滾齒機主軸-立柱動態特性分析

李特，芮執元，胡赤兵，劉軍，王蕊

(1．蘭州理工大學數字制造技術與應用省部共建教育部重點實驗室，甘肅蘭州 730050;2．蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050;3．蘭州市酒泉路街道辦事處，甘肅蘭州 730030)

0 前言

齒輪加工朝著高速高精度方向發展，受迫振動和顫振問題日益明顯，主軸轉速和切削力則是造成此類影響的重要因素。滾齒加工切削力大、扭矩高、主軸剛性的強弱會直接影響到齒輪加工精度。一部機床是由床身、立柱、主軸箱等多個部件組合而成，每個部件的性能都會對整體性能產生影響。滾齒切削為多個切削刃同時參與的斷續切削，切削力隨主軸旋轉而變化，為周期性交變力，這是使主軸產生受迫振動的主要原因。主軸通過主軸箱安裝在立柱上，其剛度一定程度上受立柱剛度的影響，若激振頻率等于或接近立柱的固有頻率時就會引起立柱的共振，使其產生變形，從而導致滾刀主軸與工件主軸中心距改變，進而影響加工精度［1］。因此很有必要對機床的關鍵部件進行動力學分析，以達到優化設計的目的，從而使機床達到較高性能。

目前眾多學者對數控機床主軸做了大量研究，得出主軸-軸承系統是整個機床最薄弱的環節，但對床身與主軸的動力關聯問題考慮較少。CAO和ALTINTAS［2］指出只對主軸單方面的建模和分析并不能準確預測機床整體的動力性能;PETR KOLAR等［3］建立了某銑床的主軸-立柱耦合模型，利用有限元法和實驗模擬并測試了在靜態和切削兩種工況下主軸頻率的變化特點，研究結果顯示床身對主軸動態特性和切削穩定性有著不可忽略的影響;CHING等［4］針對某立式銑床的導軌、滾珠絲杠和軸承利用有限元法建立了精確地彈簧-阻尼模型，研究了不同的導軌預緊力對主軸-床身動態特性的影響，指出導軌是主軸-床身的薄弱環節，且導軌預緊力對于主軸動態特性有較大影響;孫偉等人［5］分別利用假想材料和彈簧-阻尼單元模擬了導軌的動態特性，并將兩種模型分別引入機床，分析說明了導軌結合部對機床動靜態特性有著很大影響。本文作者對一臺由車銑復合加工機床改造而來的滾齒機進行結構分析的基礎上，建立了其三維裝配實體模型，并利用有限元法對其立柱-主軸系統進行了動力學分析，旨在從動力學角度確定該改造的合理性并研究滾齒機主軸-立柱系統的動態特性，以期對該類型機床的改造和設計起到一定的指導作用。

1 機床模型及結構

1．1 機床結構

文中所研究對象為一臺經過改造的車銑復合機床，其具有滾齒功能。圖1所示為機床總體結構圖。改造時將原機床工件主軸去掉卡盤，換為刀柄，裝上滾刀刀桿，滾刀軸通過拉桿、墊環和螺母固定。將原刀架部分換為具有分度功能的回轉工作臺用以夾持齒輪毛坯，毛坯通過墊環和螺母固定。由于工件主軸再無立柱提供軸向(z向)支撐，故不能承受太大切削力;限于尺寸，伺服電機也不能提供太大扭矩，因此該機床為中小模數機床。

圖1 機床結構

1．2 機床立柱-主軸結構

如圖1和圖2所示，立柱安裝在床身上，通過6個螺栓與床身固定。滾刀箱與電機受圓柱套筒滾子鏈拉力與立柱內的配重塊相平衡，經由直線導軌安裝于立柱之上并可在滾珠絲杠的帶動下實現上下移動，且可繞底座軸線(A軸)旋轉一定角度以適應不同參數齒輪的加工。主軸由伺服電機通過帶輪驅動，可實現兩級變速，滾刀軸前端用雙列圓柱滾子軸承和角接觸球軸承配合支撐，約束其軸向及徑向自由度;后端用滾針軸承支撐，軸向放開，以抵消熱變形及受力變形(見圖3)。

圖2 立柱結構(正面)

圖3 立柱結構(背面)

2 機床立柱-主軸系統有限元模型

滾齒加工過程中滾切力變化快、慣性力變化大，加上其他工藝性問題，很難建立起精確的力學模型［1］，因此常采用有限元方法建模［6］。

2．1 結合面剛度計算

機床由多個部件組成，各部件之間靠機械結合面發生作用，結合面間的剛度和阻尼對機床動態特性有著重要影響，據研究機床中大約有60%的剛度和90%的阻尼來自于結合面［7］。有限元中通常將滑塊與導軌結合面及滾珠絲杠結合面都等效為彈簧-阻尼單元，如圖4所示。

圖4 導軌模型

直線導軌與滾珠絲杠都利用滾珠降低摩擦阻力，以達到高效率的傳動效果。其剛度可分為法向剛度和切向剛度，若忽略切向剛度，則任一滾珠與滾道的接觸力可由Hertzian公式表示:

