磁懸浮主被動混合隔振器靜穩定性分析

倪 圓，何 琳，帥長庚，李 彥

（1海軍工程大學 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

磁懸浮主被動混合隔振器靜穩定性分析

倪 圓1，2，何 琳1，2，帥長庚1，2，李 彥1，2

（1海軍工程大學 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

磁懸浮主被動混合隔振器是一種正負剛度并聯的彈性結構。針對該結構存在的穩定性問題，建立了某型磁懸浮主被動混合隔振器的剛度模型。基于虛功原理，推導出判定彈性系統靜穩定性的剛度準則。運用該準則，結合混合隔振器的剛度模型分析了該主被動混合隔振器的靜穩定性。理論和實驗結果表明，該混合隔振器在工作位移內，系統剛度為正，混合隔振器是靜穩定的。

磁懸浮作動器；氣囊；混合隔振器；靜穩定性

0 引 言

主被動混合隔振由被動隔振器承載設備重量并隔離寬頻振動，同時利用作動器進行主動控制從而衰減線譜振動，可同時獲得良好的寬頻隔振效果和線譜控制效果[1]。氣囊隔振器具有固有頻率低、承載能力大、駐波頻率高、無蠕變等特點，是一種性能優異的隔振器。磁懸浮作動器具有無接觸、輸出力大、等效剛度低的優點，非常適用于主動控制。本文將磁懸浮作動器并聯集成到氣囊隔振器內部組成主被動混合隔振器，由氣囊承載設備重量并高效隔離寬頻振動，同時控制磁懸浮作動器消除殘余的低頻線譜振動，該技術具有可靠性高和功耗小等優點，可以兼顧低頻線譜振動控制和寬頻振動隔離[2]。

在不進行主動控制時，混合隔振器中氣囊在載荷作用下發生變形，其承載能力隨蓋板位移增加而增大，隔振器剛度為正；磁懸浮作動器的偏置吸引力隨蓋板位移的增加而增大，與氣囊并聯后造成系統承載減小，磁懸浮作動器的等效位移剛度為負。磁懸浮主被動混合隔振器可以看做正負剛度并聯的彈性結構。正負剛度并聯的隔振器能降低系統固有頻率，具有較好的低頻隔振效果，國內外學者對此進行了大量研究[3-6]，但過低的固有頻率或剛度也會使隔振裝置的穩定性下降[7]。當隔振器處于負剛度狀態時，此時隔振器載荷隨位移增大而減小，若以不變的載荷作用于其上，則會發生跳躍現象，造成系統靜態失穩[8]。任何隔振器必須是靜態穩定的，因此采用磁懸浮主被動混合隔振器進行隔振時有必要分析其靜穩定性。

本文基于磁路歐姆定律及實驗修正的方法建立了某型磁懸浮作動器的等效負剛度模型，結合氣囊隔振器的剛度模型，建立了混合隔振器的系統剛度模型。隨后基于虛功原理，推導了彈性系統靜穩定性的剛度準則，并根據該準則分析了該混合隔振系統的靜穩定性，最后通過實驗驗證了該穩定性。

1 磁懸浮主被動混合隔振器模型

1.1 主被動混合隔振器結構

本文采用的磁懸浮主被動混合隔振器，是將磁懸浮作動器集成到氣囊隔振器內部實現并聯安裝，系統結構如圖1所示。圖中氣囊上蓋板與作動器銜鐵連接，氣囊下蓋板與基座相連。載荷和外界擾動作用于氣囊上蓋板，氣囊隔振器承載設備重量并高效隔離寬頻振動向基座傳遞，同時磁懸浮作動器通過輸出磁懸浮力抵消設備傳遞到基座上的低頻線譜振動。系統中氣囊剛度為正，磁懸浮作動器永磁偏置產生的等效位移剛度為負。該混合隔振器為典型的正負剛度并聯結構。

