彰顯“問題”魅力 成就概念課堂

摘 要：高中數學的概念課如何更精彩，更有效？關鍵在于問題的設置與處理，本文以《任意角》的教學設計為例，提出了“問題要有明確的指向性、要有開放性、要在學生的最近發展區上設置、要給每一個學生都參與探究的機會”的觀點.

關鍵詞：任意角；問題設置；指向性；開放性

在高中數學的課堂教學中，概念課占據著相當大的比例，而學生對數學概念的掌握程度在一定意義上決定學生數學能力的高低. 那么如何讓我們的數學概念課堂更精彩、更有效？筆者認為概念課堂更應注意問題的設置，充分彰顯問題魅力. 那么我們該問什么、怎么問？筆者做了一次嘗試，希望能拋磚引玉.

[?] 教學設計

教學目標：

1. 理解任意角及象限角的概念；

2. 掌握所有與α角終邊相同的角（包括α角）的表示方法.

教學重點：

任意角的概念，終邊相同的角的表示方法.

教學難點：

終邊相同的角的表示方法.

設計理念：

本節課是對角的概念的推廣，由于學生對角的定義（靜態、動態）在初中已經有所了解，但不夠嚴謹，因此我們的教學側重點應是如何嚴謹又細膩地探究角的動態定義，引入正角、負角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法. 本節課要幫助學生樹立運動變化的觀點，理解靜是相對的，動是絕對的，并由此深刻理解推廣后的角的概念. 通過問題設置，讓學生從特殊到一般，歸納出終邊相同的角的表示方法，理解終邊相同的角的概念，并能給予表示.

教學過程：

問題情境：

數學學習中我們遇到過很多數學名稱，如點、線段、射線、角、三角形等等.

問題1 當你看到“角”這一數學名稱時，想到什么？

靜態定義：有公共端點的兩條射線圍成的幾何圖形叫做角，公共端點叫做角的頂點，射線叫做角的邊. 角包括了銳角、直角、鈍角、平角，還可能是周角，范圍為0°<α≤360°.

動態定義：角可以看成一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

設計意圖：選擇開放性問題導入，意圖在于讓每一個學生都覺得有話可講，從而讓學生參與到課堂中來；通過問題1，教師可以更清楚地了解學生對角這一概念的理解水平，便于教學的進一步實施.

下面我們做個游戲，需要兩個同學參與：現在我給你們下個口令，請你們按照口令完成動作，1. “向右轉90°”；2. “向左轉540°”.

問題2 上述游戲中出現了540°角，不在我們以前研究的范圍0°<α≤360°內. 那么在生活中還有沒有不在0°<α≤360°這一范圍內的角，你能說出一些嗎？

設計意圖：問題2的意圖是增強學生對角的感性認識，很自然感受到角的概念需要推廣的必要性.

板塊一、角的概念的推廣

展示微視頻

問題3

（1）微視頻中我們通過什么方式獲取角？你能從旋轉的角度描述一下如何能夠得到一個角？

旋轉角可以看成平面內的一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形. 射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉開始的位置叫做角的始邊，旋轉終止位置叫做角的終邊. （動態定義）

（2）你認為逆時針旋轉60°和順時針旋轉60°一樣么？

不一樣，旋轉的方向對角有影響，逆時針旋轉和順時針旋轉產生兩個具有相反意義的量.

（3）逆時針旋轉和順時針旋轉產生兩個具有相反意義的量，我們怎么區分？你學過類似的兩種具有相反意義的量嗎？當時我們是如何處理的？你能解決這個問題嗎？

規定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；

按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.

如果射線沒有發生任何旋轉，那么構成零角.

這樣就把角的概念推廣到任意角，包含正角、負角和零角.

設計意圖：通過微視頻中手表分針的轉動展示和問題串，進一步細化角的旋轉定義，讓學生認識到在旋轉中心確定的前提上，決定旋轉的是旋轉方向和旋轉的量，讓學生對角的理解逐步從感性到理性. 類比正數、負數的規定（數軸），引導學生得出正角、負角的定義，讓數學概念的呈現自然流暢.

知識運用：請你作出60°、-150°、420°角（作一張圖）.

設計意圖：讓學生進一步熟悉角，感悟角的旋轉定義，尤其是旋轉方向.體會到角的旋轉定義的幾何語言，體現“做中學”的教學理念.

板塊二、象限角和軸線角

展示不同學生作的60°角，

問題4 為什么都是60°，差異卻如此大？這就給我們研究角帶來了困難，你能解決這個問題么？（討論）

作圖時由于頂點和始邊的位置不同，導致差異. 統一頂點和始邊的位置，將角放入平面直角坐標系研究.

