L分布函數和自相對干濕等級標準

王萬里　劉耀　林蔡述明等

摘要降雨在時間和空間中的每次大小及落區均具有一定隨機性，且降雨量也是一類下界大于0而上界不確定的隨機事件，假設降雨量的隨機變化服從L分布，并將其標準化處理，結果表明，自相對干濕標準化指數的最大正振幅為1，最大負振幅為-1，平衡點位置為0；指數?。ù螅┯?時則表明氣候偏干燥（濕潤），該干濕振蕩系統均方差為1/3；在平衡點兩側的-1/3～0和0～1/3范圍內，標準化降雨量的出現概率均是35%，而在-1/3～1/3的發生總概率是70%，表明在該區間干與濕接近準平衡；在-1/3～-2/3和1/3～2/3間，降雨量的隨機出現概率均是12%，這時負（正）區間表示中等干燥（中等濕潤）；而在-2/3～-1和2/3～1間，變量隨機出現概率均是3%，此時負（正）區間代表嚴重或超級干燥（嚴重或超級濕潤），這2個區間也是顯著性檢驗區間。降雨量標準化對原降雨量在濕潤區間的偏態分布具有右側收尾效應，最終使以均值為參照點的向右偏態分布演變成以0點為參照點的對稱分布；此時可將干濕振蕩系統劃分成自相對干濕6級或自相對干濕12級。該研究中的標準化干旱指數（X-XA）/XA與目前臺站正在使用的降水距平百分率在原理及計算形式上均十分一致，其劃分結果和所對應的干濕區間也比較接近，所以理論上可認為降水距平百分率（標準化干旱指數）基本上是適用于偏態分布的。

關鍵詞降水距平百分率；標準化干旱指數；向右偏態分布；L分布函數；自相對干濕；右側收尾效應

中圖分類號O211.3；S161.3文獻標識碼A文章編號0517-6611（2015）28-173-06

L Probability Distribution Function and One SelfComparison Theoretical Standard of Dry and Wet Index

WANG Wanli1，2，3， LIU Yaolin1， CAI Shuming1 et al

（1. China Meteorological Administration， Wuhan Regional Climate Centre， Wuhan， Hubei 430074； 2. School of Resource and Environmental Science of Wuhan University， Wuhan， Hubei 430079； 3. College of Earth Science， Yunnan University， Kunming， Yunnan 650091）

AbstractThere are phenomena that different amplitude and various anomaly of almost all stochastic variable is around of their the average value in time and space， to quantify and grade those various temporal and spatial anomaly is a necessaries required for scientific and objective studying those various anomaly， rainfall is a random temporal and spatial variable， but rainfall is also one kind of nonnegative variable that its minimum is zero and its maximum is not certain. L Probability Distribution Function is new probability distribution discovered that its maximum amplitude of oscillation system is unique parameter and using maximum amplitude of oscillation it is portrayed that what occurring probability and how distribution is for the randomvibration system at symmetrically adjacent to the balance point. After rainfall becomes standardized variable the results show that the positive （negative） of maximum amplitude of the vibration system of the dry and humid indices standardized is +1（-1）； zero is the balance point between dry and wet； “climate” is described as dry （wet） when standardized variable is less （more） than zero； the standard deviation （SD） of L Probability Distribution Standardized is 1/3； the probability is 35%， respectively ，in interval （0～±1/3）at two sides around the balance point（zero）； however， the total probability is 70% in the interval（-1/3～+1/3）in which is recognized as QuasiBalance State between dry and wet； the probability is 12%， respectively， in interval ±（1/3～2/3）； thus， positive interval （+1/3～+2/3）means moderate wet； negative interval （-1/3～-2/3） means moderate drought； similarly， the probability is 3%， respectively， in interval ±（2/3～3/3）； therefore， positive interval（+2/3～+3/3）means super（serious） wet； negative interval（-2/3～-3/3）indicates super（severe） drought； this the interval±（2/3～3/3）are also used to test level of significance. Meanwhile， the process of standardized rainfall variable puts function （action） of normal distribution on Skewness Distribution of rainfall variable； this is called as effect of “drawing back right tail”（the tail on the right side of mean）； then， by the process of standardized rainfall variable the Skewness Distribution of rainfall variable with the balance point of average value is changed into the normal （symmetry） distribution of standardized rainfall variable with the new balance point of zero； finally， by means of L Standardized Probability Distribution Function the dry and wet oscillation system is classified into 6 levels or 12 levels for the extent of their humid or dry depart from their the average values. In addition， Standardized dry index （X-XA）/XA is strikingly same as contemporary Precipitation Anomaly Percentage in aspect of principle and mathematical expressions， even in results， so Precipitation Anomaly Percentage is supported by conclusion of this paper for controvert of whether or not Precipitation Anomaly Percentage is suitable to the Skewness Distribution of rainfall variable， the results of this paper verify that Precipitation Anomaly Percentage of L Standardized Probability Distribution Function is applicable to the Skewness Distribution of rainfall variable.

