常用幾何證明方法

幾何證明因題型多，變化大，所以證明方法也多，但歸納起來，常用的方法不外乎如下幾種：

一、直接證明法

從題目的“已知”條件出發，直接證明“結果”為真的方法，叫做直接證題法，此證題方法可分為兩種：

1、重疊證法

將一個圖形與另一個圖形重合，然后比較有關部分，證明某結論成立，這適合原始定理的初步證明，平常用以證明基礎命題。

2、綜合證法

由“已知”出發，引用定理、公理或要做的輔助錢，通過邏輯推理，導出“終結”的方法，叫做綜合法，這是證題中應用最多的一種方法，例如：

已知三角形ABC中，D、E為AB、AC中點 求證：DE=1/2BC.

證明：過C作AB的平行線與DE的延長線相交于F，則角∠1=∠A（內錯角）∠AED=∠CEF（對頂角）AE=CE（已知）△ADE≌△CEF（角、邊、角）則CFAD，即：CFBD，∴BCFD為（一級對邊平行且相等）故DFBC（平行四邊形對邊相等）DE=EF1/2BC

二、間接證明法

1、歸謬法，又叫反證法

這種方法多用于證明逆定理，它的證明步驟如下：a.否認結論 ；b.根據推導得一相當結果；c.指明這一結果不成立；d.從而判斷結果為真.

例如：在△ABC中，由B、C向對邊作BD、CE、任意兩線段，求證：BD、CE不能互相平分？

證明：如果BD、CE互相平分，并設它們相互平分于O，則四邊形BCDE必將為平行四邊形，這樣則有BE//CD，而BE與CD相交于A，與這一結論矛盾，所以BD與CD不能互相平分。

2、同一法

這種方法多在某一單元初學定理時采用較多，它的證明步驟為：a.先另作一圖，使它含有某種性質b.證明所作的圖與欲證有圖相合c.判定終結為真 例：已知：E是正方形ABCD內部一點，∠ECD=∠EDC=15°，求證△ABE是正三角形。

證明：向正方形ABCD內作正△ABF，連結CF、DF，則AB=BF=BC，即BCF為等腰三角形，其頂角為∠CBF=90°-60°=30° 底角∠BCF= 90°-15°=75°，于是∠DCF=90°-75°=15° 同理可證∠CDF=15°，由此可見F與E是同一點，那么△ABE自然是正三角形。

3、窮舉法

這也是反證法的一種，有些題目用綜合法很麻煩或難以證明，采用這種證明法。a.否認結論；b.分別導出結論，指出每一結果都錯；c.從而判斷結論是真.

從步驟看，它與歸謬法相似，所不同的題目的結論有兩種可能存在的情況，二者必居其一，則用歸謬法，題目的結論有三種可能存在情況，三者必居其一，則用窮舉法。

三、分析法

有些復雜的題目，要經過分析，把它“化整為零”，變成幾個小題目逐個解決后，再“合零為整”把大題解決，分析時一般是從“結論”逆推到“已知”，思路通了，再用綜合法論證，因此分析法得解題過程，一般不寫出來。

例如：已知△ABC中，G與H三等分AC，E、F各為AB和BC的中點，連結EG合FH，并延長相交于D，求證：四邊形ABCD為平行四邊形.

分析：（1）如果四邊形ABCD是平行四邊形，則有對角線AC、BD互相平分于O，即 AO=cO（一），BO=DO（二）（2）如果 AG=CH，則由 AO - AG=CO - CH，可得GO=HO（三）（3）由（二）和（三）可知：BD與CH互相平分于O，可得四邊形BHDG為平行四邊形（4）于是GD//BH，即EG//BH，如果E是AB中點，必有AG=GH，同理，CH=GH=AG，這與已知相符。

證明：連結BG、BH、BD，由題設知E、G各為AB、AH中點，在△ABH中，則EG//BH，即CD//BH，同理，BG//DH，BHDG為平行四邊形（兩對邊分別平行）于是GO=HO（一），BO=DO，又AG=CH（題設）（二）由（一）式加（二）式和AO=CO

ABCD是平行四邊形（對角線互相平分）在正式證題時只寫證題部分，分析部分可略去不寫，利用分析法證題時，最重要的一條是作補助線，作補助線時應注意：（1）使“求證”與“已知”發生關系，為推理創造條件。（2）使已知條件聚在一起，以便適合某些定理。（3）補助線種類，將已知一直線延長，作已知線平行線或垂直線作分角線，取定長等。