以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.

角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角.

設計意圖：通過幾種不同情形的60°角的呈現，讓學生感受差異，發現問題，激發學生解決問題的欲望，為象限角的規定的出現設置鋪墊；討論題的意圖在于：讓學生探究產生差異的原因，統一標準，得出象限角的規定，讓學生真正參與到概念的探究過程中.

知識運用：

1. 下列命題中正確的是________.

①銳角是第一象限角；②第一象限角一定是銳角；③小于90°的角是銳角；④第一象限角一定不是負角

2. 判斷60°、-150°、420°、-300°角分別是第幾象限角？270°呢？

設計意圖：進一步熟悉象限角的概念，讓學生領會到當概念進行推廣后，某些原有的概念應當有新的認識（如銳角）；承上啟下，為我們進一步研究“與α角終邊相同的角”埋下伏筆.

板塊三、與α角終邊相同的角

3. 判斷60°、-150°、420°、-300°角中哪些角的終邊相同？它們彼此之間有什么關系？

420°=60°+1×360°，

60°=60°+0×360°，

-300°=60°+（-1）×360°.

追問：與60°角終邊相同的角的還有么？你能寫出它的表達式嗎？你能不能得出一個一般性的結論？

還有，如780°；60°+k·360°（k∈Z）.

一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈Z}.

設計意圖：通過問題，引導學生自然而然地發現規律，歸納總結，體現從特殊到一般的認知規律.

概念辨析

判斷：

（1）和角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈R}.

（2）和角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈Z}，不包括α.

（3）和角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈Z}中的α的取值范圍是0°≤α<360°.

（3）相等的角終邊相同，終邊相同的角相等.

設計意圖：概念辨析的意圖在于加深學生與角α終邊相同的角的理解，掌握與角α終邊相同的角的幾個特征：

（1）k∈Z；（2）包含α；（3）α為任意角；（4）相等的角終邊相同，終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數倍.

知識運用：

1. 在0°到360°的范圍內，找出與2015°終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.

2. 第一象限角的集合為________.

設計意圖：讓學生進一步理解與角α終邊相同的角的概念，體會到我們運用終邊相同的角這一知識將任意角問題轉化到我們熟悉的0°到360°內進一步研究的化歸思想.

課堂小結：

①這節課你學到了哪些知識？

②你會解決哪些問題？

③這節課涉及了哪些數學思想？

鞏固提升：

1. 終邊落在y軸上的角的集合怎么表示？

2. 若α是第三象限角，則是第幾象限角？

[?] 教后感悟

本節課是采用問題串模式授課的一次嘗試，筆者認為數學概念課堂要彰顯問題魅力的關鍵在于精心設計問題，那么如何設計出有效的問題，反思如下：

1. 問題要有明確的指向性

一個問題題設要簡潔、不應存在歧義，問什么，學生要清清楚楚，否則必定會給師生交流帶來障礙，從而造成課堂資源的浪費. 問題必須具有明確的指向，學生只有理解問題，才能參與到問題的探究，才能在探究過程獲取成就感，才能激發學生學習數學的興趣.

2. 問題要有開放性

只有開放的問題才能真正培養學生的發散性思維，因此我們需要設計開放的問題，適應不同層次的學生需求. 其次我們在問題的探究過程也需“開放”，要鼓勵學生質疑，發現問題，提出問題，倡導“提出問題比解決問題更重要”的理念. 對于問題的解答策略也應“開放”， 不斷激勵學生對問題的差異化求解.

3. 問題要在學生的最近發展區上設置

問題探究的主體是學生，所以問題不應有太大的跨度，要依據學生的認知特點，設計貼合學生發展需要的問題，并且在學生的最近發展區上設置問題，確保學生在現有知識的基礎上“跳一跳，能摘到‘果子’”. 如果概念的理解難度較大，不妨多設置幾個臺階，由淺入深地的設置幾個問題，構建問題鏈，促使學生積極思考，逐步推進學生思維的發展，進而推動課堂的自由發展，達到培養學生積極探究、自主學習的能力的目標.

4. 問題要給每一個學生都參與探究的機會

我們的課堂一直強調面向全體，讓每個孩子都有收獲. 如果精心設計的問題，因為沒有足夠的時間給學生思考，那么問題的探究過程就只能成為教師或者幾個優秀學生的演示，結果就可以預測到了. 給予學生足夠的思考時間，還可以在課堂上加入討論、小組協作等方式，給學生創設積極參與問題探究的環境，讓學生在探究中學會交流，在交流合作中解決問題、獲取知識，從而形成良好的思維品質.