巧用幾何畫板開展高中數學實驗教學

摘 要：在新課標的要求下，高中數學教學質量要求不斷提高. 相對于傳統教學方法，現在的教學需要不斷創新，大量運用新的技術輔助教學工作. 現在高中生對數學的學習積極性較低，而解析幾何在高中數學中是一個學習難點，所以學生學習起來比較吃力. 為了更好地讓學生學習解析幾何，提高學生自我學習能力，教學中可以積極利用幾何畫板輔助教學，對傳統教學方法進行補充.

關鍵詞：幾何面板；高中數學；解析幾何；實驗教學

數學實驗教學是高中數學教學工作中一個重要的輔助手段，通過實驗來加強教學效果. 實驗教學可以讓學生在實踐中自主探索，積極和其他同學交流，提高學生的團隊合作意識. 而且實驗過程中可以積極利用新的技術手段，輔助學習過程. 學生在學習時可以自己創設問題情境，然后發現問題，提出假設，進而解決問題. 幾何畫板為學生提供了一個親自動手的平臺，學生可以詳細地、全面地對問題進行分析，使得學生的學習效果大大提升.

[?] 提高學生的學習積極性

高中課程中，數學讓許多學生所懼怕，在學生眼中數學總是一副冷酷無情的樣子，其學習過程也是枯燥無味的，學生在學習數學的態度上也是消極冷淡的. 而使用幾何畫板可以為學生的數學學習提供一種動態演示，如果在數學實驗教學中利用“幾何畫板”來輔助學習過程，將大大提高學生的學習興趣，也能幫助學生更加真實地理解問題.

案例1：雪花曲線（Kock曲線）

使用幾何畫板繪制一個等邊三角形，將三角形的每個邊進行三等分，以等分后的長度作為邊長，在原來的等邊三角形的外部制作新的等邊三角形. 把上面的動作和步驟持續進行，這樣的過程我們可以看做一個函數曲線，在數學上稱之為雪花曲線.

雪花曲線的示意圖，如圖1，如果n→+∞（n級數）時，那么它的周長趨向于無窮大，面積趨向于. 如果在科赫雪花的外邊做一個正方形把它圍住，那么不管科赫雪花的周長如何趨向于無窮大，但科赫雪花的面積不可能超過正方形的面積.

通過在幾何畫板上演示科赫雪花的變化過程，讓學生親身體驗到學習的樂趣，感受數學所散發的魅力，極大提高了學生的學習動力. 這種動力能夠激發學生的好奇心理，不斷探究的心理活動激勵著學生不斷的學習和研究. 同時通過親身實踐能夠加強學生的記憶，鞏固所學知識，提高學生發現問題和分析問題的能力.

[?] 發掘學生的思維能力

幾何畫板教學方法可以使得教師更加全面詳細向學生講述教學內容，學生也能夠全面地、深刻地了解知識的原理. 因此學生可以深入學習過程中去，形成以學生為學習主體的格局，提高了學生的學習熱情. 學生在教師的指導下對數學實驗展開分析，通過問題情境的設定，從中發現問題的變化規律，從而找出問題解決方法，并通過合理推理總結出結論.

案例2：雙曲線的概念教學

案例情境設立：①在平面作線段F1F2，設線段F1F2的長度為2c；②同理在平面作直線l，在直線l上取長度為r1的線段，線段的端點為A，M；③在直線l上取點B，B點定在M點的右側，使得線段AB的長度2a大于線段F1F2的長度，設線段BM長度為r2；④F1為圓心，線段AM長度r1為圓的半徑，作圓C1；⑤圓心為F2，半徑為線段BM的長度r2，作圓C2. 完成圖象效果如圖2所示. 不斷改變動點M的位置，這樣圓C1和C2產生的交點P的軌跡就會是一個橢圓.

提出以下問題：

（1）雙曲線的定義是什么？

（2）滿足兩圓相交的條件是什么？

（3）兩半徑之差是多少？

（4）雙曲線出現兩支的要求是什么？

（5）點P滿足的幾何條件是什么？

案例分析：滿足一個動點到兩個定點的距離差的絕對值是固定值且該固定值小于兩定點之間的距離的軌跡是雙曲線.

在案例2中，以一個橢圓為案例的情境，隨著橢圓的變化觀察橢圓和雙曲線的變化情況，分析出它們之間的內在聯系. 這種直觀的變化讓學生從原來的感性認識轉變成理性的認識，這是傳統的方法無法做到的.