Key wordsPrecipitation anomaly percentage； Standardized dry index； Right skewness distribution； L distribution function； Self relative wet and dry； Effect of drawing back right tail

降雨量在時間和空間上具有分布不均勻之性質，但針對某個特定時段和某個特定空間可以求出不同的時間和空間平均值，求出均值后，把時間上、空間上每個點位的降雨量集合，這樣就構成降雨量的時間和空間（集）系列，它們與各自平均值之間也就形成一個圍繞其均值的波動（振蕩）自然現象，同時也就存在相對各自均值的干濕程度差異，即自相對干濕問題。具體而言，在時間方面產生某些地區在某個歷史時期為干旱（偏干）、某個時期為洪澇（偏濕）的客觀事實，如一個地區某個時段相對自身30年平均降水量是偏干或偏濕，這就是一個在時間方面的自相對干濕問題。同時在空間方面，也會產生某些地區偏干、某些地方偏濕的氣候差異，這樣進一步形成圍繞其區域降雨平均值的空間波動情況，如在我國西北偏干、東南偏濕，全國存在一個年降雨量平均值，那么西北干到什么程度、東南濕到什么程度，圍繞全國均值，即根據它們偏離均值的程度也可劃分干濕等級，最后也就形成了它們相對自身均值的各種不同的干濕分布狀況，實質上這就是一個空間上的自相對干濕問題。但現在的問題是降雨量這一變量在自身時空變化過程中，除了現在已存在并正在使用的等級劃分外，這種變化幅度能否用其他分布函數和其他方法客觀量化，具體來說能否用其他等級的形式對這種振幅變化進行刻畫，這方面已有人做過這類工作，可能有的在理論上已有了相當大影響[1-4]，有的在臺站現實業務中也正在使用[5-8]。

L分布函數作為一類能較好描述自然振蕩系統和對稱振蕩系統偏離它們自身平衡位置概率大小的新的有力工具，是一類能用振蕩最大振幅來度量系統在某一區間出現概率大小的特殊概率分布函數。有關L分布函數在干濕方面的應用，筆者已做過一些工作，如在《L分布函數與相對干濕的一種理論標準》[9]中，討論了降水蒸發差（P-E）這一特殊變量的概率分布情況，即“集水盆”的相對干濕問題，或稱作“環境”相對干濕問題，這是一類特定環境下的水分“補充與需求之差”的等級問題。但在此即將展開的研究是另外一類時間系列變量或空間集變量，相對它們各自時間均值和空間均值的相對干濕問題，也就是說自變量的時間變化和空間變化的變化等級問題，即降雨量變量在時空上的自相對干濕問題，有的地方也稱時空振幅離差（距平）等級問題。

1隨機降水量分布的偏態性質

用X表示時間系列和空間系列中不同點的降水量大小，而均值一般情況下可以簡單寫成：

對離散型

XA=（ni=1Xi）/n（1）

對于連續型

XA=∫∞-∞f（X）dX（2）

這里（2）式中f（X）是概率密度函數。此時，距平=X-XA（0≤X≤某一較大正數）。這里XA 代表隨機降雨量的時間空間系列平均值。那么此時存在X=XA、X>XA、X

