高中數學教學要培養學生的數學意識

摘 要：基于學生數學素養提高的高中數學教學需要高度重視數學意識的培養. 數學意識是學生形成數學知識、生成數學思維的基礎，提高學生的數學意識，關鍵在于認識到數學意識必須形成于數學知識生成的過程，因而在數學教學中要重視數學知識的生成，重視其中的學生思維細節. 數學意識要通過變式訓練來來促進生成，通過生活運用來固化.

關鍵詞：高中數學；數學意識；培養

數學是一門基礎學科，如果將建筑當成學習的隱喻的話，那數學在人的發展中的作用，就類似于地基或墻體在建筑中的作用——盡管重要卻不外顯. 這句話顯然也需要反過來理解：雖不外顯卻很重要. 當然，沒有人會反對數學的重要性，但在高中數學教學中，這種重要性如何體現卻值得教師認真研究. 在實際教學中筆者感覺到數學的基礎性、重要性，與實際教學之間存在著一定的背離情形. 應試教育環境下的高中數學教學，更多地成為學生提升解題能力的核心，一切圍繞應試轉的教學現狀使得高中數學教學的許多營養流失比較嚴重，數學意識則是其中之一.

筆者所理解的數學意識，是指學生在遇到實際問題時能夠數學地看待問題，能夠數學地思考問題，能夠建構出適當的數學模型并分析之. 事實證明，經過數學化的過程，再復雜的事物也都能表現出其美麗的一面，很多看似與數學無關的事物背后，也常常隱藏著數學規律，譬如納什借助于數學基礎演變出來的博弈論，竟然成為經濟學的重要理論之一，并由此獲得了諾貝爾經濟學獎，這不能不說是數學基礎作用的充分體現. 納什演變出博弈論的過程我們不得而知，但有一點可以肯定的是，數學意識一定幫了他不少大忙. 那么，高中數學教學如何培養學生的數學意識呢？筆者結合蘇教版高中數學必修五的“不等關系、不等式”的教學，談談自己的一些不成熟的想法.

[?] 數學意識是源于數學的意識

從心理的角度來看，數學意識是數學的一種. 意識是什么？意識是影響人生活行為但卻不外顯的心理因素. 同樣一個瀑布，詩人看到就想到賦詩，而學物理的則想到能量的轉化與利用，數學家則會考慮其高度以及是否可以用數學關系描述其運動，這就是不同的意識所產生的結果. 從這個角度來看，數學意識顯然就是指基于數學、源于數學的意識.

在“不等關系”的教學中，有兩個關鍵概念：一是不等關系；二是不等式. 從“不等關系”到“不等式”，看起來是一個簡單的變化，在數學教師看來也是一個自然且簡單的由前者過渡到后者的關系. 既然是自然而然的過程，自然就不需要花費太多的精神力氣了. 那么事實是不是如此呢？筆者以為，這兩個知識點之間實際上卻包含著豐富的內容：

其一，“不等關系”與“不等式”存在的背景不同. 前者存在于生活，在生活中有著豐富的不等關系. 事實上，相對于等量關系而言，生活中更多的是不等關系. 教材上所舉的例子則更具挑戰性，以第一個例子為例：某博物館的門票為每位10元，20人以上（含20人）團體票8折優惠. 那么，不足20人時，應該選擇什么樣的購票策略. 顯然，這是一個源自于生活的例子，不等關系蘊涵其中.

其二，后者是前者的數學化體. 不等式存在于數學，將不等關系用數學式子表達出來即為不等式. 從不等關系過渡到不等式，需要的是學生的不等關系數學化的意識，這就是數學意識的存在場所.

其三，數學化源于數學意識. 對于學生而言，怎樣才能順利地將不等關系變成不等式呢？這不是一個輕松的話題，因為在實際教學中我們看到的更多的現象是，當學生遇到類似于購票策略的問題時，他們往往無法將這一問題與不等式聯系起來，這恰恰說明了學生不等意識即數學意識的缺失.

由此也可以確定，數學意識是基于生活而源于數學的，只有帶著數學意識去看待生活中的事物，才有可能敏銳地尋找到生活事物數學化的描述方式. 那么，在實際教學中，學生的數學意識是怎樣形成的呢？是不是可以坐等呢？教學實踐表明，事實不是這樣的，學生數學意識的形成，關鍵在于教師.

[?] 數學意識的培養關鍵靠教師

在面對購票策略這一問題時，筆者發現學生的思維難點不在不等式的理解上，而在不等關系向不等式過渡的這一過程中. 也就是說當不等式8×20≤10x出現后學生理解是沒有問題的，但這個不等式的生成卻是更難的. 這給高中數學教學敲響了一記警句：目前我們的高中學生并不缺乏數學自身的邏輯思維能力，但恰恰在數學地看待生活問題上存在不小的挑戰，而近年來的數學測試又有向生活轉化的趨勢，因此培養學生的數學意識可謂是一個重要任務.

