“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”理論對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

摘 要：學(xué)習(xí)型的高中數(shù)學(xué)教師需要理論的引導(dǎo)，“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”理論通俗易懂，且與學(xué)生的學(xué)習(xí)心理描述高度吻合，因而可以成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)理論. 三個(gè)世界是指具體世界、符號(hào)世界、形式世界. 實(shí)際教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生順利逐步進(jìn)入每一個(gè)世界，從而完成思維的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的有效教學(xué).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐可以選擇兩個(gè)指導(dǎo)道路：一是經(jīng)驗(yàn)型的道路，即教師通過(guò)自身不斷的教學(xué)實(shí)踐去總結(jié)反思，以尋找到一套適合于自己的教學(xué)的樸素理論，這種理論往往只有教者自己清楚，甚至有時(shí)候教者自己也不清楚自己受自己的理論支配，只知道小到某個(gè)具體的教學(xué)細(xì)節(jié)，大到某個(gè)具體的教學(xué)階段應(yīng)該做什么事情；二是學(xué)習(xí)型的道路，在這條道路上教師往往會(huì)通過(guò)不斷地吸納教學(xué)理論來(lái)指導(dǎo)自己的實(shí)踐，從而讓自己的教學(xué)能夠在符合科學(xué)規(guī)范的基礎(chǔ)上運(yùn)行. 相比較而言，前者需要付出的學(xué)習(xí)成本不大，只要努力實(shí)踐就行，而后者既需要實(shí)踐，又需要學(xué)習(xí)，但很顯然，后者可以行走得更遠(yuǎn).

筆者在教學(xué)中除了不斷實(shí)踐之外，也在不斷地學(xué)習(xí). 在學(xué)習(xí)的過(guò)程中接觸到了“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”的理論，感覺(jué)這一理論相對(duì)通俗易懂，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程也有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義. 于是在教學(xué)中不斷將其與自身的實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，從而收獲了一些理解與認(rèn)識(shí)，現(xiàn)將自己的學(xué)習(xí)與思考進(jìn)行一個(gè)總結(jié)，以期對(duì)高中數(shù)學(xué)同行能夠起到拋磚引玉的作用.

[?] “數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論”簡(jiǎn)介

根據(jù)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)研究者的觀點(diǎn)，由英國(guó)學(xué)者大衛(wèi)·托爾提出的“數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論”是基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的，其中又融合了認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)、信息科學(xué)等理論. 盡管?chē)?guó)內(nèi)教學(xué)界尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)界對(duì)建構(gòu)主義持有不同觀點(diǎn)，但從教學(xué)實(shí)踐的角度來(lái)看，我們還是發(fā)現(xiàn)這一理論對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程具有較為明確的指導(dǎo)意義.

“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)分為具體世界、符號(hào)世界和形式世界三種世界. 那么，這三種世界如何理解呢？筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)例進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的解讀.

具體世界又叫具體化世界.這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初級(jí)階段，是學(xué)生邁向數(shù)學(xué)大門(mén)的學(xué)習(xí)起點(diǎn). 在這個(gè)階段，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)世界的感知是具象化的，是事物化的，譬如學(xué)生在學(xué)習(xí)“集合”時(shí)，教材（人教版高中數(shù)學(xué)必修1）給出了8個(gè)例子，其中“我國(guó)從1991-2003年的13年內(nèi)發(fā)射的所有的人造衛(wèi)星”“2004年1月1日之前與中華人民共和國(guó)建立外交關(guān)系的所有國(guó)家”等，都是學(xué)生可以具體感知的事物對(duì)象，這個(gè)對(duì)象與數(shù)學(xué)沒(méi)有直接的關(guān)系，而與學(xué)生的感性世界有關(guān). 此時(shí)，學(xué)生所感知到的是具體的、形象的具象事物.

符號(hào)世界又叫符號(hào)化世界. 符號(hào)顯然是對(duì)具體事物抽象的結(jié)果，抽象的對(duì)象當(dāng)然是具體世界. 專(zhuān)家認(rèn)為，符號(hào)世界是學(xué)生的思維從“解決數(shù)學(xué)問(wèn)題”向“進(jìn)行數(shù)學(xué)思考”的轉(zhuǎn)換過(guò)程，從經(jīng)驗(yàn)的角度來(lái)看，這一判斷顯然是正確的. 如果注意分析，學(xué)生將上述“集合”知識(shí)教學(xué)中所舉的例子轉(zhuǎn)換成具體的集合（包括元素）概念與符號(hào)的過(guò)程. 需要指出的是，概念與符號(hào)原本就是抽象的結(jié)果，當(dāng)學(xué)生將“研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素”“把一些元素組成的整體叫做集合”記憶熟練時(shí)，實(shí)際上也就完成了從具體世界向符號(hào)世界轉(zhuǎn)化的過(guò)程.