式中:Q為接觸力;α為接觸點的彈性變形;K為Hertz接觸常數，與滾珠材料等因素有關。

由此法向剛度可表示為［4］

導軌剛度及滾珠絲杠剛度皆可從相應手冊中查出，在此將其全部設定為1012N/m。

2．2 主軸-立柱模型

主軸作為執行部件直接參與切削，而立柱作為支撐部件承受著重力、切削力和運動部件的慣性力等，這就要求二者在所允許的最大載荷下具有足夠高的靜、動剛度以抵抗自身變形。尤其對這種非對稱式單立柱結構，其剛性高低會對加工產生直接影響，若在切削時立柱振動位移及某幾階振動形態發生在工件與滾刀中心距敏感方向，將引起滾刀主軸坐標位置變化以及滾刀與工件主軸中心距變化，使切削點偏移而影響加工精度。由上述分析可知，通過引入結合面作用力及將兩者模態坐標耦合進同一狀態空間方程則可建立起主軸—立柱動力學模型，詳細論述可參見文獻［3］。模型均采用正六面體單元劃分網格，主軸以較高精度劃分，共8 801個單元，32 648個節點;立柱10 978個單元，39 656個節點。

3 受力分析

3．1 滾齒切削力

滾齒產生的交變切削力是引起主軸和立柱振動的主要根源。機床在穩定工作時滾削激振頻率為:

式中:f為滾刀工作轉速對應的激振頻率，Hz;N為滾齒機工作時滾刀的轉速，r/min;Z1為滾刀齒數。此機床設計轉速范圍40～500 r/min，若采用16齒的滾刀，則對應的頻率范圍為10．67～133．33 Hz。

由于切削過程中刀齒的切削面積、厚度和力方向都隨著時間變化，因此還沒有直接準確計算滾削力的通用公式。目前通常采用一些經驗公式進行計算［8］。

最大切向滾削力:

式中:m為模數，mm;s為軸向進給量，mm/r;T=t/2．25，t為進刀深度;v為切削速度，m/min;Z2為工件齒數;K材為工件材料修正系數;K硬為工件硬度修正系數;D為滾刀外徑。當被切齒輪材料為45鋼、直齒時，可取K材=1，K硬=1。若m=2．5，Z2=40，s=1，T=1，v=100，D=60，可得Pt=0．5 kN。

因滾削力為周期性載荷，暫時不考慮轉矩所造成的影響，可將其寫作如下形式:

3．2 立柱受力

圖5所示為立柱截面，為對稱方形，內部有加強筋和隔板，此形狀立柱具有很高的抗彎抗扭剛度，可承受銑削、鏜削等復雜的空間載荷［9］。立柱受力如圖6所示。

圖5 立柱截面形狀圖

圖6 立柱受力

除受到自身的重力Gl，主軸箱自重Gz與電機重力Gd和Gs之外，切削時還受到由滾削力轉換至其上的3個相互垂直的切削力Fs、Ft和Fr，其中Fr較小可忽略。Gs過小也可忽略，若精度要求高，則由切削力轉換至立柱的力偶也應作考慮，此處不作考慮。

4 仿真分析

4．1 模態分析

為研究主軸及立柱的耦合作用，先對其做單獨分析，繼而進行整體分析。

4．1．1 主軸模態分析

分別在主軸自由和實際約束下進行模擬，表1為兩者的自然頻率對比。因自由狀態下前六階模態皆為0，故取第7階頻率作為1階頻率，依次往下。

表1 兩種約束下主軸自然頻率Hz

結合分析結果可看出(主軸陣型圖未給出)，兩端約束時主軸剛度顯著提升，振型皆為橫向彎曲。1階頻率也遠高于激振頻率，但3階以后的頻率則基本不可能達到。

4．1．2 立柱模態分析

立柱底部施加固定約束，限制其各方向自由度。圖7所示分別為其1、3、5階模態，立柱主要表現為前后擺動和扭轉，結合表2可看出，立柱自然頻率比主軸低，頂部變化最大，但變形量極小，對主軸中心距的影響可忽略;從圖7(c)可看出，立柱背部在較高激振頻率下存在危險點，可能是其厚度較薄所致，但實際加工中不可能達到如此高的激振頻率，因此該立柱剛性較好。

表2 立柱自然頻率

圖7 立柱振型云圖

4．1．3 主軸-立柱分析

只對部件的分析并不能完全反映整體特性，因此需對主軸-立柱進行模態分析，并觀察x、y、z 3個方向的變形情況。

表3 主軸-立柱前10階模態

結合表3可看出，與主軸自身模態頻率相比，當考慮立柱和結合面時，二者頻率相差很大，后者要遠小于前者，可見結合面動態特性對于裝配體整體動柔度有著不可忽略的影響，這一點已被充分印證［7］。

