巧用“圖象面積”求解習題

胡冰琳

【摘要】高中物理涉及了很多圖象，物理圖象中的“面積”有著非常豐富的內涵。本文闡述巧用“面積”求解問題。

【關鍵詞】圖象面積

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）05-0144-02

高中物理涉及了很多圖象，物理圖象中的“面積”有著非常豐富的內涵。這里所說的“面積”是指物理圖象中圖線與橫軸所夾的面積，物理圖象中“面積”的物理含義是由橫、縱兩軸物理量的乘積及相應物理公式決定的。深刻理解“面積”的物理含義是利用“面積”有效處理物理問題的關鍵所在，下面列舉4個例題，突出體現巧用“面積”求解問題的奇秒之處。

1.F-x圖象

在反映作用在物體上的力F隨位移x變化的F-x圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為Fx，即為力F做的功，所以F-x圖象中圖線與橫軸所夾的“面積”的物理意義就是力F所做的功。

例1 ?如圖1所示，一對足夠長的平行光滑軌道放置在水平面上，兩軌道相距L=1m，左端之間用R=3Ω的電阻連接，軌道的電阻忽略不計。質量m=0.5kg、電阻r=1Ω的導體桿靜置于兩軌道上，并與兩軌道垂直。整個裝置處于磁感應強度B=2T的勻強磁場中，磁場方向垂直軌道平面向上。現用水平拉力沿軌道方向拉導體桿，拉力F與導體桿運動的位移x的關系如圖2所示。當拉力達到最大時，導體桿恰好開始做勻速運動。當位移x=2.5m時撤去拉力，導體桿又滑行了一段距離△x后停下，已知在滑行△x的過程中電阻R上產生的焦耳熱為12J。求：

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

（1）導體桿運動過程中的最大速度vm;

（2）拉力F作用過程中，回路中產生的焦耳熱Q。

解 ?（1）撤去F后導體桿滑行過程中動能轉化為電能

■=■=■ ? ? ? ? ? ①

由能量守恒定律得 ■mv■■ =QR+Qr ? ?②

聯立①②解得vm=8m/s

（2）勻速運動時最大拉力與安培力平衡

Fm=BImL ?③ ? ? ? ? ? ?Im=■ ? ④

聯立③④得Fm=8N

由圖象面積可得拉力做的功WF=18J ? ⑤

由能量守恒可得 WF=Q+■mv■■ ? ? ⑥

聯立⑤⑥得Q=2J

2.a-t圖象

在反映物體加速度a隨時間t變化的a-t圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為at，即為運動物體在這段時間內的速度的變化量，所以a-t圖象中圖線與橫軸所夾“面積”的物理意義就是物體速度的變化量。

例2 ?某艦載機降落到靜止的航母上，圖3為航母甲板上攔阻索阻攔艦載機過程的俯視示意圖，圖4為艦載機尾鉤鉤住攔阻索正中位置隨即關閉發動機后加速度a隨時間t變化的圖象。已知艦載機質量M=2.0×104kg，尾鉤剛鉤住攔阻索時的初速度v0=75m/s，t1=0.3s，攔阻索與尾鉤剛鉤住時攔阻索的初始位置夾角θ=45°，此時艦載機所受空氣阻力與甲板摩擦阻力大小之和f=2.0×105N，求：

圖3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖4

（1）t1=0.3s攔阻索的拉力大小T;

（2）t1=0.3s艦載機的速度大小v1，t1=0.3s至t2=2.5s內通過的位移大小s。

解（1）由圖象可知加速度大小a1=30m/s2 ? ?①

由牛頓第二定律得2Tsinθ+f=Ma ? ? ?②

聯立①②解得T=2.8×105N

（2）圖象0-0.3s的面積代表速度的減少量

△？淄=■×0.3m/s=4.5m/s ?③

t1=0.3s，v1=v0-△v=70.5m/s ? ④

t1-t2時間內的位移大小s=v1（t2-t1）-■a（t2-t1）2 ?⑤

聯立④⑤得s=82.5m

3.E-r圖象

在反映電場強度E隨距離r變化的E-r圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為Er，即代表電勢差，所以在E-r圖象中，圖線與橫軸所夾的“面積”的物理意義就是電勢差。

例3 ?半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產生球對稱的電場。場強大小沿半徑分布如圖5所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積。

（1）已知帶電球在r≥R處的場強E=■，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大？

（2）求球心與球表面間的電勢差△U;

（3）質量為m，電荷量為q的負電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運動到2R處？

解 ?（1）從圖中可得E0=■ ?解得Q=■

（2）球心與球表面間的電勢差△U就是圖線O-R部分的面積△U=■ ?①

（3）由題中可得E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積，距離球心R到2R的電勢差也為△U

由能量守恒得■mv■■=q△U ?②

聯立①②得 ？淄0■

4.V-t圖象

在反映物體速度v隨時間t變化的v-t圖象中，橫、縱兩軸物理量的乘積為vt，即為位移，所以v-t圖象中圖線與橫軸所夾的“面積”的物理意義就是物體運動位移。

例4 ?酒后駕車嚴重威脅公眾交通安全。若將駕駛員從視覺感知前方危險到汽車開始制動的時間稱為反應時間，將反應時間和制動時間內汽車行駛的總距離稱為感知制動距離。科學研究發現，反應時間和感知制動距離在駕駛員飲酒前后會發生明顯變化。一駕駛員正常駕車和酒后駕車時，感知前方危險后汽車運動v-t圖線分別如圖6、7所示。求：

（1）正常駕駛時的感知制動距離s1

（2）酒后駕駛時的感知制動距離比正常駕駛時增加的距離△s

圖6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖7

解 （1）圖6中的圖象在0-4.5s的面積代表位移s1

s1=■×30m=75m

（2）圖7中的圖象在0-5.5s的面積代表位移s2

s2=■×30m=105m ? ? ? ?△s=s2-s1=30m

通過上面的四個例題，利用圖象“面積”巧妙地求出變力做功、非勻變速運動的速度變化量、非勻強電場的電勢差和物體運動的位移，使復雜問題的過程通過“圖象面積”求解變得更加簡單化，實踐證明，物理圖象的“面積”不僅可以快速、高效的處理高中物理的線性問題，而且在處理解析法難于解決的非線性問題有著想不到的功效，這就要求我們老師在平時的課堂教學中應注重這類思想的引導與滲透，從而快速提高學生解決物理問題的能力。