基于Newmark-β法的魚雷推進軸系動力響應分析

趙 琪，尹韶平，王 中，郭 君

(1．中國船舶重工集團公司第705所,西安 710075；2.水下信息與控制重點實驗室，西安 710075)

基于Newmark-β法的魚雷推進軸系動力響應分析

趙 琪1，2，尹韶平1，2，王 中1，2，郭 君1

(1．中國船舶重工集團公司第705所,西安 710075；2.水下信息與控制重點實驗室，西安 710075)

針對軸系在不同激勵條件下的動力響應問題，基于Newmark-β法，運用MATLAB軟件編程，實現對魚雷推進軸系的動力響應分析，通過與ANSYS軟件計算結果的對比，驗證所建模型和MATLAB計算程序的合理性；同時得出推進軸系的動力響應與激勵條件的線性變化關系。

魚雷推進軸系;動力響應;Newmark-β法

當軸系受到動載荷的作用時會產生振動，引起軸系局部疲勞，甚至使軸系破壞，因此必須進行動力分析。應用有限元理論對軸系進行動力分析，一般分為振動特性分析和動力響應分析兩種。軸系的振動特性反映軸系的固有特性，是研究動力問題的基礎，一般包括頻率和振型的計算。動力響應分析是指軸系在外力作用下的強迫振動，主要求解軸系的位移、速度、加速度等物理量隨時間的變化情況[1]。

文獻[2]應用MATLAB軟件建立了魚雷推進軸系的理論模型，對模型進行了振動特性分析，并通過與ANSYS軟件計算結果的對比，驗證了所建模型的合理性。在此基礎上文中采用Newmark-β法對魚雷推進軸系進行動力響應分析，一方面通過與ANSYS計算結果進行對比，對模型進一步驗證；另一方通過分析魚雷推進軸系的動力響應與輸入參數的變化關系，對軸系設計提出要求。

1 魚雷推進軸系理論模型

魚雷推進軸系結構見圖1。

圖1 魚雷推進軸系結構

動力裝置與花鍵軸之間、花鍵軸與尾軸之間通過花鍵相連，推進器轉子安裝在尾軸上。花鍵軸及尾軸主要用于將動力裝置的輸出功率傳遞給推進器，而推進器工作時產生的推力通過推力軸承傳遞至雷尾殼體，推動魚雷航行。在花鍵軸與尾軸相連的一端設有彈性花鍵套，將剛性連接轉換為柔性連接。尾軸的支撐是靠隔板的滾珠軸承和尾蓋處的滑動軸承，在滾珠軸承及滑動軸承外側都安裝了金屬橡膠隔振器。

按照轉子動力學分析的有限元方法，建立魚雷推進軸系的理論模型，見圖2。

圖2 魚雷推進軸系理論模型

將魚雷推進軸(花鍵軸和尾軸)的質量、轉動慣量離散化到結點上；聯軸器利用等效軸段法進行處理；用剛度阻尼系數矩陣模擬軸承與隔振系統；軸系支撐結構通過等效剛度與等效質量單元代替。從左至右共劃分22個結點，取軸段變截面處及支撐點位置。結點1為花鍵軸前端；結點8、9、10為彈性花鍵套簡化位置；結點11、19為尾軸支撐位置。

基于此模型，建立系統運動微分方程[3]。

(1)

式中：M、G、K分別為系統整體質量矩陣、回轉矩陣和剛度矩陣，由組成系統的各單元矩陣按照對應結點疊加而成[4]；Q為干擾力即激振力向量；U為結點位移列陣。

其中：回轉矩陣G為轉速Ω與整體極轉動慣量矩陣J的乘積，即G=ΩJ。

整體質量矩陣、回轉矩陣和剛度矩陣，在不同的振動形式下會有所不同[5-6]。文獻[2]按照軸系在縱向、扭轉、彎曲耦合振動狀態(即單元結點為六自由度)下，確定了各自的矩陣形式。文中將利用所建模型，基于Newmark-β法對系統進行動力響應分析，即研究魚雷推進軸系軸系在不同激振情況下的振動特性。

