最小勢能原理中總勢能表達式的理解

郭空明 徐亞蘭

(西安電子科技大學機電工程學院，陜西 西安 710071)

最小勢能原理中總勢能表達式的理解

郭空明 徐亞蘭

(西安電子科技大學機電工程學院，陜西 西安 710071)

介紹了最小勢能的原理，就最小勢能原理中彈性體總勢能表達式的理解難點進行了說明，通過一個簡單系統中能量的變化，著重闡述了外力勢能的含義，并得出了一些有助于深入理解彈性體總勢能的結論。

最小勢能原理，總勢能，外力勢能

1 最小勢能原理中彈性體的總勢能

最小勢能原理又稱為最小位能原理，其作為固體力學的重要能量原理，在《結構力學》《彈性力學》等課程中均有講授，且在土建、航天等結構領域存在廣泛的應用。該原理可視為質點與剛體系的拉格朗日—狄利克雷定理在彈性體中的推廣，其中的總勢能表達式定義為彈性體應變能U與外力勢能V之和：

∏=U+V

(1)

代表彈性體內儲存的應變能，該表達式并不存在理解困難。下面討論外力的勢能，為簡單起見，假設彈性體只受集中力作用，則外力的勢能定義為集中力與其作用點位移乘積的負值：

V=-PTΔ

(2)

根據該定義，一些教材將外力勢能闡述為外力做功的負值，但這就與克拉皮隆定理產生了矛盾。在克拉皮隆定理中，規定外力從零開始緩慢加載，因此外力做功為集中力大小與其作用點位移乘積的一半，且全部轉化為彈性體的應變能。而且，運用式(1)進行總勢能計算時，往往會得到總勢能為負值的情況。由于加載前系統的總勢能為零，那么如何從能量轉換觀點對總勢能表達式進行理解，是一個難點。由于大部分教材并未對該表達式進行深入說明和分析，許多初學者對此往往感到困惑。學術界也存在廣泛的爭議，如一些學者認為外力的做功為虛功，而一些學者認為，該表達式中的總勢能并不是真實的總勢能。

由于彈簧質量系統可以看作最簡單的彈性系統，為了說明問題，下文以一個彈簧質量系統為例，分別對于無限緩慢加載和常力加載兩種情況，分析系統變形和恢復過程中能量和做功的問題，指出：式(1)中的外力勢能確實是外力做功的負值，但此時的外力做功大小并非加載時所做的功，而應是變形恢復時外力所做負功的絕對值，前者在數值上是后者的一半。而最小勢能原理中的總勢能確實代表了彈性體真實的總勢能。

2 無限緩慢加載的彈簧—質量系統

對于真實的彈性體，由于慣性的存在，導致載荷不僅會改變系統的彈性勢能，也會改變系統的動能。因此在靜力學教材中，都規定載荷必須無限緩慢地從零增加。考慮無阻尼彈簧質量系統，其中彈簧的剛度為k。當系統不受外力作用處于平衡時，令系統受到一個從零緩慢變化至F的外力，這樣，系統可以認為是準靜態變化的，系統達到最終平衡狀態時將不具有動能。由于不考慮阻尼，過程中并沒有能量損耗。顯然系統達到最終平衡時彈簧的變形量為Δ=F/k，則系統的應變能為：

而外力所做的功為：

由上式可知應變能完全等于外力做功，此時外力在彈性體變形階段所做的功為力與位移乘積的一半，完全轉化為系統的應變能。

而根據最小勢能原理的定義，靜平衡時系統的總勢能為：

(3)

從總勢能的數值可以看出，存在兩個問題，首先，系統的總能量似乎“不守恒”，加載前，系統的動能與勢能之和顯然為零；加載后，系統動能仍然為零，而勢能變成了負值，動能和勢能之和也成為負值。其次，此時的外力勢能并不等于外力加載時所做的功，而是其2倍。

