淺談類比思維在高中數學教學中的運用

摘 要：類比思維，在高中數學教學中具有廣泛的應用，本文通過實際的教學案例分析，從類比思維在概念、性質教學中的應用，類比思維在公式教學中的應用，類比思維在解題思路選擇中的應用，類比思維在教學中應用的注意點出發，探討了類比思維教學.

關鍵詞：類比思維；高中數學；教學

類比思維是指從兩個事物的相似點出發進行比較、分析、解釋的一種創造性思維，其在高中數學教學中具有廣泛的應用. 一方面是以聯想為基本手段的類比思維法，以探尋已知事物和未知事物的聯系點為目標，其不僅能夠充分發揮學生的想象能力和創造能力，還能夠提高學生觸類旁通的能力；另一方面是異中求同或同中求異的類比推理方法，它既能夠幫助學生突破常規，改變習慣看法，又能夠拓展、升華他們的思維.從這一意義上來說，類比思維在數學教學中具有很大的可行性和應用價值.

[?] 類比思維在概念、性質教學中的應用

“數學的學習過程就是不斷建立各種數學概念的過程”，概念與性質是數學邏輯體系的重要組成部分，在數學教學中占有舉足輕重的地位. 概念、性質是對某一類問題、現象進行抽象、概括而形成的數學知識點，具有簡明、高度濃縮、深刻揭露事物本質等特點. 由于其復雜的思維活動過程以及高層次的抽象特點，學生很難準確理解和把握其具體內涵與要義. 類比思維法重在引入學生已知的數學概念和數學性質，再現其抽象過程和實例訓練，通過比較、分析新舊知識點的異同點，來依樣畫葫蘆地揭示新概念的內涵和外延.

學習《等比數列》一課時，在教學中，鑒于等差數列與等比數列兩者存在著一定的相似點，教師可以由等差數列的定義、性質入手，引導學生以類比思維方法來摸索等比數列的定義和性質. 在“等差數列”的學習中，學生已知“如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列”，教師可以給出一組等比數列，如2，4，8，16，32，…；10，100，1000， 10000，…，要求學生發揮主動性，類比等差數列的定義，嘗試探索等比數列的定義. 通過類比，學生不難得出：如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比（商）等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列. 以此為依托，教師可以趁熱打鐵，要求學生驗證自己的結論是否正確. 為了強化學生對定義的理解，教師還可以趁機提問：那么1，1，1，1，…是否是等比數列呢？什么情況下，一個數列既是等比數列又是等差數列呢？當然，通過對比等差數列的性質，學生只要稍動一下腦筋，等比數列的性質也能夠輕松搞定. 由“若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，其中m，n，p，q都不等于0”，學生可以得到這樣的思路：“若m+n=p+q，則am·an=ap·aq，其中m，n，p，q都不等于0”. 即使假設的過程中可能存在著失誤，但只要將具體數字進行帶入，學生馬上就能走上正軌. 由等差數列性質類比等比數列性質的例子還有若干，這里就不再一一贅述，但總的來看，兩者在性質的表述的格式與內容上都極其相近.

我們不難發現，從對一件事物理解，到另外一種事物的類比分析過程中，類比的思維方法不僅由淺入深地簡化了學生理解問題的復雜過程，而且為我們解決問題提供了思路，這在一定程度上降低了教師在數學概念、性質方面的教學和學生理解抽象理論知識的難度.

[?] 類比思維在公式教學中的應用

數學是由數字、符號構成的一門學科，公式教學也是高中數學教學中的重中之重. 相較于概念、性質教學，公式教學難度更大，一方面是因為公式同樣具有高度的抽象性和概括性等特點，學生的認知需要一個再次解構的過程；另一方面是由于數字、符號直接代替了文字語言，學生在理解過程中必須放棄自己所熟悉的文字表述形式，進入數字、符號的語境中. 類比思維法通過尋找新、舊知識點的連接點，類比公式推導過程中的思路、方法，以加深學生對公式的理解.

鑒于等差數列與等比數列的可比性價值，筆者仍以《等比數列》一課為例，教師可通過類比等差數列的通項公式、求和公式來促使學生主動探尋等比數列的通項公式以及求和公式. 在等差數列的學習過程中，學生已經掌握等差數列的通項公式，即an=a1+（n-1）d，教師可以鼓勵學生類比等差數列的通項公式，大膽推測等比數列的通項公式. 在等差數列中，有常數d（每一項與它前一項的差），在等比數列中，有常數q（每一項與它前一項的比），由于項數與項數之間是倍數的關系，因此可以類比得到通項公式：an=a1·qn-1.

當然，在實際的教學過程中，由于學生能力水平具有層次性特點，有些學生類比所得到的公式不一定準確，如在等比數列通項公式的推測過程中，不少學生類比得到通項公式：an=an·q（n-1）.教師可以讓學生將具體的數字帶入進 行驗證，看類比結果是否正確，如果錯誤，能否進行改正. 同樣在等比數列求和公式的教學過程中，教師也可以采用類比思維，倡導學生由此及彼地推測等比數列的求和公式，并要求學生類比等差數列求和公式的推導過程來推導等比數列的求和公式，看所推導出來的公式是否與自己所猜測的結果相同.