X=XA，干濕振蕩系統處于平衡態，變量等于均值；X>XA，干濕振蕩系統處于偏濕態，變量大于均值；X

0 ≤X < 某一較大正數，

但均值XA 卻是某個大于零的正數。顯然X 圍繞它的均值XA或在它均值兩側是不對稱分布的（圖1）。

注：圖中Xm是降水量變量取最小時的值，這里 Xm=0；XM 是降水量變量取最大值時的值（不確定）。

圖1降水量X在其時間空間均值兩側不對稱（偏態）分布示意圖

2降水量距平變量振蕩分析

這里引入降雨量距平變量V：

V=X-XA（3）

下面分析降水量變量與降水量距平變量之間的關系：

當X=0，有V=-XA，此時V用Vm代表；

當X=XA，有V=0；

當X=XM，有V=XM-XA，此時V用VM代表。

由于0≤X≤XM，則-XA=Vm≤V

圖2降水量距平變量V在其時間空間均值0點兩側不對稱（偏態）分布示意圖

3原始L概率密度分布函數0-1簡化

下式是L分布函數的原始標準形式，其中θM是最大振幅，θ是自變量。

f（θ）=14θMln（θMθ）2（-θM≤θ≤θM）（4）

設新變量

w=θθM（5）

構成

f（w）=14wMln（wMw）2（-1≤w≤1）（6）

即當舊變量θ=θM時，w=wM=θMθM=1（7）

將wM=1，代入（6）式中有

f（w）=14ln（1w）2（-1≤w=θθM≤1）（8）

將新變量w=θθM代入，并還原有

f（θθM）=14ln（1θθM）2（-1≤θθM≤1）（9）

這就是L概率密度分布函數的0-1形式。0-1變量等于原變量與原最大變幅的比值。

4假設降水量距平變量振蕩服從L概率分布函數

由于假設降水量距平變量V是服從L概率分布函數的，那么有

f（V）=14VMln（VMV）2（-XA=Vm≤V

根據L概率密度分布函數的0-1形式第（9）式，（10）式可轉化為：

f（VVM）=14ln（1VVM）2（-1≤VVM≤1）（11）

將降水量距平變量V=X-XA代入上式有

f（X-XAVM）=14ln（1X-XAVM）2

（0≤X≤XM）或（-1≤X-XAVM≤1）（12）

根據概率密度函數的邊界條件

f（-1）=0、 f（1）=0（13）

將式（12）中的變量活動區間0≤X

43卷28期王萬里等L分布函數和自相對干濕等級標準

在第一區間（0≤X≤XA），

要使標準化變量X-XAVM=-1，此時只有VM=XA，所以在第一區間（0≤X≤XA）的標準化 L概率密度函數變量變成

XS=X-XAXA

XS代表標準化變量。 即

f（XS）=f（X-XAXA）=14ln（1X-XAXA）2（0≤X≤XA）（14）

值得注意是當X=XA，上式用洛比達法則[10-11]可證明上式存在（證明略）。

在第二區間（XA≤X≤XM），

要使標準化變量X-XAVM=1，此時必須有VM=X，因為

X-XAX=1-limX→XMXAX=1-XAXM=1-limXM→∞XAXM=1-0=1（15）

在（15）式中，由于降雨量是大于或等于均值的正數，當它大于均值時，就要求它的變化上限在數量上大大超過均值，所以理論上（15）式要取極限。當然從理論上說要求最大降水量趨于無窮，不過現實中無論時間系列或空間系列降水最大值都不可能趨于無窮，但當最大降水量顯著大于自身均值很多倍（XMXA）時，就可以認定上式第二項很小到大小可以忽略不計的程度，此時（15）式成立，如亞洲最大年降水量在印度東北部和孟加拉灣北部的乞拉朋齊（Cherrapunji），年降水量可達11 000 mm，亞洲陸面年均降水700 mm左右，兩者比值約006，也接近0，所以以上假設在物理實際中是可以接受的。因此，在第二區間（XA≤X≤XM）的標準化 L概率密度函數變成

