基于改進灰色馬氏鏈模型的齒輪壽命分析*＊

馬 峻 王 京

(北京電子科技職業學院汽車工程學院，北京100026)

機床的工作精度和使用壽命在很大程度上取決于其齒輪系統的壽命。傳統的壽命可靠性試驗是通過將樣品放在模擬或真實的工作環境下測量其在一定工作循環次數后的失效狀態，并利用次序統計量理論來進行可靠性特征的最后確定，統計失效率、平均可靠性指標。這樣的實驗需要大量的樣本、時間以及繁瑣的分析過程，并且實驗所得數據還存在大量不完全明確的信息。

1 組合模型方法

為了得到更準確的壽命信息，可以采用數學模型的方法進行分析預測［1］。隨著人們對數學模型研究的深入，可以用來進行說明預測的數學模型種類很多，如灰色模型、馬爾科夫模型、指數回歸模型等。但單一的數學模型往往具有一定的缺陷，無法進行高精度分析。例如灰色模型對于離散變量的預測精度無法較好控制，且一般只用于小樣本數據，當數據較多，離散程度較大時，其灰度較大，預測精度較差［2］;馬爾科夫過程則偏重無后效性數據序列的預測［3-4］;指數回歸模型則要求大量的樣本且具有較好的分布規律［5］。近年來通過將不同模型預測方法進行優化組合產生新的組合模型進行預測的方法發展迅速［6-9］，這為齒輪壽命的分析預測提供了新的思路。

2 遺傳粒子群-灰色馬氏鏈組合模型

2.1 灰色GM(1，1)模型預測

選取某品牌汽車自動變速箱某一檔位齒輪為壽命試驗對象，抽取100 個樣本進行失效個數為10 的無替換定數截尾實驗，齒輪壽命如表1 所示。

表1 實驗數據

以1 ～5 號數據為基礎，建立原始數列x(0)。

對x(0)進行一次累加(1 -AGO)生成x(1)。

x(1)的緊鄰均值生成序列:

式中:z(1)(k)=4，5。

對生成的序列x(1)建立GM(1，1)模型微分方程，即

根據z(1)和x(0)可列出

利用最小二乘估計參數列滿足方程a=(BTB)-1BTY，求解出a和b

則微分方程為

將其還原成GM(1，1)模型的預測值:

由式(8)求得的預測數據與實際數據的對比如表2 所示，根據GM(1，1)模型得出的預測值求出預測值與實際值之間的殘差ε(0)(k)=x(0)(k)-^x(0)(k)，進而求得殘差相對值

2.2 灰色馬氏鏈模型預測

馬氏鏈即馬爾科夫過程，于1906 年由前蘇聯數學家A.A.Markov 提出，經過一百多年的演變，在理論上已十分完善，是隨機過程領域的重要組成，對于無后效性數據序列的預測精度較高。

在灰色模型的基礎上，將殘差相對值劃分為若干個狀態，每個狀態區間為σi=［Li，Ui)，結合表2 的數據，具體劃分為σ1=［-10%，-5%);σ2=［-5%，0);，σε=［0，5%)，σ4=［5%，10%)4 個狀態。殘差相對值所對應的狀態劃分結果如表2 所示，建立馬氏鏈模型。

表2 灰色GM(1，1)模型預測結果及殘差

轉移1 步所對應的概率矩陣

表3 轉移1 步后出現各狀態的概率

表4 灰色模型預測與灰色馬氏鏈模型預測值比較

對比兩種模型的預測值可以看出灰色馬氏鏈模型比單一的灰色模型預測精度更高，誤差更小?？梢娀疑R氏鏈模型更適合處理此類隨機波動性較大的問題。但任何預測模型都不能完全做到絕對準確，因此，灰色馬氏鏈模型仍有改進的空間。

2.3 遺傳粒子群修正的灰色馬氏鏈模型預測

由上述計算可以發現對于殘差序列的狀態，中間值并不一定是最好的選取結果，最好的結果可能是狀態區間中的某一個值。若把狀態所在的區間σi=［Li，Ui)設定為結果不確定的灰區間，對這種灰區間的白化方法應該表示為=(1 -ε)Li+εUi。式中:ε 稱為白化系數，應滿足ε∈［0.1］?；疑R氏鏈模型的預測結果實際上是取ε=1/2。

對此類問題的優化設計算法常見的有梯度法［10-11］、牛頓類法［12-13］、變尺度法［14］、懲罰函數法［15］、遺傳算法［16-17］等。在非線性問題優化方法中，遺傳算法(GA)是對問題變量的編碼集進行操作，從一個點群開始尋優，因此可以獲得全局最優解，具有廣泛的實用性。粒子群算法(PSO)則是模擬鳥群在覓食過程中發現的。其通過個體間的相互競爭與協作來解決復雜空間中的最優解的搜索問題［18］，而遺傳算法與粒子群算法的混合模式(GA -PSO)比其他類型算法的混合模式具有更好的優化效果［19］?；旌纤惴ㄖ幸赃z傳算法為基礎，進行原始種群的產生、選擇、交叉、變異等計算，同時為提高連續變量的優化水平，選取部分基因，固定其中的離散變量值，再采用離子群法對連續變量值進行優化計算，然后將結果替換原始種群，返回遺傳算法，循環上述規則，直至滿足終止條件。其總體流程如圖1 所示。

算法實現:

步驟一:隨機產生多組編碼與固定的離散變量組成粒子群，每個粒子代表一個白化系數。

步驟三:更新粒子適應度，用每個粒子當前的適應度值與自身當前最好的適應度值作比較，若當前適應度值較小，則取代最好適應度，作為新的當前最好適應度，進而得到當前白化系數的最優解。

步驟四:更新粒子群適應度，用每個粒子當前最好適應度與粒子群的最好適應度作比較，得到當前最優白化系數值。

步驟六:判斷是否滿足終止條件，如果滿足，則終止循環，如果不滿足，則回到步驟二，直至找到最優解，輸出優化粒子群。

上面提到的4 個灰色區間為σ1=［-10%，-5%］;σ2=［- 5%，0］;σε=［0.5%〕，σ4=［5%，10%)，它們的白化表示為:

式中:εi∈［0，1］，i=1，2，3，4。

計算中，選取粒子長度為4，粒子數為500，學習因子c1=2;c2=2，加權因子ω=1，迭代次數為800，粒子更新位置最大為1，最小為0，粒子更新速度最大為0.01，最小為-0.01.通過MATLAB 計算，取ε =［ε1，ε2，ε3，ε4］=［0.4，0.4，0.5，0.7］

經過計算后，其預測值如表5 所示。

3 結語

(1)使用單一的灰色GM(1，1)模型分析變速箱齒輪問題精度較差，標準差為7.2%。

表5 各種模型預測值、殘差值及標準差比較

(2)灰色馬氏鏈模型能夠有效提高分析預測的精度，使標準差下降到3.4%，這種組合模型更適合描述隨機性較大的問題。

(3)利用遺傳粒子群算法(GA-PSO)對灰色馬氏鏈模型的參數進行修正后，精度進一步提高，標準差僅為1.9%。計算表明該種修正后的組合模型對于變速箱齒輪壽命類隨機性較大的離散問題具有很好的分析水平和預測精度。

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