1.2 氣囊剛度模型

氣囊隔振器的支撐、彈性作用主要取決于氣囊內的壓縮氣體，氣囊壁對隔振器承載力和剛度影響較小。忽略囊壁對隔振器承載力的影響，氣囊隔振器的剛度為[9]：

圖1 主被動混合隔振系統簡圖Fig.1 Sketch of active-passive hybrid isolation system

其中：P為囊內氣體壓力，Se是氣囊的有效面積，n為氣體多變指數，靜態加載時取1。Pa為大氣壓力，V為氣囊體積，z為氣囊上蓋板位移，取向下位移為正。在氣囊額定載荷時位移z為零。對于回轉型氣囊，氣囊隔振器的有效面積可表達為：

囊內氣體體積的表達式為：

氣囊壓力的表達式為：于P，Se和V都是氣囊蓋板位移z的函數，因此對于固定質量的氣體，氣囊隔振器的剛度隨位移呈復雜的非線性變化關系。以某型氣囊隔振器為例，根據氣囊剛度模型，代入氣囊參數，可得到氣囊隔振器剛度隨位移變化如圖2所示。

圖2 氣囊隔振器剛度隨位移變化Fig.2 Stiffness of air-spring vs.displace

圖3 修正后氣囊隔振器剛度隨位移變化Fig.3 Modified stiffness of air-spring vs.displace

由圖2可以看出，由氣囊隔振器剛度理論計算得到的結果與實驗值偏差較小，說明文中采用的氣囊剛度模型具有較高的精度。考慮到氣囊隔振器中安裝有磁懸浮作動器，氣囊隔振器的剛度模型需進行修正。某型磁懸浮作動器的體積為Va，混合隔振器囊體體積變為V1=V-Va。經過體積修正后，氣囊隔振器剛度隨位移變化如圖3所示。

1.2 磁懸浮作動器負剛度模型

磁懸浮作動器可以采用多種結構形式：上下電磁鐵結構、引入直流偏置電流或使用永磁體偏置等方式。本文采用單邊永磁偏置的E型磁懸浮結構[2]。如圖4所示，其主要由鐵芯、銜鐵、永磁體、導磁橡膠以及線圈組成。永磁體在作動器磁回路中形成偏置磁場，從而對銜鐵產生偏置吸引力。當給線圈通入交變的控制電流，就可獲得交變的輸出力。導磁橡膠粘貼在永磁體上表面，能提升氣隙中的磁導率，從而提高作動器的輸出力。另外，導磁橡膠具有彈性，能在銜鐵與其接觸時增加整個系統剛度。

填充導磁橡膠后，氣隙磁導率增加，其效果相當于縮短作動器的氣隙。可認為填充導磁橡膠后氣隙高度變為原來的k倍（k＜1）。忽略漏磁、磁阻并假設氣隙磁場均勻，由磁路歐姆定律可得到作動器輸出力：

圖4 磁懸浮作動器結構圖Fig.4 Diagram of maglev actuator

式中：g是銜鐵、永磁體間的氣隙高度，h為永磁體厚度，S1和S2分別是內外鐵芯與銜鐵的正對面積，μ0和μr分別是真空磁導率和永磁體的相對磁導率，Fm為永磁體產生的磁勢，N和i分別為線圈匝數和電流。不進行主動控制時，由永磁體產生的靜態偏置吸引力為：

其中：

針對（6）式中忽略漏磁、磁阻以及所做的磁場均勻假設帶來的誤差，本文結合某型磁懸浮作動器實驗數據，采用曲線擬合的方法對（6）式進行參數辨識，得到圖5和表1的結果。

氣囊在額定載荷下，作動器初始氣隙為5 mm，作動器的氣隙與氣囊上蓋板位移之間的關系為g= 5-z。由（6）式可得到作動器的偏置力與氣囊蓋板位移之間的關系式為：

表1 作動器辨識參數Tab.1 Identified parameters of the actuator

1.4 混合隔振器剛度模型

磁懸浮主被動混合隔振器可以看做是單自由度彈性系統。當作動器銜鐵不與導磁橡膠接觸時，混合隔振器剛度由氣囊正剛度Ks和磁懸浮作動器等效負剛度Ka兩部分并聯；當作動器銜鐵與導磁橡膠接觸時，混合隔振器剛度由氣囊正剛度Ks、磁懸浮作動器等效負剛度Ka以及導磁橡膠的剛度Kr三部分并聯。按氣囊蓋板位移行程z進行劃分，混合隔振器總剛度可表達為：

