復用技術耦合率失真優化的多圖像加密算法

孫 力，黃正謙

（1.浙江警察學院 計算機與信息技術系，浙江 杭州310053；2.浙江大學 計算機科學與技術學院，浙江 杭州310027）

0 引 言

圖像加密是確保圖像安全傳輸的技術手段，已成為當前研究熱點［1，2］。如 GuoDong Ye等［3］設計了波傳輸耦合混沌系統的塊圖像加密算法，實驗結果表明其算法高度安全；Y.Hu等［4］提出了基于改進分段線性混沌映射的圖像加密算法，實驗結果表明其算法安全性較高；Chen等［5］設計了基于3D混沌CAT映射的實時安全勻稱圖像加密機制，仿真結果表明該算法具有較好的加密性能。但是這些算法只能對單個圖像進行加密，無法對多圖像同步加密，無法滿足實際工程需求。

對此，研究人員開始設計多圖像同步加密算法，此類算法在國內研究得較少。這些算法主要是采用了壓縮思想，羅賢哲等［6］引入頻譜切割與離散余弦變換機制，截取圖像低頻部分，再將這些圖像壓縮復合圖像，并設計相應的加密函數，完成了對多圖像同步加密；龔黎華等［7］提出基于頻譜切割和二維Arnold變換的彩色圖像加密算法，實驗結果驗證了其算法的合理性與可行性；郭雨［8］等人提出了基于復用技術和數論的圖像同步壓縮加密算法，實驗結果表明其算法能夠對多個圖像進行加密。

然而這些算法將多圖像壓縮復合圖像，易產生串擾效應，導致失真較大，使得解密質量不佳。

為解決上述問題，本文提出角度旋轉復用技術耦合率失真優化控制的多圖像同步加密算法，并測試了本文算法與對照組機制的性能。

1 本文多圖像加密算法設計

本文加密算法如圖1所示。從圖中可知，本文算法是包括了3個階段：①角度旋轉復用階段；②率失真優化控制階段；③加密階段。通過復用技術，同步完成對多個明文壓縮與二次置亂，不但降低了加密數據量，而且可徹底改變置亂圖像的像素位置，提高算法安全性；將率失真優化技術嵌入到復用技術中，降低失真度；由正則變換，構造加密函數，擴散二次置亂復合圖像，改變像素值。

1.1 角度旋轉復用技術的設計

同步加密n個明文，首先需將其壓縮成一幅復合圖像。基于文獻 ［8］的角度旋轉思想；并引入DCT變換與Zig－Zag機制，設計了角度旋轉復用技術，來同步完成圖像的壓縮與初始置亂，獲取復合置亂圖像。其復用機制如圖2所示。具體步驟如下：

（1）先對明文進行b×b分塊，引入DCT （discrete cosine transform）變換，將圖像演變為DCT系數矩陣M1，M2，M3…Mn。DCT模型如下

式中：C（u，v）——變換系數矩陣；f（x，y）——2D 圖像明文；M ×N ——明文尺寸；u，v——F（u，v）的離散參量；cos（A）——余弦變換；K（u），K（v）均為常數

（2） 基 于 角 度 旋 轉 思 想［8］， 對 系 數 矩 陣 M1，M2，M3…Mn進行角度旋轉，形成加密矩陣E1，E2，E3…En；

（3）截取E1，E2，E3…En中的低頻部分，形成新的低頻矩陣S1，S2，S3…Sn，從而有效降低了數據量，提高加密效率；

（4）并引入 ZigZag技術，對S1，S2，S3…Sn進行掃描，形成1D數組A1，A2，A3…An。ZigZag掃描如圖3所示。

（5）將步驟 （2）中得到數組 A1，A2，A3…An按照行（列）重組，形成一個2D復合矩陣B＝ （B1，B2，B3…Bn）

（6）再 利 用IDCT （inverse discrete cosine transform）函數，將B＝ （B1，B2，B3…Bn）轉變成復合二次置亂圖像，完成多圖像壓縮，輸出圖像P

式中：P——復合二次置亂圖像；其余參數的含義與式（1）、式 （2）中相同。

1.2 率失真優化技術設計

在將多幅明文壓縮成復合圖像時，易產生串擾效應，出現較大失真，導致解密圖像質量不理想。為了降低失真度，本文設計率失真控制優化技術，其流程如圖4所示。根據文章第一小節分可知，經過DCT處理后，圖像從空域演變成頻域，得到圖像的能量信號。DCT能量分布模型為［9］

圖2 本文角度旋轉復用技術

圖3 ZigZag掃描

圖4 率失真優化

式中：W ——頻域能量分布；（x，y）——圖像像素坐標；α（x，y）——DCT 轉 換 后 的 頻 譜；β（x，y）——修 正 因 子；G——像素總和；代表歸一化系數。