當然，除了由等差數列公式類比等比數列公式之外，橢圓公式也可類比圓的公式、空間兩點間的距離公式也可類比平面中的兩點間的距離公式. 在對比、推測的過程中，學生不僅可以捋清相似知識點的內在聯系，還可以在類比構建具體數學模型的過程中強化對公式的理解，進而優化認知結構.

[?] 類比思維在解題思路選擇中的應用

類比法在解題中具有非常廣泛的應用，我們可以簡單地將其理解為知識的遷移、解題思路和技巧的遷移. 在短短的45分鐘課堂時間內，教師傳授的知識、講解的例題是有限的，但有限中卻網羅了大部分的知識點與主要的解題思路. 所謂“萬變不離其宗”，這就需要學生發揮主觀能動性和創造性，把握課堂精髓，在實際“演練”中能夠以一雙火眼金睛識破習題的外在“偽裝”，抓住習題與例題中的聯系，通過類比例題解題過程獲得啟發和思考，從而將習題“一舉拿下”.

如在以下習題中：若數列

n（n+4）

中最大的項是第k項，則k=_____. 不少學生面對陌生的題目無從下手，只能干瞪眼. 而實際上，這道習題可以轉化為求數列單調性的題目，題干信息“最大的項”已經明顯地暗示了該數列存在著最大值，問題也就直接轉化為當n（k）=________時，數列

n（n+4）

取到最大值，這與平時所做的最簡單的二次函數題“當x=________時，y=-x2+1取到最大值”有著異曲同工之妙. 通過類比二次函數求極值的解題思路，學生首先要確定數列的單調性，根據遞增數列、遞減數列的判別方法，得到函數f（n）=（n+1）（n+5）

-n（n+4）

，進而得到：當0（n∈N*）時，數列單調遞減. 由于n為正整數，所以得進一步比較n=3和n=4時，數列取值的大小. 由于a4>a3，所以當n=4時，數列取到最大值. 像這樣通過類比相似題目獲得解題思路的例子不在少數，縱然數學題目千變萬化，但只要勇于剝去外在的“包裝”，就能夠識得其本質，解題自然也不在話下.

所謂“授人以魚，不如授人以漁”，教師在例題的講解中，要注意引導學生關注我們做過的題與題之間的內在聯系，抓住題目的共同知識點，并以此為切入點，探尋不同題目之間可類比之處. 類比思維不僅能夠啟發學生的解題思路，還能夠使他們舉一反三地解決類似的數學問題，從而大大提高數學學習的效率.

[?] 類比思維在教學中應用的注意點

正如康德所說：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進.” 類比思維作為數學創造性思維中一種重要的思維方法，其不僅為學生搭建了溝通新、舊知識點的橋梁，而且不時拋出問題線索，使學生在聯想和假設之中逐步靠近真理. 但不得不強調的是，與演繹推理、歸納推理不同，類比的思維方法是從特殊到特殊的一種思維過程，所得到結論的準確性和可靠性相對較低.

如在等比數列求和公式類比等差數列求和公式中，學生由等差數列求和公式的推導過程可類比得到等比數列求和公式，即Sn=，但實際上結論并不完全正確. 這是因為等比數列與等差數列在某些性質上存在差異，等差數列當d=0時，數列幾項之和滿足于求和公式，但等比數列當q=1時，數列幾項之和卻不滿足于一般的求和公式，所以這一種特殊情況需要另外考慮.

除此之外，有一些數學知識點、數學問題之間并沒有可類比的價值，類比的結果也沒有參考性. 因此，教師需要注意的是，類比思維并非證明方法，只能作為提出假設、猜想的一種數學發現方法. 另外，類比思維并不是萬能的，其往往建立在多種條件之上，如不同事物之間存有共同點或不同點、適當聯想的空間等等，只有在滿足以上條件時，類比思維才能夠真正發生效用. 最后，類比思維常常與歸納、演繹等思維方法共同出現，只有綜合運用分析、聯想、猜測等創造性思維才能夠提高推理的準確性.

[?] 結束語

如何正確處理新、舊知識點的銜接問題，如何提高概念、性質以及公式教學的效率歷來是數學教師最為頭疼的難題之一，類比思維法通過類比已有事物開啟創造未知事物的思維思路，不僅能使學生溫故知新，而且還能夠促使其舉一反三地從舊知識點中獲得啟發，理解、掌握新知. 總之，教師在新課的教學中，要充分發揮類比思維法在強化學生抽象概念理解能力、培養他們創造性思維的作用，經常性地引導學生回憶舊知，于舊知中尋找“蛛絲馬跡”，進而通過比較、假設等多種手段來達到深化知識點的目的；經常性地總結例題中的解題思路與解題技巧，使學生在類比中提高知識的遷移能力和運用能力.