圖5 作動器的偏置力隨氣隙變化Fig.5 Bias force of actuator vs.air-gap

圖6 作動器等效負剛度隨位移變化Fig.6 Negative stiffness of actuator vs.displace

由（7）式可以看出，隨著位移增加，作動器的偏置吸引力逐漸增大，作動器表現為對位移的負剛度。將上式對位移z求導，可得到作動器等效位移負剛度為：

2 混合隔振器靜穩定性分析

2.1 單自由度彈性系統靜穩定性判定準則

若一受載發生彈性形變并達到平衡狀態的結構在微小擾動作用下稍微偏離其平衡位置后，能回到或有趨勢回到原平衡位置，則稱此平衡態是靜穩定的。對處于平衡狀態的彈性系統，根據虛功原理[10]：

其中：δWF為主動力對應的虛功，N為廣義坐標數，Qk為與廣義坐標qk對應的廣義力：

式中：x，y，z為質點的自然坐標，Fx，Fy，Fz為自然坐標下對應的主動力。由于作用在彈性系統質點上的主動力都是有勢力，各力的投影都可以寫成用勢能V的表達的形式：

于是有：

由于廣義坐標的獨特性，δqk可任意取值，所以必須滿足：

由（14）式可知，在勢力場中，彈性系統平衡的條件是勢能對于每個廣義坐標的偏導數分別等于零，即勢能具有極值。滿足平衡條件的彈性系統可能處于不同的平衡狀態：穩定平衡、隨遇平衡和不穩定平衡。在穩定平衡位置處，由于系統受到擾動后能回到原平衡位置，因此系統勢能具有極小值，而不穩定平衡處，系統勢能具有極大值[10]。對于單自由度彈性系統，q為系統位移。系統勢能函數為：

系統剛度為有勢力對位移的負導數，即：

由（16）式可以看出，單自由度彈性系統的剛度等于系統勢能函數對位移的二階導數。因此，單自由度彈性系統的靜穩定性判定準則為：

2.2 穩定性分析

某型磁懸浮主被動混合隔振器在6.1 kN的額定載荷下保持平衡，此時磁懸浮作動器的初始氣隙為5 mm。由于磁懸浮作動器氣隙中填充了3 mm導磁橡膠，混合隔振器正常工作時銜鐵不與導磁橡膠接觸，因此主被動混合隔振器的工作氣隙大于3 mm，對應的工作位移小于2 mm。

當混合隔振器蓋板位移區間為負時，由圖3和圖6可以看出，此區間內作動器等效負剛度絕對值均比氣囊正剛度小，系統剛度始終為正，根據穩定性判定準則可判定該區間內混合隔振器是靜穩定的。

當混合隔振器蓋板位移區間為0-2 mm時，根據前面系統剛度模型，可計算出主被動混合隔振器系統總剛度隨位移變化關系如圖7所示。

由圖7可以看出，在2 mm的工作位移內，由于磁懸浮作動器的等效負剛度的影響，混合隔振器總剛度隨著位移增大而減小，但總剛度始終為正。根據穩定性判定準則可知，混合隔振器在工作位移內是靜態穩定的。

當蓋板超出2 mm的工作位移時，銜鐵開始與導磁橡膠接觸，混合隔振器剛度由氣囊、作動器和橡膠三部分組成。實驗測得導磁橡膠的等效位移剛度在3 000 N/mm以上，由于導磁橡膠剛度量級遠超過氣囊隔振器和磁懸浮作動器的剛度，因此該混合隔振器的總剛度會發生階躍性增大，其系統剛度始終為正。根據穩定性判定準則，即使混合隔振器超出工作位移，其也是靜穩定的。