引入SSIM （structure similarity），由模型 （1）得到的DCT系數，構造率失真模型

式中：J——率失真值；SSIM ——結構相似度；R——碼率；δ——拉格朗日乘子，控制感知失真與碼率之間的差值；C1，C2均為常數，用來增強穩定性；X（k）、Y（k）分別代表輸入信號x、y的DCT系數；N代表明文與解密圖像像素值的均值。

接下來主要計算率模型R與拉格讓日乘子δ。本文引入熵模型，計算R

式中：H ——熵函數；Q——量化步長；P0、Pn——量化到0以及第n個量化等級的轉換殘差概率；φ——拉普拉斯參數；x——轉換殘差值；η——量化舍入偏移量；μ，σ——控制參數。

當前都是依靠經驗值來確定δ的值，導致率失真控制效果不佳。為了提高算法性能，聯合SSIM與能量分布，建立δ的計算模型

式中：W ——DCT變換的能量分布；SSIM——結構相似度；Vn——編碼參量，本文采用CABAC熵編碼模式；ψ，ω均為常量，本文取ψ＝ω＝1；其余參數與面前相同。

利用本文設計的率失真控制優化設計對圖5（a）進行壓縮編碼，得到失真率曲線圖如圖5所示。從圖5（b）中可知，相對于未經率失真優化的壓縮機制而言，引入率失真控制優化技術處理后，本文算法的SSIM值更大，這顯示了明文與解密圖像很接近，大幅度減小了失真度。

利用本文設計的率失真優化控技術，得到最小率失真值min（J），利用min（J）控制1.1節中的壓縮，降低串擾效應；

圖5 引入率失真控制優化技術前后的失真率曲線

1.3 加密擴散階段

由正則變換，構造如下加密函數，對1.1節中得到的P進行擴散，輸出密文P′

式中：LCT ——正則變換；f（x，y）——輸出圖像信號；α，β，γ——控制參數；CPRM 為相位掩碼。

因解密為加密的逆過程，本文不做詳細介紹。

2 仿真結果與分析

在MATLAB平臺上對本文多圖像同步加密算法以及其它算法進行測試。仿真條件為：Intel2.5Hz，雙核CPU，16GB的內存，運行系統Windows 7.0。所設立的對照均為采用了壓縮思想的多圖像加密算法。對照為：文獻 ［6］、文獻 ［8］，分別記為A、B算法。其中，＝2；α＝1，β＝0.5，γ＝2；A ＝3。

2.1 加密質量對比分析

輸入4個尺寸為227×227的明文，如圖6（a）～圖6（d）所示。經算法加密后，其結果如圖6（e）～圖6（g）所示。經過本文設計的角度旋轉復用技術同步壓縮與置亂后，得到復合置亂圖像，如圖6（e）所示；最終得到密文，如圖6（g）所示。從圖中可知，經不同加密算法處理后，圖像的信息得到了充分混淆與擴散，沒有任何信息泄露，各算法的加密質量都很好，如圖6（g）～ （i）所示。

圖6 本文算法加密效果測試結果

為了量化加密質量，計算的密文信息熵值［10］

式中：H（s）——熵值；P（si）——變量si出現的概率。

依據文獻 ［10］提供的方法對圖6（g）、圖6（h）、圖6（i）進行測試40次，測試這些密文的平均和最大熵值，結果見表1。從表中可知，3種算法的信息熵比較接近。這顯示其都具有較高的安全性。

2.2 復合直方圖分析

以圖6（g）為實驗對象，得到的復合直方圖測試結果如圖7所示。從圖7（a）可知，4幅明文的像素點分布不均勻，如明文1、2、3、4的像素點波動范圍區間分別為［3，3253］、［6，3050］、［10，2768］、［5，2559］；而經過本文加密算法處理后，其像素點分布理想，如圖7（b）和圖7（c）所示，密文高度安全。為了更清晰表達圖7（b），對圖7（b）進行技術處理，如圖7（c）所示。從圖中可以看到，復合密文中的4個密文的像素點分布都是比較均勻，明文1、2、3、4的像素點波動范圍區間分別為 ［1594，1796］、［926，1000］、［1226，1500］、［687，983］。

表1 不同加密系統處理后密文的信息熵值

圖7 復合直方圖測試結果

2.3 密鑰敏感性能分析

優異的加密算法應滿足嚴格的 “雪崩效應”［11，12］。本文測試了控制參數α＝1的敏感度。再借助δ改變α，形成錯誤密鑰：（1－δ）與（1＋δ）。仿真結果如圖8所示。從圖8（a）與圖8 （b）可知，利用 （1－δ）與 （1＋δ）是無法解密；而正確密鑰得到的復合圖像，清晰可如圖8（c）所示。這表明了本文算法滿具備理想的密鑰敏感性。