在學生數學意識不夠明確時，顯然教師在其中應當發揮重要的作用. 而這一作用的發揮關鍵也沒有其他捷徑可走，只能通過變式訓練來讓學生在比較鑒別中生成數學意識. 應當承認，變式教學是中國教育尤其是中國數學教育的一大法寶，自從二十多年前變式教育為國內某知名高中踐行之后，變式思想在高中數學教學中就占有重要的地位. 有一點可能為大家所忽視的是，教材在建立不等關系的時候，引用了三個例子，除了上面的購票策略之外，還有雜志發行、維生素含量與成本關系兩個例子，在實際教學中這三個例子如何綜合運用，直接關系到學生的數學意識能否有效生成. 筆者的處理方法是這樣的：先呈現購票策略的例子，在學生思維困難的時候，告訴學生發現其中的不等關系并列出不等式，是解決問題的關鍵所在. 事實證明，學生這個時候思維常常有瞬間被打開的感覺，當他們意識到復雜的生活事例可以用簡單的數學關系來表達時，就是加強學生數學意識的關鍵時刻.

筆者這樣跟學生強調：購票策略這一問題，起初我們能夠發現其中存在著技巧問題，但無法發現如何尋找到這一技巧，而當不等關系被發現，不等式列出來之后，就發現這一關系其實又是那么的簡單. 同學們想想，這其中的關鍵在哪里呢？

這是一個類似于元認知策略的教學過程，既基于數學又不只是指向數學知識，更指向數學能力與數學意識. 學生在這一問題的驅動之下，思維會將購票策略的實例，與不等關系及不等式結合起來，并努力發現其中的關系. 而這一關系的構建，恰恰是數學意識形成的關鍵.有了這一步之后，此處學生的數學意識就算被激活了.

從以上分析可以看出，教師采用什么樣的教學方式，直接影響著學生的數學意識形成的質量. 如果教師過多講授，或者不提供給學生分析綜合的機會，那學生的數學意識生成就有困難. 相反，采用了變式的教學思路之后，學生的思維就有了加工數學實例與數學知識的關系，從而讓兩者產生聯系.

[?] 數學意識的生成關鍵靠訓練

待學生的數學意識激活之后，變式過程中學生的訓練就成為數學意識有效生成的關鍵. 在這個過程中同樣有教學細節需要關注，因為學生數學意識被激活之后如何培養還是一個問題.上面提到的除購票策略之外的兩個例子如何變式，這是本訓練環節中的一個關鍵.筆者在其中做了兩點努力：

一是給學生提供雜志發行的例子，讓學生分析其與購票策略例子的區別. 事實表明，學生會發現這兩個例子均存在著兩個關系：一是變量關系. 購票策略中購票人數與價格之間存在關系；雜志發行的價格與發行量之間存在關系. 二是不等關系，而這個關系又是建立在前者的基礎上的. 多個教學研究的實例均表明，學生經過分析可以發現，從不等關系到不等式有兩個關鍵：不等關系詞；不等式.而這恰恰是不等關系的數學模型建立的兩個關鍵. 需要指出的是，這兩個關鍵既是數學模型的關系，也是不等關系中數學思維的模式.

二是給學生提供訓練的機會. 基于上面的分析，可以讓學生對第三個例子進行這種模式化的分析，譬如學生在分析維生素含量與價格的時候，不等關系詞可以這樣描述：食物X和Y的質量分別設為x和y千克，那食物Z的質量則可由總質量減得；于是可以根據題意建立這樣的不等式關系：300x+500y+300（100-x-y）≥35000；700x+100y+300（100-x-y）≥40000.

在這樣的教學過程中，學生相當于經歷了一個舉二反一的過程，這對于相當一部分學生來說，或許有些困難，但這不是關鍵，只要再加一些例子即可. 關鍵在于引領學生認識到不等關系的發現對于解決問題所起的作用，認識到不等關系模型建立的兩個關鍵因素. 通過變式訓練形成良好的數學直覺，是生成數學意識的主要思維過程.

[?] 數學意識的固化關鍵靠生活

在應試形態的高中數學教學中，一般是不考慮學生將數學知識應用到生活當中的，純粹的數知識之間的推理讓學生的數學思維容易固定在數學知識之內. 而這對于數學意識的培養來說，可能是弊大于利. 筆者以為，數學意識在激活生成之后，面臨的臨門一腳的關鍵問題就是意識的固化問題.

如文章開頭說所，意識原本屬于心理學方面的內容，因而意識的固化需要符合學生的認知規律，而意識的固化的規律，又在于學生對所形成意識的生活運用. 不等關系的建立本身經歷了從生活實例到數學的過程，但應當認識到那個生活實例是經過抽象的，而反過來將不等關系運用到生活當中時，則是一個演繹的過程，是一個將生成的數學關系應用到更加真實的生活情境中的過程.譬如有教師將酒駕實例中血液中酒精含量的不等關系，將某個路口中人流量的不等關系，真實地呈現在學生的面前，讓學生在分析的過程中，自覺地將不等關系的數學模型運用到實例當中去，在這個過程中學生的思維不僅瞄準不等關系的結果，還瞄準不等關系建立的過程，非常有利于學生數學意識的固化.

綜上所述，高中數學中要高度重視學生的數學意識培養，以切實提高學生的數學素養.