解析幾何中向量的應用探析

何日平

【摘 要】向量可使解析結合的運算步驟變得更為簡單清晰，是數學幾何中較為常用的一種工具。通過幾個常見例子分析向量在解析幾何中的應用及優勢，應在教學中推廣應用。

【關鍵詞】解析幾何；向量；坐標法

解析幾何，也叫坐標幾何，是一門幾何學分支，實現了代數和幾何的統一，利用數形結合的方式解決問題。解析幾何將變量引入數學，推動了數學的發展。而向量既有方向，又有大小，為實現數形結合搭建了橋梁，是解析幾何的重要工具，在其中發揮著關鍵性作用。如利用向量方向可求角，利用向量大小可求距離。所以，有必要將向量用于解析幾何中，更加方便地解決實際問題。

1利用向量證明結論

例1：將三角形任意兩邊的中點相連接，得到的線段即為三角形的中位線。試證明：中位線與另一邊相平行，且長度為其1/2 。

分析：若采用一般的方法，可利用相似三角形證明，或將中位線延長構建平行四邊形加以證明。這兩種方法的步驟都比較麻煩，需要先后證明兩個結論。若利用向量法，可同時表示長度和方向，使得證明過程更加簡單。

證明：假設有ΔABC，邊AB的中點為P，邊AC的中點為Q，則===

∴與相平行，且=

可見，向量既有長度又有方向，在解決實際問題時，能夠使解題步驟更簡單，同時證明方向和長度，較其他方法要簡單些。

2坐標法

例2：已知平面上有一直線L：X=8，另有一定點C（2，0）和一動點M，做線段MN和直線L垂直，垂足為N，滿足（）·（）=0。則：①求動點M移動的運動軌跡以及相應的方程；②若有一圓O：x2+（y-1）2 =1，且EF是該圓的任意一條直徑，試求·的最值。

分析：對于第①問，可采用坐標法，設定M的坐標后，對題中向量的關系進行變化，并代入向量坐標，進而求得軌跡方程；對于第②問，可先根據圓的性質對題目中的向量數量積進行化簡，然后求出M到定點O的距離的最值，進而將點坐標代入，求得最值。

解：①假設M的坐標為（x，y），則N點坐標為（8，y）

對題中已知條件變形簡化后可得：- = 0

將坐標代入求得：

（x-2）2 + y2 - （x-8）2 = 0

即+= 1 ，

∴ 動點M的軌跡為一橢圓，方程為+= 1

②∵=- ， =- ，且 =-

∴ · = （--）·（- ）

= 2 - 1

已知M的軌跡是一橢圓，假設M（x0，y0），代入橢圓方程得：+= 1，化簡后得：x02 = 16-，而0點坐標為（0，1），代入后可得：

2 = x02 +（y0 -1）2 =-y02 -2y0 + 17 = ﹣（y02 + 3）2 + 20

∵ y0 ∈ [-2，2]

∴ 當 y0 = -3時，2可取得最大值為20，則·的最大值為19.

當 y0 = 2時，2 可取得最小值為13-4，則·的最小值為12-4。

向量是平面解析幾何中的重要因素，兩者交匯出現的頻率很高。如例2的題目在解析幾何中十分常見，往往會涉及向量數量的簡化、求解等運算，包括移動軌跡，或直線與圓的最值等問題。學生在學習中常會感覺到困難，為此應仔細分析向量和題目給出的條件。如采用坐標法，從向量的坐標運算著手，進一步求得最終結果。

3單位向量的作用

例3 ：有正方形ABCD，其中點A坐標為（0，0），點B坐標為（-4，3），試求另外兩點C、D的坐標。

分析：該題同樣有多種解法，數形結合容易理解，也很簡便。向量的運用可使解題步驟更為簡化清晰，故在此運用單位向量解題。

解：由題中條件可求得=（-4，3），假設有單位向量e與其同向共線，且e = （-，），另有單位向量e1、e2與e垂直，且e1=（3/5 ，4/5），e2 =（- ，-）。可知與e1或e2同向，且向良模為5，可求得=（3 ，4），或 =（-3 ，-4）。

當點D的坐標為（3 ，4）時，AC與BD相互平分，可求得點C的坐標為（-1 ，7）；

當點D的坐標為（-3 ，-4）時，按上述算法同樣可求得點C的坐標為（-7 ，-1）。

空間中的角或距離可引用向量快速地求解，解析幾何同樣可以利用平面向量進行求解。包括求某點坐標、求某角大小、求線段長度，或確定直線方向、處理垂直和平行關系，以及定比分點等問題，均可運用平面向量加以解決。較其他方法而言，平面向量更具優勢。

4結束語

解析幾何可分為平面和立體兩大模塊，在數學幾何學中的占據著重要地位，因較為抽象，學習起來有一定的難度。向量是用來解決幾何難題的有效途徑，它是一種既有方向又有大小的量，將其應用到解析幾何中，省去了繁瑣的運算，使得解題步驟更加簡便。不管是平面方程，還是空間方程，都需要運用向量計算夾角、方向、大小等。所以向量值得在幾何中推廣應用。

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