圖8 算法敏感度測試結果

2.4 解密效果對比分析

用本文算法與對照組機制解密圖6（h）～ （i），結果如圖9～圖11所示。從視覺上看，3種不同的加密算法的解密質量都較好；但本文算法的解密質量最佳，紋理細節清晰可見，無模糊與串擾效應，失真較小，如圖9（a）～圖9（e）所示。而A算法存在一定的串擾效應，如圖10（a）～圖10（e）所示；B加密算法同樣有串擾效應，解密圖像存在一定的模糊現象，如圖11（a）～圖11（e）所示。這主要是由于A、B算法是借助壓縮來實現多圖像加密，而壓縮會造成顯著的串擾效應；而雖然本文算法的復用技術也采用了壓縮思想，但由于本文設計了率失真優化技術，將該技術嵌入到復用技術中，有效降低了失真值，提高了解密質量。

3 結束語

本文設計了角度旋轉復用技術，將多個明文壓縮成復合置亂圖像，有效降低了數據容量，而且提高了算法的安全性；并引入熵模型與結構相似度，設計率失真優化控制技術，嵌入到復用技術中，減少失真度，顯著降低了串擾效應；最終提出了角度旋轉復用技術耦合率失真優化控制的多圖像同步加密算法。仿真結果表明：本文加密算法高度安全；滿足嚴格的雪崩準則；與當前多圖像加密機制相比，本文的解密質量更高，失真度更小，顯著消除了串擾效應。

圖9 本文算法的解密質量

圖10 A算法的解密質量

圖11 各算法的解密質量對比測試結果

［1］REN Hong’e，DAI Linlin，ZHANG Jian.Image encryption algorithm based on chaotic sequence transform ［J］.Computer Engineering and Design，2013，34 （5）：1615－1619 （in Chinese）.［任洪娥，戴琳琳，張健.基于混沌數列變換的圖像加密算法 ［J］.計算機工程與設計，2013，34 （5）：1615－1619.］

［2］Zheng H，Yu S，LüJ.design and arm platform－based realization of digital color image encryption and decryption via single state variable feedback control ［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2014，24 （4）：1013－1018.

［3］Ye Guodong.A block image encryption algorithm based on wave transmission and chaotic systems ［J］.Nonlinear Dynamics，2014，75 （23）：417－427.

［4］Hu Y，Zhu C，Wang Z.An improved piecewise linear chaotic map based image encryption algorithm ［J］.The Scientific World Journal，2014，101 （52）：1－8.

［5］Chen G，Mao Y，Chui CK.A symmetric image encryption scheme based on 3Dchaotic cat maps ［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2004，21 （18）：749－761.

［6］LUO Xianzhe.Encryption algorithm for multi－images and color image based on fractional Fourier transform and fractional cosine transform ［D］.Nanchang：Nanchang University，2012：25－29（in Chinese）.［羅賢哲.基于分數階傅里葉變換和分數余弦變換的多圖像及彩色圖像加密算法 ［D］.南昌：南昌大學，2012：25－29.］

［7］GONG Lihua，ZENG Shaoyang，ZHOU Nanrun.Color image encryption based on 2DArnold transform and spectrum cutting［J］.Computer Application，2012，32 （9）：2599－2602 （in Chinese）.［龔黎華，曾邵陽，周南潤.基于2DArnold變換與頻譜切割的彩色圖像加密算法 ［J］.計算機應用，2012，32（9）：2599－2602.］

［8］GUO Yu，BAI Sen，YANG Yi.Simultaneous image compression and encryption using number theory and image multiplexing［J］.Video Technology，2013，37 （5）：33－37 （in Chinese）.［郭雨，柏森，陽溢.基于復用技術和數論的圖像加密壓縮同步算法 ［J］.電視技術，2013，37 （5）：33－37.］

［9］MA Guoqiang.Rate distortion optimization method in video image compression ［P］.Chinese Patient，CN101521819B，2010.12.01（in Chinese）.［馬國強.一種在視頻圖像壓縮中對率失真進行優化的方法［P］.中國專利，CN101521819B，2010.12.01.］

［10］Guodong Ye·Kwok－WoWong.An image encryption scheme based on time－delay and hyperchaotic system ［J］.Nonlinear Dynamics，2013，71 （36）：259－267.

［11］Belazi A，Hermassi H，Rhouma R.Algebraic analysis of a RGB image encryption algorithm based on DNA encoding and chaotic map ［J］.Nonlinear Dynamics，2014，101 （76）：1989－1993

［12］Soni A，Agrawal S.Key generation using genetic algorithm for image encryption ［J］.International Journal of Computer Science and Mobile Computing，2013，2 （6）：376－383.