2 Newmark-β法

2.1 Newmark-β算法機理

求解結構動力響應問題，常用的方法有振型疊加法和逐步積分法。振型疊加法是利用結構自由振動振型互相正交的特性，將結構動力學方程化成各廣義坐標的非耦合方程，然后進行求解[7]。振型疊加法適用于像地震等只激發起較少振型，所需計算的響應歷程較長這類問題。逐步積分法包括傳統的中心差分方法、Wilson-θ法、Newmark-β法等。逐步積分法對于線性系統和非線性系統都適用，而且在MATLAB程序上更容易實現，所以文中采用Newmark-β逐步積分法計算結構的動力響應。

(2)

Newmark-β法假設t+Δt時刻的速度和位移存在如下關系式：

(3)

(4)

式中:0≤γ≤10≤2β≤1。

參數γ和β的選擇對算法影響很大。算法穩定性分析指出，當γ≥0.5，β≥(1/2+γ)2/4時,Newmark-β法無條件穩定，這時可以只根據精度的要求選擇時間步長Δt。

利用Newmark-β法進行計算，即可得到單元結點的動力響應，包括位移、速度和加速度值。

2.2 時間步長的選擇

時間步長Δt的選擇體現了算法的精度要求[8]。Δt應能夠根據所輸入的狀態自動進行調整。假設激勵頻率為f(Hz)，則時間步長可設置為Δt=1/nf(n=1,2,…) ，總時間可設置為tend=m/f(m=1,2,…)。其中：n值的意義是在每個周期內選取進行模擬的點數，即n值越大，計算精度越高，但同時計算量也會增大，延長計算時間，所以要根據實際需要進行選取。

這種簡便的動態時間步長，可根據所輸入的狀態自動進行調整，在編程和計算中更加簡便和靈活。

3 軸系的動力響應分析

結合魚雷推進軸系的實際運轉情況，具體分析其在3種不同激勵下的位移響應。

1)軸系動平衡狀態。模擬軸系由于加工等原因造成的質量分布不均而產生的激勵力。

2)花鍵聯軸器不對中狀態。將花鍵軸簡化為動力裝置與尾軸之間的聯軸器。由于制造精度或安裝誤差等原因，使得花鍵軸與尾軸軸線不重合，產生不對中嚙合力，對軸系振動特性產生影響。

3)強迫位移響應。模擬動力裝置的跳動量對推進軸系的激勵。

3.1 動平衡響應分析

魚雷花鍵軸和尾軸由于原材料質量分布不均或加工精度等原因，會產生一定的偏心，這對推進軸系的振動特性會產生較大影響。這種動平衡狀態在理論模型中可用結點處圓盤的偏心質量來表示，見圖3。圓盤的重心c與轉軸的中心o′不重合。

圖3 圓盤的偏心

當圓盤以角速度ω轉動時，重心c的加速度在坐標軸上的投影為

(5)

式中：e——圓盤的偏心距，e=o′c。

在轉軸的彈性力F作用下，由質心運動定理，有

(6)

帶入式(5)得軸心o′的運動微分方程

(7)

這為由軸系偏心質量引起的強迫振動的微分方程。

假設偏心質量為m0，相位角φ0，則由于偏心質量即不平衡質量引起的激振力表達式為

(8)

將激勵力帶入系統運動方程，即可求解結點處位移響應。具體計算結果如下。

選取靠近花鍵軸中部(結點5)、靠近尾軸中部(結點14)在變轉速(0～500Hz)下的位移分析曲線。圖4a)為MATLAB計算結果，圖4b)為ANSYS計算結果。

圖4 動平衡響應

由圖4可見，MATLAB曲線峰值對應的頻率點較ANSYS偏大，但總體趨勢較為接近。

動平衡響應可控因素有不平衡質量和偏心距，下面分析位移響應與這兩種因素的變化關系。見圖5。

圖5 位移響應

由圖5a)可見，結點處位移響應隨不平衡質量的增大而線性增大。

由圖b)可見，結點處位移響應隨偏心距的增大而線性增大。

3.2 不對中響應分析

將花鍵軸簡化為動力裝置與尾軸之間的聯軸器，聯軸器的平行不對中見圖6。

圖6 花鍵聯軸器的平行不對中

圖7 不對中狀態的花鍵嚙合情況

由于花鍵的不對中，會使得各花鍵在轉動過程中產生變形，影響嚙合剛度。在聯軸器傳遞轉矩的過程中，由于扭轉以及兩個半聯軸器的動態振動位移，都會產生嚙合力，這都會對魚雷推進軸系的振動特性產生影響。

此時，聯軸器不對中嚙合力fx、fy為

(9)