f（XS）=f（X-XAX）=14ln（1X-XAX）2（XA≤X≤XM）（16）

理論上上式存在的要求是XMXA。這樣在第二區間（XA≤X≤XM），標準化 L概率密度函數變量變成

XS=X-XAX（17）

XS代表標準化變量。

最后有2個區間的標準化 L概率密度函數：

f（XS）=f（X-XAXA）=14ln（1X-XAXA）2（-1≤X-XAXA≤0）（18）

f（XS）=f（X-XAX）=14ln（1X-XAX）2（0≤X-XAX≤1）（19）

（18）式是針對偏干燥區間的，因為此區間要求XXA，降雨量大于自身均值（圖3）。

降雨量作為一個大于零小于某個較大正數的特殊正變量，它在0與均值間應該很集中，大于均值后的變化范圍應

該是較大的，這點決定了它大于均值后的分布有長尾現象，或說它的分布是右（正）偏態的，但從圖3可看出經過標準化處理，降水量的最大正振幅是+1、最大負振幅是-1，以0點為新的平衡點，所以標準化后，降雨量標準化隨機變量的分布就近似趨于對稱分布，這是由于隨機變量的變化造成的，當一個實際變量被某個正數除后，事實上它的變化區間就被縮短了這個被除數的倍數，如降雨量的變化范圍是0～100 mm，假設它的加權均值是20 mm，變化范圍被均值所除后，變化范圍就變成了0～5（無量綱），所以此番處理后，就具有某種“收尾”效果；加之以距平為新變量，就使得以均值為對稱點的分布演變成以0值為對稱點的分布了，另外在偏干燥區降雨量距平變量是被均值所除，而在偏濕潤區間降雨量距平變量是被大于均值的正數所除，甚至有可能會被降雨量最大值所除，顯然均值兩側的收縮速度是不一樣的，所以在濕潤區間（X>XA）的收尾速度顯然大于干旱區間。表明某些偏態分布經過L分布函數的邊界條件處理后，偏態分布就不再存在了，說明L分布函數和隨機變量標準化處理相結合具有糾偏效應，這點在理論上是非常重要的。

5時間空間中自相對干濕問題及標準

周期波動是地球大氣運動中最基本的本質屬性，當然由大氣運動而產生的降雨自然也秉賦這一周期性，所以由不同時期的降水量這一隨機量所構成的隨機時間系列，自然也會體現出某個時段多雨、某些時段少雨的特性，那么多雨多到什么程度、少雨又少到水平，通常這得與降雨量的歷史平均值相比，如氣象部門通常以30年平均值為比較基礎。同樣，就一個特定區域，如亞洲每個國家、每個地區，甚至每個城市年降雨量都不同，這樣在空間里也構成一降雨量空間集，同樣也需要計算出一個空間平均值，如亞洲年降雨量的空間平均值就約多于700 mm，通常大于均值可認為在亞洲氣候為偏濕潤，小于均值可認為在亞洲氣候為偏干燥，就常識可以這樣處理，但作為專業而言，一個地區的氣候干燥到什么程度、一個地區的氣候濕潤到什么水平，這就需要從理論上進行分級，制定出標準。筆者在此利用隨機變量發生概（幾）率的大小，并以此為依據進行劃分，基本思想是：隨機變量在其均值附近的幾率大于遠離均值的幾（概）率，同時“隨機標準化降雨量”處在均值附近就表明該時段或該地區氣候的干濕接近平衡，或叫氣候不干也不濕，這是個大概率事件，而“隨機標準化降雨量”很遠離均值就是小概率事件，如小于均值并很大程度上同時遠離均值，則就是小概率極端干旱事件，反之，大于均值并在很大程度上遠離均值，則就是小概率極端濕潤（洪澇）事件。

“標準化降雨量”在任意區間概率：

當-1≤X-XAXA≤0（0≤X≤XA），在偏干燥區間中有

P（XS1

=14X2-XAXAln1X2-XAXA2+2X2-XAXA-

X1-XAXA

ln1X1-XAXA2+2X1-XAXA

（ 20 ）

當0≤X-XAX≤1（XA≤X≤XM），在偏濕潤區間中有

P（XS1

=14X2-XAX2ln1X2-XAX22+2X2-XAX2-

X1-XAX1

ln1X1-XAX12+2X1-XAX1

（21）

通過（20）、（21）式計算，在1倍均方根、2倍均方根、3倍均方根范圍內的概率分別為：

P（-1/3

P（-2/3

P（-1

在以自相對標準化降雨量為自變量的L分布的概率密度函數（圖3a）中，左側0～-1的范圍內是自相對“干旱區間”，顯然在自相對“干旱區間”愈靠近0點干旱程度愈微弱，相反愈靠近-1點自相對干旱程度愈強烈；同理，右側0～1的范圍內，是自相對“濕潤區間”，在“濕潤區間”愈靠近0點自相對濕潤程度愈弱，愈靠近+1點自相對濕潤程度愈強烈。由于區間（-1/3

