認為EPDM是一種粘超彈性材料。根據李東等[3]對包覆層材料的描述中可看出，在一定范圍內，應變率越大，材料內部所發生的粘性流動越小。在任一速率下的拉伸曲線均為急速上升后平穩下降，這是由于峰值點以后的材料變形主要取決于分子鏈段運動，外力促使材料主鏈發生內旋轉運動，此運動所需外力比直接改變化學鍵的鍵長和鍵角所需要的外力小，而變形量大。因此，在曲線上表現為應力下降狀態。高分子鏈段在伸展過程中所需力的大小變化不明顯，故曲線的下降段呈現平穩趨勢。

2 粘超彈本構模型

由于各應變率下的單軸拉伸曲線均與平衡響應曲線趨勢相近，因此本文采用在超彈性本構的基礎上，引入應變率參數來描述其率相關性，從而建立EPDM在不同應變率下的本構模型，其表達式可寫成

(1)

2.1 超彈部分f(ε)

2.1.1 Mooney-Rivlin模型

基于不變量的應變能函數，可表示為W=W(I1,I2,I3)。根據具體加載條件下的基本關系，就可導出Piola-Kirchhoff應力張量σij和Green-Lagrange應變張量εij之間的關系[13]。

(2)

其中，I1、I2、I3為Green應變不變量，其表達式分別為

I2=(λ1λ2)2+(λ2λ3)2+(λ3λ1)2

I3=(λ1λ2λ3)2

(3)

將式(3)代入式(2)，可得到材料的主應力和主伸長比之間的關系為

(4)

λi=1+εi(i=1,2,3)

(5)

t=σλ

(6)

式中p為靜水壓力，反映其超彈性體不可壓縮的特性，在任何情況下，p都是由應力的參比狀態決定的。

為消去p，可采用逐差法，對主應力依次做差可得到

(7)

在不可壓縮條件下，t2=t3=0，再將式(5)、式(6)代入式(7)，可得單軸拉伸下的名義應力與名義應變之間的關系為

(8)

Mooney[14]通過物質相變理論和大量試驗，探討了不可壓縮各向同性超彈性材料有限變形彈性理論。該模型是基于右Cauchy-Green變形張量的第一和第二不變量的應變能函數，其表達式為

(9)

Tschoegl[15]認為，含高階項的Mooney-Rivlin模型能更好地適應填充與非填充橡膠材料。本文采用五項Mooney-Rivlin模型，其應變能函數表達式為

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)+C20(I1-3)2+

C02(I2-3)2+C11(I1-3)(I2-3)

(10)

式中C10、C01、C20、C02、C11為材料的超彈性參數。

將式(10)代入式(8)，即可得到五項Mooney-Rivlin模型名義應力-名義應變表達式為

σ=2[(1+ε)-(1+ε)-2]〈C10+2C20[(1+ε)2+

2(1+ε)-1-3+C11[2(1+ε)+(1+ε)-2-3]+

(1+ε)-1{C01+2C20[2(1+ε)+(1+ε)-2-3]+

C11[(1+ε)2+2(1+ε)-1-3]}〉

(11)

該模型形式簡單、易于實現而被廣泛應用，可較好地擬合中等應變范圍材料的力學實驗結果。

2.1.2Ogden模型

對于基于伸長率的應變能函數，名義應力可直接由應變能函數對伸長率求偏導得到。

(12)

由t2=t3=0，可得到

(13)

Ogden[16]為克服采用變形張量不變量導致的關系式復雜，提出以主伸長率來表征的應變能函數，其形式為

(14)

式中μn和αn是任意常數，需用最小二乘法擬合獲得。

級數的項數可調整以擬合實驗數據，所以Ogden模型具有更大的靈活性。將式(13)、式(14)代入式(12)，可得到Ogden模型的名義應力-名義應變表達式為

(15)

2.1.3 參數擬合與分析

分別用五項Mooney-Rivlin模型、Ogden(n=2)模型、Ogden(n=3)模型對EPDM超彈性應力應變曲線進行擬合，擬合結果如圖5和表1所示。

圖5 超彈性力學曲線的擬合與實驗結果的對比Fig.5 Comparison between fitted result and experimental data under hyperelastic

表1 超彈本構擬合參數Table 1 Parameters in proposed stress-strain equation

由表1可看出，3種超彈性本構模型對實驗結果的擬合都很好，但由于Ogden模型本身穩定性較好，且用伸長率表示的模型比用應變不變量表示的更為直觀，當n=2時，該模型的模型參數少，形式簡單，因此選用Ogden(n=2)模型作為超彈性部分f(ε)的本構方程。