Fx、Fy及φ的具體推導過程參考文獻[9]。

對于花鍵聯軸器，當聯軸器存在不對中時，軸套會產生偏心，在系統運行過程中，產生不平衡激勵，且該激勵的頻率為轉速頻率的2倍，軸套偏心激勵表達式如下。

(10)

式中：2m——花鍵軸的質量。

因此，花鍵聯軸器不對中狀態下的廣義力應包括不對中嚙合力和軸套的不平衡激勵力。

花鍵聯軸器不對中嚙合力與靜態不對中量和動態不對中量有關。假設無動態位移，則不對中嚙合力隨靜態位移的變化關系見圖8。

圖8 嚙合力隨靜態位移的變化

由圖8可見，嚙合力隨靜態位移的增大呈線性增加。

聯軸器動態不對中量可控制程度較小，所以可分析位移響應與靜態不對中量之間的變化關系，見圖9。

圖9 位移響應與靜態不對中量的變化關系

圖9中靜態不對中量e0在0～2.5 mm之間的變化。由圖9可見，不對中位移響應隨靜態位移的增大而線性增大。

3.3 強迫位移響應分析

與魚雷尾艙段相連的動力艙段中，對動力裝置采取了整機隔振的措施，使得動力裝置產生了較大的跳動量。這種跳動給推進軸系的振動特性帶來較大的影響，它的作用可以利用強迫位移模型進行分析。

假設強迫位移幅值為A，則在x、y方向位移可寫為

(11)

由位移表達式可得x、y方向上的加速度，所以由強迫位移引起的激勵力為

(12)

將激勵力帶入系統運動方程，即可求解結點處位移響應。具體計算結果如下。

選取靠近花鍵軸中部(結點5)、靠近尾軸中部(結點14)，在變轉速(0～500 Hz)下的位移分析曲線。MATLAB計算結果見圖10，ANSYS計算結果見圖11。

圖10 強迫位移響應MATLAB計算結果

圖11 強迫位移響應ANSYS計算結果

由圖10和圖11可見，兩者曲線較為接近，且峰值對應的頻率點也基本相同。

軸系位移響應隨動力裝置跳動量的變化情況見圖12。

圖12 位移響應與強迫位移的變化關系

由圖12可見，強迫位移幅值A在0～5 mm之間變化，結點處的位移響應與強迫位移的變化是線性變化的，并且，越靠近激勵點，其位移響應越大，且變化較為明顯。為了控制軸系的強迫位移響應，可對動力裝置的跳動量提出具體的要求。

4 結論

文中利用所建魚雷推進軸系理論模型，基于Newmark-β法對其進行動力響應分析，通過與ANSYS軟件計算結果進行對比，進一步驗證了模型的正確性。基于此模型，可以對軸系其它振動特性進行分析，也可對模型的參數進行優化處理，對軸系初始設計提出指導意見。

此外，通過分析軸系激勵可控參數可以看出，軸系結點的位移響應與不平衡質量、偏心距、聯軸器靜態不對中量、強迫位移量等可控參數之間，呈現出線性變化關系。根據這種線性變化關系，一方面可針對軸系結構設計合理的減振降噪裝置；另一方面在軸系的初始設計階段，可對聯軸器靜態不對中量、動力裝置的跳動量等提出合理的設計要求。

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Analysis of Dynamic Response for the Torpedo Propulsion-shaftSystem Based on Newmark-β Method

ZHAO Qi1,2, YIN Shao-ping1,2, WANG Zhong1,2, GUO Jun1

(1 The 705 Research Institute, China Shipbuilding Industry Corporation, Xi′an 710075, China;2 Science and Technology on Underwater Information and Control Laboratory, Xi′an,710075, China)

In order to study dynamic response of the shafting based on multiple-excitation, the MATLAB program is used to achieve the response analysis of torpedo propulsion shafting on the basis of Newmark-β method. By comparing the results with that of ANSYS, the reasonableness of the model and the MATLAB program is verified. The linear relationship between analysis of dynamic response and input conditions is also given.

Newmark-β; torpedo propulsion-shafting; dynamic response

10.3963/j.issn.1671-7953.2015.01.030

2014-09-11

國家部委重大專項

趙 琪(1989-)，男，碩士生

U661.31

A

1671-7953(2015)01-0117-05

修回日期：2014-09-25

研究方向:魚雷總體技術

E-mail:qz_zhao@163.com