初探兩類向量問題的創(chuàng)新解決之道

摘 要：向量板塊是課程改革之后引入的知識章節(jié)，作為對學(xué)生思維能力培養(yǎng)和考查較為突出的章節(jié)，向量一直承擔(dān)著小題壓軸、大題銜接的重任. 向量問題的有效解決是向量教學(xué)的關(guān)鍵，本文以兩個不同的新視角來談?wù)劊谙蛄拷虒W(xué)中針對一些基底系數(shù)和與數(shù)量積問題產(chǎn)生的新想法、新的解決之道.

關(guān)鍵詞：向量；斜角坐標(biāo)系；極化恒等式；基線；等高線

向量問題的傳統(tǒng)解決方式，往往是基于向量知識章節(jié)最基本的要求：諸如向量的合成與分解、數(shù)乘的運用、數(shù)量積的研究以及向量問題坐標(biāo)化方式的引入等等. 向量還是一種工具性的知識，在世界各國許多中學(xué)數(shù)學(xué)教材中都是基本教學(xué)內(nèi)容，而在我國數(shù)學(xué)教學(xué)的引入還處于初級階段.吳文俊先生在談到向量時候曾這樣指出它的優(yōu)點：為了使中學(xué)幾何騰飛，必須采用數(shù)量化的方法，這種數(shù)量化就是以向量為背景的，除此之外我想不出其他好的方法.

近年來研究發(fā)現(xiàn)，向量板塊其知識運用的靈活性要求較高，是考查思維的利器，因此向量問題在高考中地位的不斷提升，往往小題壓軸、大題銜接過渡比較普遍地出現(xiàn)在各地高考中. 本文將從全新的視角出發(fā)，探究一些向量復(fù)習(xí)教學(xué)中全新問題解決之道，以求以更高效、更簡潔的方式解決向量問題.

斜角坐標(biāo)系

從平面向量的基本定理，我們知道向量的分解是借助于基底（不同線）實現(xiàn)的，在后續(xù)知識的學(xué)習(xí)中，為了更方便地解決一些正交情形下的向量問題，引入了向量的正交分解，即直角坐標(biāo)化.這樣的解決方式是向量從一般到特殊的一種傳遞，是從自由向量到坐標(biāo)向量的歸一，是思維方式到運算方式的一種轉(zhuǎn)變. 在這樣的教學(xué)過程中，教師往往因為向量問題的正交分解與坐標(biāo)方式形成了固有的思維模式：即若想利用坐標(biāo)向量，則必須正交分解（直角坐標(biāo)系）作為基底實現(xiàn)，否則就只能利用自由向量方式求解.

筆者認(rèn)為，我們可以通過平面向量基本定理將分解方式和形態(tài)做進(jìn)一步的研究和拓展，可以將自由向量進(jìn)一步自由到底——既然可以正交分解，為何不可斜交分解做嘗試呢？向量的自由性，正是讓我們開拓眼界解決，利用全新的視角——斜角坐標(biāo)系解決一類向量問題. 何為斜角坐標(biāo)系呢？眾所周知基底只要不共線便能組成，正交分解是選擇了相互垂直的單位向量，筆者選用斜交的不同單位刻度的基底作為基準(zhǔn)量，恰恰反應(yīng)了向量的自由性.

總之，本文從兩個較為新穎的視角解決了兩類向量常見問題，其一是要靈活掌握平面向量基本定理，從自由性的角度審視向量、審視坐標(biāo)系的建立與使用；其二溝通了數(shù)量積與向量和與差之間的關(guān)系，將其創(chuàng)新使用于各類數(shù)量積問題中，使其成為一種快速解決問題的工具. 限于筆者才疏，不足之處請各位讀者指正和補(bǔ)充.