例談高中數(shù)學(xué)及其價值與特征

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)有兩種基本的取向：一是知識積累及習(xí)題訓(xùn)練的取向；二是基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理論教學(xué)取向. 對于后一種取向，較好的選擇是引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的特征，從一定的理論高度來看待自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 思考什么是高中數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的價值是什么，高中數(shù)學(xué)的特征是什么，可以讓數(shù)學(xué)教學(xué)也有一個更高的高度.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)特征；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，讓筆者開始思考一些本源性的問題，譬如什么是高中數(shù)學(xué)？高中數(shù)學(xué)的價值又是什么？高中數(shù)學(xué)的特征又有哪些？數(shù)學(xué)特征是數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科的關(guān)鍵所在，自然也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要著力點所在. 教學(xué)生數(shù)學(xué)，不僅是教學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識，更重要的是能夠通過數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)的特征，發(fā)現(xiàn)身邊的事物中存在的數(shù)學(xué)屬性，以讓學(xué)生不僅能夠在形式上靠近數(shù)學(xué)，也能夠在本質(zhì)特征上靠近數(shù)學(xué). 高中學(xué)生有其明顯的年齡特征，這個年齡的學(xué)生擅長于理性思維，喜歡思考一些相對深刻的問題，在這樣的認(rèn)知特點的基礎(chǔ)上，如果高中數(shù)學(xué)教學(xué)還只是機(jī)械的知識積累，那顯然是滿足不了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要的（并不是說知識積累不重要，而是說高中數(shù)學(xué)教學(xué)不能完全局限于知識的積累）. 而如果帶著學(xué)生去認(rèn)識數(shù)學(xué)特征，或者說帶著學(xué)生從數(shù)學(xué)特征的角度去認(rèn)識高中數(shù)學(xué)，既不會影響學(xué)生的基本應(yīng)試技能，同時又能夠從更高層次上引導(dǎo)學(xué)生與數(shù)學(xué)之間有一個更為強(qiáng)烈的共鳴.

[?] 高中數(shù)學(xué)及其實質(zhì)與特征概述

“高中數(shù)學(xué)”可謂是高中數(shù)學(xué)及其教學(xué)中最為基本的一個概念，因為基本，所以常常為師生所忽視；因為基本，所以常常無法引起更多的思考. 而事實上，近年來的教學(xué)研究正有一種向本源回歸的趨勢，人們在經(jīng)過了新課程改革所帶來的太多的時髦概念的洗禮之后，有了一種思考基本概念的愿望，希望能夠回到教學(xué)的出發(fā)點，從本源概念去思考本學(xué)科教學(xué)的意義與價值. 作為高中數(shù)學(xué)教師，筆者的思考也正是從“高中數(shù)學(xué)”這一概念開始的.

一個基本的認(rèn)識是，“數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)”，對于高中學(xué)習(xí)而言，這里的數(shù)與形多指具有一定難度的空間形式與數(shù)量關(guān)系. 又有人說，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)科學(xué)，其是自然科學(xué)及技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，在社會發(fā)展的各個領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用. 筆者從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際出發(fā)，結(jié)合他人的一些研究成果，就高中數(shù)學(xué)作出這樣的理解：高中數(shù)學(xué)首先是一門科學(xué). 這與傳統(tǒng)的認(rèn)識有所不同，學(xué)生提到科學(xué)，往往想到的是自然科學(xué)，而事實上，高中數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要階段，其在傳播科學(xué)精神方面有著重要作用，數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的工具也在其他學(xué)科中有著廣泛的運(yùn)用. 高中數(shù)學(xué)其次是一門哲學(xué). 將高中數(shù)學(xué)視作哲學(xué)是一個挑戰(zhàn)，同時也是適切高中學(xué)生思考需要的，如上所說，高中學(xué)生喜歡深刻思考，而哲學(xué)恰恰能夠給學(xué)生的思維帶來這一挑戰(zhàn)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識去向?qū)W生提供一些數(shù)學(xué)發(fā)展史，可以給學(xué)生帶來一些基本的數(shù)學(xué)思考. 高中數(shù)學(xué)還是藝術(shù). 高中數(shù)學(xué)的高度抽象性以及高度抽象之后的簡潔性，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)通過數(shù)與形將復(fù)雜具體的事物作了高度抽象，且抽象的結(jié)果能夠體現(xiàn)出形的簡潔與量（尤其是等量關(guān)系）的美.

基于對什么是高中數(shù)學(xué)的思考，再來看高中數(shù)學(xué)的實質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)問題的回答變得相對簡單：高中數(shù)學(xué)的價值就在于引導(dǎo)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，形成用數(shù)學(xué)目光看待事物的能力與習(xí)慣. 這里的數(shù)學(xué)目光是指數(shù)學(xué)方法（形成于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題過程當(dāng)中）、數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)精神. 而這與課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“在發(fā)展和完善人的教育中，在形成人們認(rèn)識世界的態(tài)度和思想方法方面，在失去社會進(jìn)步和發(fā)展進(jìn)程中起著重要作用”是一致的.

然后再來看高中數(shù)學(xué)的特征，就會發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，具有這樣的一些特征：其一，基礎(chǔ)性. 盡管高中數(shù)學(xué)難度更高，但仍然屬于基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)的一部分，只不過這種基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)是學(xué)生接受更高層次數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ). 其二，抽象性. 高中數(shù)學(xué)的抽象性是不言而喻的，無論是函數(shù)還是概率，基本上都是在與抽象的對象打交道. 其三，前瞻性. 當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容是以新的課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)的，能夠更好地帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的概率、矩陣、微積分等，這種知識更新的背后實際上是數(shù)學(xué)思維的更新，可以讓學(xué)生帶著這些知識背后的數(shù)學(xué)思維更好地與社會需要進(jìn)行銜接. 其四，可選性. 高中數(shù)學(xué)既有必修模塊，又有選修模塊，這為不同學(xué)生基于不同的需要提供了多種選擇的可能.