[?] 突破靜態思維的束縛

數學的抽象性是學習數學的難點，只有解決了抽象性問題，才能提高學生學習的興趣，這也是培養學生提高學習興趣的關鍵. 而幾何畫板的作用就是化抽象為具體的工具，學生可以通過幾何畫板建立圖形模型，幫助學生學習過程. 傳統的教學方式中，建立圖象模型基本都是靜態的或者人工繪制的，極大地限制了數學的動態變化需要. 同時，這種靜態圖象模型使得學生容易產生固定思維模式，束縛了學生的擴展性思考. 而借助幾何畫板可以給學生動態的變化體驗，活躍了思考的空間，思考的范圍不再局限于表面看到的狀態. 幾何畫圖為學生提供了一個形象的演示模型，使得學生從傳統的靜態思維模式向動態思維模式轉變. 這樣數學的動態數據變化也能夠得到生動的展示，使得學生真正地認識到數學的變化過程.

案例3：探究二次函數的圖象與性質

（1）隨著a值的變化，函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的變化情況.

實驗步驟：

①用幾何畫板建立函數y=ax2-1的圖象，分別畫出a=2，1，，和時函數的圖象，如圖3（1）.

②然后作出a取負值時函數y=ax2-1的圖象，如圖3（2）.

[x][O][y][-2][1 2 3 4 5][-5 -4 -3 -2 -1][3

2

1]

（1）

[O][x][y][-5-4-3-2-1][1 2 3 4 5][2

1][-1

-2

-3

-4]

（2）

③通過不斷改變a值來分析a值的變換對函數圖象的變化起到的作用，并總結出結論. 分析發現a值決定拋物線開口的大小和方向. a值大于0時，拋物線開口向上，而且a值越大拋物線的開口越大；a值小于0時，拋物線開口向下，而且a值越大拋物線的開口越小.

（2）學生可以根據實驗方案或者自主方式對函數y=a（x-h）2+k（a≠0）展開討論，對它的圖象的變化情況進行分析，如圖4所示. 學生根據幾何畫板作出圖象，分析出函數的頂點坐標及對稱軸，將分析的結果數據記錄到實驗報告；然后分析函數圖象隨著a、h、k的變化而做出的變化情況，并對圖象的開口大小、方向、左右上下的平移的變化情況進行記錄. 最后做出總結，得出結論.

[A（1.7，-2.7）][O][對稱軸x=1.7][函數y=a（x-h）2+k的圖象][a=1.4 動態a

h=1.7 動態h

k=-2.7 動態k][x][y]

（3）學生在可以通過分組進行討論，分析x1、x2對函數y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）的圖象的作用. 這種學習過程是學生在教師的指導下自己分析問題的過程，學生需要自己去假設問題、猜想、實踐證明和下結論. 這大大提高了學生的自主學習能力，通過這種學習方式加深了學生的記憶，避免了過去因為死機硬背而導致學生學習興趣低的情況的發生.

[?] 豐富學生的想象力

學習數學過程中，要樹立學生有目的學習的觀念，讓學生學會使用數學方法去思考問題、分析問題并解決問題. 幾何畫板就是教師根據教材內容，滲透數學的思想方法.

案例4：對數函數的圖象和性質教學

使用幾何畫板制作教學課件，如圖5所示，幾何畫板可以很方便向學生展示函數的實際圖象，并且隨著參數的變化，圖象也隨之發生改變. 可以拖動A點，而a值也會不斷改變，函數的圖象也會做出變化. 這種直接的變化可以讓學生直觀地感受到圖象的變化規律，對于下面的問題分析有了更加明確的參考. 通過觀察可以發現，a值有四種分布，分別是a≤0，01，按順序分析，函數的圖象也呈不同狀態，分別是：函數無圖象、函數在正區間上單調遞減、函數圖象是一條y=1的直線、函數在正區間上單調遞增，當00時，a值越大，函數圖象越靠近x軸. 學生對a值不同范圍的函數圖象的變化進行觀察，得出a值對函數限制的作用性. 這種學習方法使得學生學習的效率大大提高. 同時也為學生提供了好的學習環境，教師也可以更加深入地研究新的學習方法. 學生在分析問題的過程中學會分類思考，從多方面分析，同時把圖形和數據進行結合，從數和圖兩方面進行討論.

在數學試驗中合理運用“幾何畫板”，可以給學生提供直觀的觀察和實際操作的平臺，極大地方便了學生的作圖過程，避免因為畫圖而占用了大量的學習時間，同時，這種新技術的應用也大大地增加了學生的學習興趣. 同時也培養學生的自我學習和自主探究的意識，加強學生的合作能力，提高了學生學習數學的積極性.

[?] 總結

綜上所述，“幾何畫板”可以為學生的數學學習提供一種動態演示，這樣學生可以更直觀、更形象地了解到數學問題的變化情況，通過這一動態演示可以加強學生的記憶效果，提高學生繼續探究的興趣. 同時，“幾何畫板”極大地節約了學生的學習時間，可以讓學生有更多的時間去學習新的內容. 通過新技術在數學實驗教學中的應用既鍛煉了學生的自我分析和自主解決問題的能力，又能讓學生體會到新技術的重要性，提高他們的創新意識，同時也避免了因為傳統教學方法而束縛了學生的思考能力，極大地提高了學生數學學習的積極性.