構造函數法求解不等式問題

摘 要：不等式求解及證明問題日益收到命題者的青睞，借用不等式來考核函數的應用已成為熱點，對學生來說，通過構建函數來解決不等式的問題也成為公認可行的方法。以構造函數法求解不等式的問題展開相應論述。

關鍵詞：構造函數;不等式;高中數學

從教學、解題經驗中，我們不難發現在求解函數不等式問題中，若直接構造函數可能會使解題陷入困境。構建函數是解決不等式問題的有效方法，如何在解題過程中構建函數顯得十分重要。

一、通過移項構建函數

將不等式的一邊進行移項，使不等式的一邊為零，然后構造函數，將不等式問題轉化成探究函數與x軸之間的位置關系問題，這是構建函數解決不等式問題中最為簡便的方法，也是應用最多的方法。比如，證明當x>1時，lnx+x-1<2x-2恒成立這個問題，首先將不等式進行移項處理，變不等式為lnx-x+1<0，構建函數f（x）=lnx-x+1，當x>1時，f'（x）=1/x-1<0，則有f（x）在（1，+∞）遞減，故f（x）1時，lnx-x+1<0恒成立，那么lnx+x-1<2x-2恒成立也就得證。

二、通過不等式兩邊去對數的形式構建函數

對于一些包含指數型參數的不等式，通過簡單移項構造函數是很難解決問題的，這時就需要使用取對數的方法把不等式轉化成普通不等式，再進行函數構造。

三、巧妙調整不等式結構

有的不等式中會出現兩個“x”，這樣的不等式就要巧妙地調整結構，將x1和x2調整到不等式的兩邊，例如，已知函數f（x）=（a+ 1）lnx+ax2+1，證明：當a≤-2時，對任意x1，x2∈（0，+∞），不等式 |f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2）恒成立。假設x1≥x2>0，因為a≤-2，又f（x）在（0，+∞）上遞減，所以|f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2）可以變為f（x2）+4 x2≥f（x1）+4x1，其中x1，x1∈（0，+∞），這樣便可以構建函數g（x）=f（x）+4x，轉化成求g（x）單調性問題。

參考文獻：

華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.