形式世界也叫形式化世界. 形式世界是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)符號(hào)世界再抽象的結(jié)果. 用專(zhuān)業(yè)的術(shù)語(yǔ)叫做“形式化定義”或“形式化公理”，這是兩個(gè)相對(duì)抽象的概念，轉(zhuǎn)換成經(jīng)驗(yàn)語(yǔ)言就是將數(shù)學(xué)概念熟練化之后，成為一種基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容無(wú)疑是抽象的，沒(méi)有經(jīng)過(guò)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的人肯定是聽(tīng)不懂高中數(shù)學(xué)哪怕是最基本的概念的，這實(shí)際上就是因?yàn)樗麄儧](méi)有進(jìn)入形式世界，無(wú)法理解這個(gè)世界的語(yǔ)言.

需要強(qiáng)調(diào)的是，這三個(gè)世界與學(xué)生的學(xué)習(xí)階段有關(guān)系但又不是唯一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并不是說(shuō)學(xué)生在小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)學(xué)就是具體世界，而到了高中甚至是大學(xué)就是形式世界，事實(shí)上在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段這三個(gè)世界也都是存在的.

[?] 學(xué)習(xí)心理角度的“三個(gè)世界”

研究這三個(gè)理論，筆者發(fā)現(xiàn)其與學(xué)習(xí)心理角度的一些基本理論有重疊的地方，而這種不同理論指向同一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的描述，恰恰驗(yàn)證了“數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論”的合理性與正確性. 在對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理進(jìn)行研究的過(guò)程中，有人發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要經(jīng)過(guò)動(dòng)作、圖象和符號(hào)三個(gè)階段，而這三個(gè)階段與“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”理論存在著一定的吻合之處，下面舉例說(shuō)明.

在“函數(shù)”概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生需要對(duì)具體的融合進(jìn)行加工，譬如教材所舉的炮彈發(fā)射的高度隨時(shí)間變化的例子，學(xué)生在加工這一事例時(shí)，需要結(jié)合其他學(xué)科所學(xué)的相關(guān)知識(shí)，去構(gòu)建出炮彈軌跡的表象，從而為自己的形象思維提供一個(gè)有效的對(duì)象，這實(shí)際上就是動(dòng)作加工——加工的是想象中的動(dòng)作表象，而得到的其實(shí)就是與數(shù)學(xué)相關(guān)的具體世界的內(nèi)容；但動(dòng)作加工的對(duì)象是短暫的，隨后學(xué)生的思維中就會(huì)出現(xiàn)炮彈斜拋的軌跡，而這實(shí)際上就意味著學(xué)生的思維進(jìn)入圖象加工階段，相對(duì)于想象表象而言這是抽象的結(jié)果，隨后還會(huì)由斜拋運(yùn)動(dòng)反映出相應(yīng)的表達(dá)式，如h=v0t+

t2，顯然這屬于符號(hào)世界；待到教師結(jié)合函數(shù)概念，跟學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義之后，就需要經(jīng)過(guò)一個(gè)熟練化的過(guò)程，待到函數(shù)概念熟悉之后，就進(jìn)入了符號(hào)加工階段，實(shí)際上也就是進(jìn)入了形式化世界.

細(xì)心的同行可能發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”及認(rèn)知學(xué)習(xí)心理的三階段中均有“符號(hào)”這一關(guān)鍵詞，但所處的階段并不相同. 事實(shí)上這是一種正常現(xiàn)象，在不同的理論當(dāng)中同一個(gè)概念的含義不一樣是正常的，這也提醒我們?cè)趯W(xué)習(xí)教學(xué)理論的時(shí)候，不能只看概念然后去自己建構(gòu)意義，而應(yīng)當(dāng)根據(jù)作者的意圖去理解概念的含義.