要理解這些問題，首先要考慮力學中勢能的定義。按照力學的一般說法，任何一個實際狀態的彈性系統的總勢能，等于這個系統從該實際狀態運動到某一參考狀態(通常取彈性體無形變的狀態作為參考狀態)時所有作用力所做的功。

彈性系統的作用力包括外力和內力，內力勢能就是應變能U，因為無論加載還是卸載，應力總是和應變同方向的，所以應變能是正值。而且無論加載還是卸載時，應力都與應變成正比，無形變時應力為零，因此應變能表達式前有系數1/2。而外力勢能是結構從實際位置恢復到它的初始狀態(未變形狀態)時，外力所做的功。雖然加載方式考慮了緩慢加載，但變形后外力的大小就不再隨變形量發生變化，因此恢復變形時，外力所做的功為外力大小與變形量乘積一半的負值，沒有系數1/2。

下面具體針對彈簧質量系統的問題展開討論。顯然，矛盾來源于加載和恢復變形時外力性質的改變。加載時，外力是從零緩慢改變至F，而為了計算系統總勢能而考慮系統的恢復變形過程時，外力的大小卻始終為F保持不變。所以加載和卸載時外力做功的大小并不相同。實際上，雖然對于加載和恢復變形這兩個過程每一個過程而言，系統的外力都是保守力，但是兩個過程中的力場是不同的，因此不宜將兩者納入同一體系研究能量的變化。

為了更好地說明問題，下面考慮加載和恢復變形時力場相同的情況。

3 以常力加載的彈簧—質量系統

考慮彈簧—質量系統初始狀態彈簧變形量為零，質量塊也沒有速度的情況下，系統受到一個大小為F的突加載荷。在這種情況下，彈簧在靜平衡位置的變形量仍然為Δ=F/k，但是與無限緩慢加載的情況不同，當彈簧達到靜平衡位置時外力做功大于系統的應變能，多余的能量轉化為系統的動能T。靜平衡狀態時系統的應變能為：

而外力所做的功為：

多余的能量轉化為系統的動能，為：

而此時靜平衡狀態時系統的總勢能仍然為：

但此時存在動能，因此總能量為：

E=T+∏=0。

由于真實系統存在阻尼，動能會逐漸衰減為零，最終系統將在靜平衡狀態取得平衡。可以看出，在變形和恢復變形過程中，力場均為恒定力場的情況下，能量的守恒是顯而易見的，加載前以及達到靜平衡位置后的總能量均為零，而且外力的勢能大小既等于加載時外力所做功，也等于卸載時外力所做功。實際上，只要加載和卸載時，力場的特性保持一致，均不會出現理解上的問題。對于無限緩慢加載的情況，若卸載時的外力也隨著變形量與加載時保持相同的變化，也不會出現理解的矛盾。

4 結語

大部分靜力學教材為了使知識體系完全處在靜力學框架中，均認為外力的加載是無限緩慢的，而加載達到平衡狀態后，外力大小保持不變。這就造成了加載和恢復變形兩個過程中力場不一致的情況，從而導致了理解上的難度。本文通過一個最簡單的例子分析了這一點，指出在靜力學教材中最小勢能原理中彈性體總勢能的表達式中，外力勢能應理解為恢復變形時外力所做的負功，因此并不是虛功。而總勢能也確實代表了彈性體真實的總勢能。

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On understanding of total potential energy formula based on principle of minimum potential energy

Guo Kongming Xu Yalan

(SchoolofMechatronicEngineering,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

The paper introduces the principle of the minimum potential energy, indicates the difficulties in understanding the elastic total energy formula in the principle of the minimum potential energy, illustrates the concept of the external force potential energy according to the energy changes in the simple system, and concludes the deeper understanding of the elastic total potential energy.

minimum potential energy, total potential energy, external force potential energy

2015-06-27

郭空明(1985- )，男，講師； 徐亞蘭(1971- )，女，副教授

1009-6825(2015)25-0244-02

TU311

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