線性代數課程MATLAB輔助教學的實踐探索

歐陽異能 沈曉芳

【摘要】討論了線性代數教學中，在傳統理論課基礎上，引入計算軟件MATLAB進行數學實驗。結合簡單數學建模訓練，激發了學生學習興趣，提高了學生科學計算和實踐應用能力。

【關鍵詞】線性代數 ?數學實驗 ?MATLAB

【基金項目】石河子大學課堂教學改革項目（KG？鄄2013？鄄14）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）05-0116-01

1.引言

線性代數是高等院校各專業的必修課，是學生學習專業課必備基礎，也是研究生入學考試的必考內容。學生通過對線性代數理論的學習，不僅可以培養學生良好的運算能力、邏輯思維能力和抽象分析能力，還可以鍛煉學生綜合推理以及建模應用能力。但傳統線性代數教材以理論為主導、過分注重理論的完整性，強調證明和推導的邏輯性，加上繁瑣的計算過程，讓人更加覺得線性代數抽象難懂，使學生喪失了學習興趣。同時傳統教材普遍采取以例題講知識點的應用，根本沒有體現出該課程的計算功能和應用性，以至于學生中產生學習線性代數無用論。

近年來，計算機技術發展迅猛，不僅促進了現代教育技術的發展，對經典數學課程的教學內容、教學方法以及教學思想都產生影響。國外為數不少學校已經開始利用計算機進行線性代數教學實踐，因而為適應時代發展需要，高校數學教師有必要更新觀念，探索一種適應新形勢的計算機輔助教學全新教學模式，將線性代數的理論性與應用性有機結合，讓線性代數成為真正有用的基礎學科。

MATLAB 是一款著名的科學計算軟件，它的主要優點在于語句簡潔，功能強大，具有數值運算、符號運算、計算結果和編程可視化。它以矩陣為單元，可以直接用于矩陣計算，而線性代數所有運算都以矩陣、行列式為基礎的，因此MATLAB是進行線性代數課程輔助教學的有力工具。下面介紹MATLAB輔助線性代數教學的改革在我校的具體實施方法和過程。

2.MATLAB輔助線性代數教學的實踐探索

2.1MATLAB軟件使用訓練

MATLAB是矩陣實驗室的英文縮寫，它是以矩陣運算為基礎的程序語言，語句簡潔，計算功能強大。線性代數是以矩陣和行列式為基礎計算工具，因此采用MATLAB做線性代數實驗尤為適用。我校大部分專業的線性代數在第二學期或者第三學期開設，這部分同學已經開設了C語言課程，具有語言編程基礎，MATLAB的應用只需要簡單介紹就行，但部分專業新生第一學期就開設線性代數，這部分學生我們采取先講矩陣的內容，再讓學生了解MATLAB的工作界面和簡單的編程基礎。第一階段在我校的物理和工商管理專業等專業進行了探索和實踐，學生人數大約400人左右，進展比較順利。

2.2利用基礎性實驗提高計算能力

矩陣和行列式是線性代數的基本運算，無論線性方程組求解還是向量組線性相關性的判定都離不開矩陣的運算，均以矩陣的初等變換為核心。線性代數的大部分運算需要大量的手工計算，不僅需要掌握基本計算理論，還需要掌握許多計算技巧，往往一個小錯誤導致整個計算失敗，這樣就會造成學生忙于學習計算，忽略理論方法學習。MATLAB軟件引入線性代數課程可以較好地解決這一問題。我們以MATLAB為實驗平臺，采取傳統理論與實驗內容相結合的方法，突出線性代數的應用性，分層次、按步驟進行實驗。

實驗1 矩陣的基本運算，包括矩陣的加法、減、乘、求逆（inv（A））以及方陣行列式（det（A））、行最簡形rref（A），秩（rank（A））、跡（trace（A））等。

實驗2 線性方程組求解，包括克萊姆法則求解方程組，矩陣方程求解，求齊次方程組的基礎解系（null（A，r））等。讓學生根據線性方程組基本原理，列出解題步驟，自己編程實現方程組求解。

實驗3 求方陣特征值特征向量，特征值特征向量的計算量相當大，計算過程復雜，一直是學生的計算難點，用計算機可以輕松解決計算問題，只需熟練掌握計算步驟即可。MATLAB求特征值特征向量的命令：[V，D]=eig（A），返回A的全部特征值構成對角矩陣D;A的特征向量構成V的列向量，使AV=VD成立，因此可以通過命令[V，D]=eig（A）和inv（V）？鄢A？鄢V將矩陣A對角化。

2.3利用綜合實驗提高解決實際問題能力

線性代數的教學不僅要培養學生的理論基礎，更要突出培養學生計算能力和應用創新能力。數學模型是實現數學理論與現實問題之間互動的一座橋梁，將數學建模問題引入線性代數課堂，可以大大豐富課程的應用背景，提高學生的計算能力和創新能力。以下就線性方程組在投入產出問題中應用為例，建立數學模型并給出MATLAB求解過程。

例：某地區有三個重要產業，一個煤礦、一個發電廠和一條地方鐵路。開采1元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;生產1元錢的電力，發電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05勻的運輸費;創收1元錢的運輸費，鐵路要支付0.55元的煤費及0.1元的電費。在某一周內煤礦接到外地金額為50000元的訂貨，發電廠接到外地金額為25000元的訂貨，外界對地方鐵路沒有需求。問三個企業間一周內總產值分別為多少才能滿足自身及外界的需求？三個企業間相互支付多少金額？

模型建立：設x1為煤礦本周內的總產值，x2為發電廠本周內的總產值，x3為鐵路本周內的總產值，則

x■-（0x■+0.65x■+0.55x■）=50000x■-（0.25x■+0.05x■+0.1x■）=25000x■-（0.25x■+0.05x■+0x■）=0

設產出向量x=（x1 x2 x3）T，需求向量y=（50000 25000 0）T，

A=0 ? ? ?0.65 ? 0.650.25 ?0.05 ? ?0.10.25 ?0.05 ? ? 0，則原方程組可以表示成（E-A）x=y，由此解得產出向量為x=（E-A）-1y，三個企業相互支付金額可用矩陣

B=0 ? ? ? ?0.65x2 ? 0.55x30.25x1 ?0.05x2 ? 0.1x30.25x1 ?0.05x2 ? ?0表示。

模型計算：在MATLAB命令窗口輸入并運行以下命令可快速得到計算結果：

>> format rat

>> A=[0 0.65 0.55;0.25 0.05 0.1;0.25 0.05 0];

>> E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];

>> y=[50000 25000 0]？蒺;

>> x=inv（（E-A））？鄢y

>> B=A？鄢diag（x）

運行結果為

x =[204175/2 ?56163 ?28330]

B =

0 ? ? 36506 ? ? ?31163/2

204175/8 ? 56163/20 ? 2833

204175/8 ? 56163/20 ? ? ?0

3.結束語

將MATLAB引入線性代數課程教學中，以數學實驗和數學模型為橋梁，抽象的數學概念和復雜的推導過程可以得以驗證，繁雜的計算過程變得簡單，不僅激發了學生的學習線性代數的興趣，也極大地提高了學生的學習積極性。借助計算機解決實際問題，不僅鞏固了學生所學理論知識，學生的創新應用能力也得到了發展，并為今后的學習深造奠定堅實基礎。

參考文獻：

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