由振型(圖8)及表3可看出，1階模態時立柱振動較為微弱，但主軸和導軌結合部、絲杠結合部有較大變形，可見這三者的確是機床的薄弱環節，這與文獻［2，4］所得結論一致;但前5階以主軸振動為主，5階以后以絲杠和導軌振動為主，可見對本機床而言，主軸是最薄弱環節，一方面是因其剛度不足所致，另一方面也與其支撐形式有關:即缺乏后立柱，不能為主軸提供強有力的后端支撐;由1階模態振型可看出，立柱頂端變形顯然要比不裝滾刀箱時大，這是由滾刀箱及電機質量引起，質量過重還可能導致主軸箱響應速度太慢而影響加工精度，因此該布置形式并非最優，應考慮將電機移出;由圖8(c)可看出，5階模態以后，導軌和絲杠變形劇烈，且與主軸變形方向一致，此時導軌和立柱的變形對系統剛度影響最大;9階模態以后，立柱本身出現明顯變形，但此時立柱自然頻率已遠離共振區，再次證明立柱剛度良好。

圖8 主軸-立柱振型云圖

4．2 諧響應分析

穩態切削時切削力是導致振動的主要因素。為掌握主軸-立柱在滾削力影響下的振動規律，需對其做諧響應分析。

給主軸施加y向載荷，大小為F=-500 N，頻率范圍150～650 Hz，子步50。仿真結果如圖9和圖10所示。

圖9 主軸頻率-振幅曲線

圖10 各部件頻率-振幅曲線

結合圖9和圖10可看出，諧響應頻率與模態分析結果一致。頻率范圍主要分為3個區:160～250 Hz，300～450 Hz和580～650 Hz。整個機床中主軸變形最大，最為薄弱，與之前分析結果一致;主軸主要變形發生在210 Hz和630 Hz處，這兩處變形分別受導軌和立柱的影響，210 Hz處應為導軌的2階頻率;由表2可知650 Hz是立柱的3階頻率，因此650 Hz處的變形主要受此頻率的影響。除此之外，主軸在180、250、350、410 Hz以及610 Hz處皆有峰值出現，結合圖10可知其主要受其他各部件影響，皆屬于各個部件的自然頻率。對整體而言，1階頻率由主軸支架主導，在180 Hz時即發生變形，在此影響下立柱也沿y軸產生輕微變形，變形極為微弱，主軸卻變化明顯;2階由導軌和絲杠主導，其在190 Hz時變形較為顯著，受此綜合因素影響，立柱也發生輕微變形;3階頻率則由主軸主導，主軸支架有類似振動且伴有扭轉，且導軌變形也較為明顯;3階以后由主軸、導軌和絲杠共同作用，但后兩者影響起主要作用;對比變形量可見:主軸變形量最大，高于其他部件;對其他部件，又以導軌、絲杠和立柱的變形最為顯著;主軸法向(y向)變形量遠大于其他方向(z向和x向變形類似，未給出)，主要是切削力沿法向分量最大的緣故。

5 結論

(1)經仿真分析發現，改造后的機床整體剛性較好，在切削力要求不高時能滿足加工需要，且在設計轉速范圍內不會發生共振。但主軸后端支撐的設計存在缺陷，剛度較弱，導致其成為誘發振動的重要因素;同時主軸電機安裝位置不當，使主軸箱負擔過重，也會影響其響應速度。

(2)通過對比，發現主軸在切削力的作用下，法向變形最大，易引起中心距變化，對加工精度會產生很大影響，因此應著重加強該方向剛度。

(3)主軸的動力學特性不僅與結合部剛度有關，還受到機床其他部件的影響，使得其頻率與自由狀態下的頻率存在大差距，不同部件之間的交互作用都會造成主軸頻率漂移。

［1］楊勇，王時龍，田志峰，等．大型數控滾齒機立柱動力學仿真分析［J］．中國機械工程，2013，24(11):1473-1479．

［2］CAO Y，ALTINTAS Y．Modeling of Spindle-bearing and Machine Tool System for Virtual Simulation of Milling Operations［J］．International Journal of Machine Tools and manufacturing，2007，47(9):1342-1350．

［3］KOLAR P，SULITKA M，JANOTA M．Simulation of Dynamic Properties of a Spindle and Tool System Coupled with a Machine Tool Frame［J］．International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2011，54(1/4):11-20．

［4］YUAN L C，PIN H J，Liang L T．Effect of Preload of Linear Guides on Dynamic Characteristics of a Vertical Columnspindle System［J］．International Journal of Machine Tools and Manufacture，2010，50(8):741-746．

［5］孫偉，魯明，汪博，等．考慮導軌結合部特性的立柱-主軸系統動靜力學特性分析［J］．中國機械工程，2012，23(23):2874-2878．

［6］CHANAL H，DUC E，RAY P，A Study of the Impact of Machine Tool Structure on Machining Process［J］．International Journal of Machine tool and Manufacture，2006，46(2):98-106．

［7］MI L，YIN G，SUN M，et al．Effect of Preload on Joints on Dynamic Stiffness of a Whole Machine Tool Structural［J］．Journal of Mechanical Science and Technology，2012，26(2):495-508．

［8］宋鹍．零傳動滾齒機刀架部件設計技術研究［D］．重慶:重慶大學，2006．

［9］張耀滿，王仁德，于軍．數控機床結構［M］．沈陽:東北大學出版社，2007．