由以上分析可知，該磁懸浮混合隔振器在小于2 mm的工作氣隙內是靜穩定的。即使混合隔振器蓋板超出工作位移，系統總剛度同樣為正，系統還是靜穩定的。

圖7 主被動混合隔振器剛度隨位移變化Fig.7 Stiffness of hybrid isolator vs.displace

3 實驗驗證

為了驗證穩定性分析的準確性，本文將主被動混合隔振器，如圖8所示，放在MTS landmark 370.50試驗系統上進行靜態加載實驗，與之進行對比實驗的還有同種型號但未安裝作動器的氣囊隔振器。試驗前將混合隔振器以額定高度固定在試驗機上，緩慢給混合隔振器充氣，直到其垂向載荷達到6.1 kN時停止充氣。試驗采用位移方式控制，加載速率為0.1 mm/s，以此來模擬靜態加載。取一個周期循環的靜態載荷位移數據，得到如圖9所示曲線。

圖8 磁懸浮氣囊主被動混合隔振器Fig.8 Passive-active vibration isolator combining maglev actuator and air spring

由圖9可以看出，在小于2 mm的工作位移內，混合隔振器的載荷隨氣囊蓋板位移增加而增大，相對氣囊隔振器而言，其載荷位移曲線逐漸趨于水平，其斜率即混合隔振器剛度隨位移逐漸減小，但總剛度始終大于零，根據穩定性判定準則，混合隔振器在工作位移內是靜穩定的，這與前面的理論分析一致。當位移超過2 mm時，混合隔振器的載荷位移曲線發生突變，說明作動器銜鐵開始與導磁橡膠接觸。接觸后載荷位移曲線斜率即隔振器總剛度變得很大，根據穩定性判定準則，在此位移區間內該混合隔振器也是靜穩定的。

綜合以上實驗結果可知，該混合隔振器在工作位移內總剛度為正，隔振器是靜穩定的。當超出工作位移時，由于導磁橡膠的作用，混合隔振器也是靜穩定的。實驗結果驗證了理論分析的正確性。

圖9 氣囊隔振器剛度隨位移變化Fig.9 Stiffness of air-spring vs.displace

4 結 論

采用磁懸浮主被動混合隔振器進行設備隔振時，需對其進行靜穩定性分析。本文從建立磁懸浮混合隔振器剛度模型出發，推導了判定單自由度彈性系統靜穩定性的剛度準則，從理論上分析了某型磁懸浮主被動混合隔振器的靜穩定性。隨后對該混合隔振器進行MTS靜態加載實驗，通過實驗驗證了理論分析正確性。理論和實驗結果表明，混合隔振器在工作位移內是靜穩定的，即使超出工作位移，由于有導磁橡膠的保護，混合隔振器也不會失穩。但在實際使用時，為了使主動控制正常工作以及保護易脆的永磁體不受到過大的載荷，需對混合隔振器進行限位設計，確保蓋板位移不超出2 mm。

致謝：本文工作得到了國防科技重點實驗室基金（編號：SYSZC2012002）的資助。

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Static stability analysis of a passive-active hybrid vibration isolator

NI Yuan1,2,HE Lin1,2,SHUAI Chang-geng1,2,Li Yan1,2
(1 Institute of Noise&Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China；2 National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise,Wuhan 430033,China)

Passive-active vibration isolator using maglev actuator is a elastic structure combining positive and negative stiffness.Stiffness model of the hybrid vibration isolator is established to solve the stability problem of the structure.According to virtual work principle,the stiffness principle determining the static stability of a elastic system is derived.This stiffness principle combining the stiffness model is used to analyze the static stability of the hybrid vibration isolator.Theory and experimental results show that the stiffness of the hybrid vibration isolator is positive for working displace,and the isolator is stable.

maglev actuator;air-spring;hybrid vibration isolator;static stability

TB535

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.10.013

1007-7294（2015）10-1275-07

2015-05-28

國防科技重點實驗室基金資助（SYSZC2012002）

倪 圓（1986-），男，博士研究生，E-mail:niyuan-1986@163.com；何 琳（1957-），男，教授。