為證明換算過程，這里以表1從右數第4欄中的第2行換算為例：

已知 ∞>X-XAXA>23，求XAX

從上式可得

∞>XXA-1>23

不等號兩側同時加1后有

∞>XXA>53

分子分母對調位置

0

第4欄的其余行以及其他欄的換算方法類似，這里不再一一贅述。

另外在表1的基礎上，對每個區間又等分，如對0.33～

0、1/3～0、2/6～0等分后變成2個對等區間：2/6～1/6、1/6～0那么6個等級就將變成12個等級（表2）。并用L分布計算出相應的區間概率大小列入表2從右數第1欄。

將表2中從右數的第6欄即標準化干旱指數（X-XA）/XA與臺站現行使用的降水距平百分率（表3）的大小相比較，發現表2中的“微干旱﹑微濕潤﹑輕度干旱﹑輕度濕潤”這4欄的降水百分率為-33%～33%，剛好在一個正負L分布函數的均方差之間，與表3中現行標準的“正?！保?級）的±25%接近，此處應強調由于L分布比正態分布在均值附近更集中，所以一個正負均方差區間的代表性更好，這樣-33%～33%被劃分為正常區間更為合理。而表2中在正負一個L分布函數的均方差與2個均方差之間（-33%～-67%、33%～67%），即表2中的“中等偏弱濕潤和中等偏強濕潤，中等偏弱干旱和中等偏強干旱”等級與表3中的輕澇輕旱接近；而表2中的嚴重濕潤和嚴重干旱與表3中的中旱中澇接近；最后，表2中的超級干旱或超級濕潤與表3中的重旱和重澇接近。這里值得指出的是，當然作為一個新的創新方法，表2中的自相對干濕等級無疑是需要進一步驗證的，以期與自然實際更加接近，并以滿足實際工作需要，但作為一個新的創新所制定的干濕等級理論和方法，首先在理論上進行一些基礎性的討論是完全必要的，同時也不可否認即便是現在正在使用的標準，由于我國地大遼闊、氣候地區差異大，每地都有其一定的特殊性，現在正在使用的標準在各地應用情況也不完全一樣，有些地區甚至對國家降水距平百分率所劃分的干旱標準還要根據當地的具體情況做出一定的修正，所以就這點來說，從新的理論、不同的理論角度，探索不同的干濕理論標準意義重大，特別是當今在全球氣候變暖大背景下更有其特殊的意義，至少來說可以作為現有（正在使用）標準和一些特殊地區氣候的參考干濕標準也是可行的，甚至僅作為理論來討論，這也不失一般意義下的創新實踐。

正均方根點（1/3）和負均方根點（-1/3）是L分布0-1標準函數中2個最重要的關鍵點，它們是L分布性質產生質變的關鍵分界點，兩點之間的區間是該分布的主體或主流，其發生概率高達70%，而兩點之外，分布就漸漸過渡到小概率落區，至少可以定義成非主體或非主流。所以分析這兩點的性質是有意義的，具體詳見表4。

6小結與討論

就氣象干旱而言一般應有兩類，一是半永久性干旱，如非洲的撒哈拉沙漠；二是氣候波動性的階段式干旱，如云南省2012和2013年冬春連旱；前者的空間屬性較大，后者的時間屬性較大，所以該研究對“時空自相對干濕”分析事實上是涵蓋了這兩類干旱。另外應該強調表1～2的自相對干濕標準比較適合在均值附近比較集中的降雨量時空隨機變量，原

