舉一反三 觸類旁通

【摘 要】解析幾何離不開幾何本身的一般規律，只要我們細心觀察，不斷總結，找到探究性、開放性問題的幾何背景，結合從特殊到一般的解題思想方法，就能使同一類問題得以順利解決，真正達到舉一反三、觸類旁通的效果。

【關鍵詞】解析幾何 舉一反三 觸類旁通

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）04-0149-01

復習時要注意不能簡單地反復練習，而應多從例題解法的探索、思路的總結、規律的應用等方面入手，從例題的典型性中體會到數學思想、數學方法，從而達到知識的系統化、網絡化，并通過模擬習題學會舉一反三、觸類旁通，做到以例題輻射整體，實現由課本內到課本外的突破。

2014年福建省高考（理科）數

學題：已知雙曲線E：

（a>0，b>0）的兩條漸近線分別

為l1：y=2x，l2：y=-2x。（1）求

雙曲線E的離心率；（2）如圖1，O

為坐標原點，動直線l分別交直線

l1、l2于A、B兩點（A、B分別在

第一、第四象限），且△OAB的面

積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由。

一 說立意背景

過雙曲線的一條漸近線上任一點A引與A同側該雙曲線切線交另一支漸近線于點B，則△OAB的面積恒為定值。

本題“以動直線l分別交直線l1、l2于A、B兩點，且△OAB的面積恒為定值，探究是否存在雙曲線E？”該問題是背景的逆向思考，由此可以預測雙曲線E是必存在的。考生在探究曲線的存在性的同時，不僅要求熟練地運用代數方法研究雙曲線的幾何性質，還要求利用特殊與一般的解題思想進行預設方程，在考查運算能力的同時，突出考查了學生的探究能力，對其轉化與化歸能力也提出了更高的要求，試題充分彰顯了新課程的新理念。

二 說解答

（1）略。（2）由（1）知，設方程為 ，設

直線l與x軸相交于點C，當l⊥x軸時，若直線l與E有且只

有一個公共點，則|OC|=a，|AB|=4a，所以 |OC|·|AB|=8，

因此 a·4a=8，解得a=2，所以方程為 。

當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，依題意得k>2或k<-2。

則C（ ，0），記A（x1，y1），B（x2，y2），由S△OAB=

|OC|·|y1-y2|得： ，則△=4k2m2+

4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-16-m2）=0。即直線l

與E有且只有一個公共點。因此，存在雙曲線 。

三 說思維

教學中注意充分挖掘題目中隱含的幾何關系，理解出題者出題意圖及幾何背景，引導學生通過考查極端位置，探索出“定的”是多少，然后再進行一般性證明或計算。相同的考題在2012年全國數學福建理工卷也出現。

如圖2，橢圓E：

（a>b>0）的左焦點為F1，右

焦點為F2，離心率e= 。過F1

的直線交橢圓于A、B兩點，且

△ABF2的周長為8。（1）求橢圓

E的方程；（2）設動直線l：y=

kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q。試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。

背景1：已知橢圓的一個焦點F及相應準線l，若點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，過點F作PF的垂線交直線l于點Q，則直線PQ與橢圓相切，且P為切點。

背景2：已知橢圓的一個焦點F及相應準線l，過準線l上任意一點Q，作橢圓的兩條切線PQ、RQ，切點分別為P、R，則直線PR過橢圓的焦點F。

該問題是背景1的逆向思考，可以預見定點就是橢圓的右焦點M（1，0）。試題沒有直接要求考生證明PM⊥MQ，而以開放題型出現，要求考生探究定點的存在性，本例題與今年解析幾何試題有異曲同工之妙。

總之，解析幾何離不開幾何本身的一般規律，只要我們細心觀察，不斷總結，找到探究性、開放性問題的幾何背景，結合從特殊到一般的解題思想方法，就能使同一類問題得以順利解決，真正達到舉一反三、觸類旁通的效果。

參考文獻

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〔責任編輯：林勁〕