[?] 高中數(shù)學(xué)的基本特征及其例析

考慮到高中數(shù)學(xué)及其價值都是在教學(xué)過程中體現(xiàn)出來的，考慮到更具操作性的是在實際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識高中數(shù)學(xué)的特征，因此這里想重點就高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，對高中數(shù)學(xué)的特征做一些解讀.

對于基礎(chǔ)性，可以以“算法初步”這一內(nèi)容為例進(jìn)行分析. 這是之前不曾有過的內(nèi)容，但又是數(shù)學(xué)甚至是生活中的一種基本的行為，比如教材中所舉的猜商品價格的例子，又比如說生活中買賣商品時討價還價的例子，都與算法有關(guān).而對于算法的定義“一般而言，對一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法”則需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)性理解，尤其是對于“求解方法”這一概念而言，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到對于任何一個數(shù)學(xué)問題，求解方法都是必要的，而機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法聽起來不上檔次，實際上卻是絕大多數(shù)人遇到問題時的正常思維.教學(xué)中，必須引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這種基礎(chǔ)性.

對于抽象性. 抽象性是數(shù)學(xué)最為本質(zhì)的特征，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最需要引導(dǎo)學(xué)生體驗的特征，筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的第一課開始，就引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注數(shù)學(xué)的抽象性. 比如“集合”的教學(xué)，生活中類似于教材所舉的“我家有爸爸、媽媽和我；我來自第三十八中學(xué)；我現(xiàn)在的班級是高一（1）班，全班共有學(xué)生45人，其中男生23人，女生22人”等的例子，就是實際生活中事物的描述方式，而這種方式經(jīng)過抽象之后可以以“集合”來作為描述方式. 這里也需要認(rèn)真研究集合以及元素等基本概念的定義，比如“一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合”這一定義，筆者以為就不能過快地告訴學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)通過豐富的實例來進(jìn)行分析與抽象，也就是說在教材所提供的一個例子的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)當(dāng)更多地向?qū)W生提供一些例子，讓學(xué)生對著這些實例去分析，更主要的是抽象. 在得出集合的定義之后，還要引導(dǎo)學(xué)生回過頭來看看這一定義的概括性，因為概括是抽象的必然結(jié)果，當(dāng)將實際事物抽象成元素時，將實際事物的群體抽象成集合時，學(xué)生就會認(rèn)識到抽象對于建立數(shù)學(xué)模型來說是必不可少的一個步驟.

對于前瞻性，實際上在基礎(chǔ)性所舉的“算法初步”例子中已經(jīng)有所體現(xiàn)，為什么要將這一內(nèi)容納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，就是因為其實際上是現(xiàn)代信息社會的一種需要，沒有基本的算法及邏輯知識，那基本上是無法有效融入這一信息社會的. 因此，類似于此的內(nèi)容納入教材，就是前瞻于學(xué)生的未來的.

對于可選性. 這主要是相對于選修模塊而言的，選修模塊中的內(nèi)容數(shù)學(xué)性更強(qiáng)，對于理科的學(xué)生來說是思維拓展的需要. 以選修2-1中“圓錐曲線與方程”這一內(nèi)容而言，教師不能完全以傳統(tǒng)的思路來看待，而應(yīng)當(dāng)看到“圓錐曲線”是一個概括性的概念，對于具有一定數(shù)學(xué)天賦或者對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生而言，是一個借助于數(shù)學(xué)認(rèn)識事物的機(jī)會，選橢圓、雙曲線、拋物線而修之，并概括以圓錐曲線的統(tǒng)一定義，尋找到曲線以及描述它們的方程，是一個純粹的數(shù)學(xué)探究的過程，在其中可以享受到數(shù)學(xué)探究的興趣. 這對于選而修之的學(xué)生而言，原本就是慎重選擇的結(jié)果.

[?] 基于數(shù)學(xué)特征的高中數(shù)學(xué)教學(xué)

關(guān)注了高中數(shù)學(xué)及其價值，尤其是研究了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、抽象性、前瞻性以及可選性之后，再來看待基于數(shù)學(xué)特征去實施教學(xué)，會發(fā)現(xiàn)其對傳統(tǒng)的教學(xué)思路與方式有著重要的補(bǔ)充意義.

首先，高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須走出純粹的應(yīng)試道路，必須關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會獲得一些什么. 而基于數(shù)學(xué)特征的教學(xué)恰恰是可以彌補(bǔ)這一不足的，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)的目光從機(jī)械的解題遷移到從數(shù)學(xué)特征的角度去研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以讓研究性學(xué)習(xí)真正成為常態(tài)，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的正確理解.

其次，數(shù)學(xué)特征給學(xué)生提供了另一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度，讓學(xué)生認(rèn)識到可以從尋求特征的角度去看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而這實際上又是引導(dǎo)學(xué)生從超越解題的高度去理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來說有積極意義.

最后，數(shù)學(xué)特征本身就是概括的產(chǎn)物，而概括又是數(shù)學(xué)思維的重要體現(xiàn)形式，學(xué)會從數(shù)學(xué)特征的角度去認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其實更貼近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實質(zhì). 只是考慮到高中數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊性，數(shù)學(xué)特征是以顯性還是以隱性的形式出現(xiàn)在教學(xué)過程當(dāng)中，這倒是需要認(rèn)真考慮的問題. 筆者以為這需要結(jié)合學(xué)生的實際情況來判斷，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好或者理科的學(xué)生來說，將數(shù)學(xué)特征顯性化，可能更有助于學(xué)生站在更高的高度來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).