基于CASIO計算器的辛普森公式法曲線計算

劉鋒++張曉雅++謝媛媛++王雪

摘要：根據實際需要，采用定積分公式推導出線路曲線中線點坐標的積分公式，然后采用復化辛普森公式給出其數值積分式。在此基礎上給出了求線路中線以及邊線坐標計算的CASIO計算器程序。并對程序進行了說明，CASIO計算器的辛普森公式法曲線計算大大提高了工作效率。

關鍵詞：辛普森公式 曲線元 坐標 切線方位角

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2014）12-0114-01

1 引言

目前在鐵路、公路曲線的中、邊樁計算中主要采用泰勒級數展開公式進行計算。在計算不同曲線元時就需要采用不同的計算公式，這就導致采用計算器計算大大不便。當計算卵形曲線或曲線的半徑較小時，計算誤差會較大，需要較多的泰勒級數展開項才能保證精度，這就導致公式繁雜又增加計算難度。而采用辛普生通用公式進行計算就非常簡便，該公式能用于任意的直線段、圓曲線段、緩和曲線段的中、邊樁坐標計算。

2 辛普森通用公式推導

一般線路都是由直線、緩和曲線、圓曲線組成。而這三種線型的曲率都是隨弧長作線性變化的，所以可用曲線元代表三種線型中的任意一種。已知弧長為l的任意點i的坐標的積分公式可表示為：

（1）

式中XA、YA為曲線元起點的坐標，αi為曲線元上i點的切線方位角，其計算公式為：

（2）

式中αA為曲線元起點切線方位角，PA為曲線元起點處的曲率，PB為曲線元終點處的曲率，L為曲線元總長度，l為任意點i距曲線元起點的弧長。±表示曲線元的左右偏向，左偏時取“-”，右偏則取“+”。αA、αi單位均為度。

將式（2）代入式（1），采用復化辛普森公式給出其數值積分式為：

（3）

式中m為積分區間等分數n的一半，α2K-1為曲線元上n等分點處的切線方位角，α2K為曲線元上n/2等分點處的切線方位角。

復化辛普森公式具有如下特點：適用于直線、緩和曲線、圓曲線，計算精度可控制，精度隨積分區間等分數n的而變化，可以根據實際需要選用合適的n值以確保計算精度和計算效率，計算方向是可逆的，即可以沿里程遞增方向計算也可以沿里程遞減方向計算。

3 程序實現

根據實際計算所需要的參數，編寫程序時定義如下變量：A-曲線元起點A的坐標；B-曲線元起點B的坐標；C-曲線元起點A的切線坐標方位角；F-曲線元起點A的里程；G-曲線元起點B的里程；H-曲線上待求點i的里程；D-曲線元起點A的曲率；E-曲線元終點B的曲率；XL-左邊線點位X坐標；YL-左邊線點位Y坐標；XR-右邊線點位X坐標；YR-右邊線點位Y坐標；X-中線點位縱坐標；Y-中線點位橫坐標；DL-左邊線距中線平距；DR-右邊線距中線平距。程序見表1。

程序說明及需要輸入的數據項：（1）曲線元起點A的施工坐標和切線坐標方位角，計算器顯示為“XA”，“YA”，“CA”；（2）曲線元起點A和終點B的曲率，計算器顯示為1/RA，1/RB（曲線左偏時取“-”）；（3）曲線元起點A和終點B的里程，計算器顯示為“DKA”，“DKB”；（4）輸入待求點里程和該點距中樁左右的水平距離，計算器顯示為“DKI”，“DL”，“DR”；每算完一個點的中線及邊線坐標，直接輸入下一點的“DKI”，“DL”，“DR”，當輸入的“DKI”大于“DKB”時，程序計算下一個曲線元，只要輸入下一曲線元的起點的曲率和里程即可。

4 結語

通過對不同類型線路曲線測量通用公式的推導及程序實現，使得曲線計算變得靈活、簡便，不但解決了常規計算方法不具備通用性的問題，并且避免了傳統計算中復雜的多次坐標平移及旋轉過程，使用辛普森通用公式使計算工作進一步簡化， 解算步驟清晰明了，而且使得計算精度可根據曲線半徑大小進行控制，具有很強大的實用性，CASIO計算器程序的應用在工程實踐中大大提高了計算效率。

參考文獻

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