因有二方面：①L分布函數在一個正負均方差之間的發生概率是70%，而正態分布在一個正負均方差之間的發生概率僅是68%，另外，L分布函數的峰度系數是0.24，而正態分布的峰度系數是0，說明L分布函數在均值附近更為集中，從而決定了L分布函數對處理在均值附近較為集中的隨機變量比正態分布更為合適；②對L分布函數中的隨機自變量在引入標準化時空自變量后，就發現標準化時空自變量在干濕區間由于概率分布密度函數的邊界條件不同，就產生了被除數的不同，即干區間和濕區間收尾速度不一致的問題，顯然濕區間的收尾是快的，這保證了降雨量由下界大于0上界不確定的右偏態性質向以0點為平衡點的對稱態轉變，其實，標準化時空自變量的分母有點類似于“尺度參數”，而均值有點類似于“位置參數”，所以從該研究的實踐來看，不能低估類似L分布函數等對稱性分布函數（如正態分布），在處理類似降雨量等右偏態變化及等級的能力，右偏態問題用L分布函數處理是合適的，因為L分布函數自變量是在正負最大振幅間活動，即自變量是有界的，且在最大正負振幅這兩點的L分布概率密度大小正好為0，所以，利用這個重要的邊界條件，就決定出標準化時空自變量存在兩類分母（尺度參數），從而決定了干區間和濕區間收縮速度不一樣，濕區間收尾速度明顯快于干區間的收尾速度，即右側收縮快于左側，而這一點正是L分布優越于正態分布的地方，因為正態分布兩側是無界的，用自變量趨于正負∞，決定不出標準化時空自變量的分母，事實上正態分布的尺度參數（分母）剛好是它的均方根，一旦固定這就是一個不變常數，所以用正態分布處理降水距平百分率

時，兩側收縮速度就會一致，這點也正是有些學者質疑正態分布在處理偏態降雨量的不恰當之處，即降水距平百分率的理論基礎不牢固的關鍵所在，即認為降水量分布是右（正）偏態的，而降水距平百分率卻是從正態分布推出來的。但從該研究的實踐來看盡管L分布函數和正態分布函數都是對稱性分布，但L分布函數自變量兩端有界，這是一個非常重要的性質，它可作為一個非常重要的邊界條件來利用，從而使標準化變量在濕潤區和干旱區產生2個不同的分母，這就決定了濕潤區間收尾速度快于干旱區，使其右偏態能向對稱態轉變（糾偏效應），從而解決降雨量右（正）偏態分布的問題，最后為目前臺站正在使用的降水距平百分率

（干旱指數）提供了基礎理論方面的支持，即降水距平百分率

的理論基礎是可信的。總之，應強調正態分布由于自變量在兩端取值無界，所以在決定標準化變量的分母時就沒有L分布那樣方便有力。

在使用表2時應注意，雖然標準化濕潤指數（X-XA）/X和標準化干旱指數（X-XA）/XA 所劃分干濕等級的區間基本一致，但物理含義是不同的，如在濕潤區間當標準化濕潤指數（X-XA）/X等于標準化干旱指數（X-XA）/XA時，雖然兩指數的分子形式完全一樣，但標準化濕潤指數的分子明顯大于標準化干旱指數的分子，即標準化濕潤指數所描述的降水量大于歷史均值的程度明顯大于標準化干旱指數所描述的降水量大于歷史均值的程度，如當標準化濕潤指數（X-XA）/X和標準化干旱指數（X-XA）/XA 均等于L分布的一個均方差1/3時，計算得出標準化濕潤指數（X-XA）/X所對應的距平大小是標準化干旱指數（X-XA）/XA所對應的距平大小的1.5倍。說明從理論嚴謹的角度，在濕潤區只能用標準化濕潤指數（X-XA）/X，即指數的分母必須是降水量X，而在干旱區只能用標準化干旱指數（X-XA）/XA，即指數的分母必須是歷史降水量均值XA，這樣，降水距平百分率的變化空間便是從-100%變到100%。對于降水距平百分率，在濕潤區間（X>XA）降水距平百分率的分母一定要把歷史均值換成降水量，只有在這一條件下，目前氣象臺站正在使用的降水距平百分率才能從-100%變化到100%，顯然此時的降水距平百分率就類似正態形狀，并對稱于0點，所劃分的干濕物理意義也更加明確，也具有將降水量從偏態分布向正態分布的轉變，所以降水距平百分率只要在干濕兩區間對分母區別對待，理論上便是可行合理的。最后，由于篇幅限制未深入進行個例或同類方法的比較研究，其理論特點或優越性待另文再作評估或待實踐中去檢驗。

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