[?] “三個(gè)世界”理論下的教學(xué)實(shí)踐

有了對(duì)“三個(gè)世界”理論的理解，再來(lái)思考如何利用其指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐的問(wèn)題. 筆者以為，用一個(gè)理論指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐應(yīng)當(dāng)首先體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程中. 筆者在設(shè)計(jì)函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，就結(jié)合教材上的事例進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)：

其一，豐富學(xué)生的加工事例. 除了上面提到的炮彈實(shí)例之外，教材還提供了南極上空臭氧空洞的面積隨著時(shí)間的變化而變化的關(guān)系. 筆者以為這一實(shí)例雖然緊扣發(fā)展需要，但卻顯得不近學(xué)生，因此這一事例可以延后呈現(xiàn)，在此之前再加上一些事例，譬如人的身高與年齡階段之間的關(guān)系等，學(xué)生對(duì)事例越熟悉，那其所生成的具體化世界就越合理.

其二，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象. 數(shù)學(xué)抽象從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，是一個(gè)建立數(shù)學(xué)模型并用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行解釋的過(guò)程，從“三個(gè)世界”理論的角度來(lái)看，就是一個(gè)形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)換的過(guò)程，要想讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”，就需要將與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的因素進(jìn)行抽象，譬如上面事例中就需要將對(duì)炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡的語(yǔ)言描述轉(zhuǎn)換成符號(hào)描述，“已知高度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間的斜拋運(yùn)動(dòng)”轉(zhuǎn)換成“h=v0t+

t2”時(shí)，就完成了這種轉(zhuǎn)換，從而學(xué)生的思維也就進(jìn)入了符號(hào)化世界.

其三，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)化思考”. “數(shù)學(xué)化思考”與“數(shù)學(xué)地思考”有質(zhì)的區(qū)別，“化”字帶有直覺(jué)性、習(xí)慣性的意思，是學(xué)生將生疏的數(shù)學(xué)知識(shí)熟練化、直覺(jué)化的過(guò)程. 筆者跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，運(yùn)用“函數(shù)”這一概念的時(shí)候，不要過(guò)多地思考其中的非空數(shù)集或?qū)?yīng)關(guān)系等關(guān)鍵詞，用函數(shù)概念的時(shí)候就要將它當(dāng)成自己的名字一樣去熟知它，只有需要用函數(shù)概念進(jìn)行具體分析的時(shí)候才需要考慮其定義. 只有經(jīng)過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生的思維才會(huì)從邏輯思維轉(zhuǎn)換成直覺(jué)思維，從而讓學(xué)生進(jìn)入形式世界.

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)所導(dǎo)致的教學(xué)實(shí)踐，就是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以按照“三個(gè)世界”完成三個(gè)步驟的學(xué)習(xí). 這三個(gè)步驟環(huán)環(huán)相扣，同時(shí)又遵循了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，只要操作得當(dāng)，學(xué)生就會(huì)取得比較好的收獲. 更重要的是，這樣的教學(xué)過(guò)程可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)形成一種具體的習(xí)慣，從而可以化解學(xué)生學(xué)習(xí)策略上的困難.

[?] 用“三個(gè)世界”理論指導(dǎo)反思

教學(xué)反思是成長(zhǎng)為學(xué)習(xí)型教師的必然環(huán)節(jié)，教學(xué)反思不是一個(gè)簡(jiǎn)單的回顧教學(xué)的過(guò)程，而應(yīng)當(dāng)是通過(guò)一定的理論學(xué)習(xí)與運(yùn)用，將自己的實(shí)踐與理論進(jìn)行對(duì)比，以理論指導(dǎo)更好的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐的過(guò)程.

“數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論”作為一種通俗易懂的數(shù)學(xué)教學(xué)理論，其對(duì)教學(xué)反思的作用是明顯的，就筆者的實(shí)踐而言，觀察學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的具體表現(xiàn)，并思考其與教學(xué)預(yù)設(shè)之間的距離，可以讓理論與實(shí)踐之間更好地銜接. 比如說(shuō)筆者就發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在進(jìn)入符號(hào)世界時(shí)會(huì)出現(xiàn)困難，起初筆者以為是理論存在問(wèn)題，后來(lái)才發(fā)現(xiàn)原來(lái)是這部分學(xué)生的抽象思維能力較弱的原因，而一旦教師通過(guò)指導(dǎo)，幫助他們完成數(shù)學(xué)抽象，他們就能順利地進(jìn)入符號(hào)化世界.

總之，“數(shù)學(xué)三個(gè)世界”理論對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)是有著強(qiáng)烈的指導(dǎo)作用的，充分地將其與教學(xué)實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，可以促進(jìn)有效教學(xué)的順利生成.