根據式(1)提出的本構模型，應變率參數的求取應采用各應變率下，任一應變時的應力與該應變下超彈性部分的應力相除得到，即

(16)

圖6 擬合曲線和計算曲線的對比Fig.6 Comparison between fitted result and computed result

表2 線性擬合參數及相關系數Table 2 Linear fitting parameters and the correlation coefficient

由表2可看出，μ與lnε線性相關性較好，故可得到應變率參數μ的表達式為

(17)

令

(18)

則有：

(19)

(20)

(21)

擬合結果如圖7和表3所示。可看出，采用對數函數對參數A、B擬合的擬合結果較好，故參數A、B可表示為關于應變率的對數形式。

圖7 參數A、B的對數擬合曲線Fig.7 Logarithmic curve fitting of parameters A and B

表3 參數擬合結果Table 3 Parameter fitting results

2.3 粘超彈本構模型與實驗數據的對比分析

將式(15)～式(21)代入方程(1)，得到粘超彈本構方程為

(22)

將表1和表3中的模型參數代入式(22)，就可得到只關于應變和應變率的本構方程，即可實現在有限范圍任一應變率下的應力應變響應均可由該方程描述。

依次將單軸拉伸實驗中的5個應變率值代入式(22)，即得到各應變率下的本構方程，將得到的預測曲線與實驗結果進行對比，結果見圖8。從圖8可看出，該模型對實驗結果擬合較好，可很好地描述EPDM在準靜態單軸拉伸條件下的力學特性。

圖8 EPDM 不同應變率下擬合曲線與實驗結果的對比Fig.8 Comparison between fitted result and experimental data for EPDM under different rates

2.4 驗證實驗

從圖9可看出，預測曲線與實驗結果重合較好，而在獲取應變率參數μ的過程中，并沒有用到該應變率下的實驗數據，這說明當應變率介于0.000 3 s-1和0.066 7 s-1之間時，EPDM在準靜態單軸拉伸實驗下的應力應變響應均可由該本構模型預測得到。

圖9 1.667×10-3 s-1下擬合曲線與實驗結果對比Fig.9 Comparison between fitted result and experimental data at the rate of 1.667×10-3 s-1

3 結論

(1)利用萬能試驗機，對EPDM在準靜態下的力學性能進行實驗。實驗結果表明，在單軸拉伸過程中，材料的拉伸強度高，拉斷伸長率大，拉伸曲線的率相關性明顯。因此，可認為EPDM屬于粘超彈性材料的范疇。

(2)采用Ogden模型，對多步松弛實驗中材料的平衡響應曲線進行擬合，得到材料超彈性部分的模型參數，再依次采用各應變率下，任一應變時的應力與該應變下的平衡應力之比求取應變率參數函數，從而建立了能夠描述和預測EPDM在單軸拉伸下的粘超彈本構模型。

(3)本文所建立的粘超彈本構模型是以超彈性模型為基礎，引入相關項來實現的，由于超彈性模型本身的局限性，而導致該本構模型不能描述文中所提到的松弛特性，且對實驗的卸載過程也很難說明，需要對該模型進一步完善，以解決此類問題。

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(編輯：劉紅利)

A visco-hyperelastic constitutive model for EPDM insulation

ZHANG Zhong-shui1, CHEN Xiong1, ZHOU Qing-chun1, DU Hong-ying2

(1.School of Mechanical Engineering，NUST，Nanjing 210094，China；2.Technology Research and Development Centre，Jinxi Industries Group，Taiyuan 030027，China)

To describe the mechanical property of EPDM insulation of solid rocket motor under finite deformation condition, equilibrium response curve and tensile curves were obtained by multi-step relaxation and uniaxial tensile tests. The article mainly adopts Ogden and Mooney-Rivlin strain energy function to characterize the equilibrium response curve, based on which, the parameterμwas introduced as a function of strain rates and strain which is sufficient to determine the rate effects of EPDM rubber under the uniaxial tension tests. The constitutive model can effectively characterize the mechanical property of EPDM under quasi-static loading. And in this way, the stress-strain behavior of EPDM can be predicted by the constitutive equation as long as the strain rates are in a limited range.

EPDM insulation；visco-hyperelastic；uniaxial tension；constitutive model

2014-03-24；

：2014-07-10。

總裝備部重點預先研究項目(20101019)。

張中水(1990—)，女，碩士生，研究方向為航空宇航推進理論與工程。E-mail:zhongshuizhang@126.com

V258

A

1006-2793(2015)02-0273-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.022