基于突變理論的巖石剛性試驗技術研究

張 磊, 劉 鈺, 黃正均, 張 棟

(北京科技大學 土木與環境工程學院, 北京 100083)

基于突變理論的巖石剛性試驗技術研究

張 磊, 劉 鈺, 黃正均, 張 棟

(北京科技大學 土木與環境工程學院, 北京 100083)

根據突變理論建立巖石單軸壓縮的力學模型,并分析巖石發生突然破裂的原因,提出了對于高強度、高脆性的巖石試件得出全應力應變曲線的試驗方法。

巖石單軸壓縮； 突變理論； 失穩破壞； 全應力應變曲線

事物從狀態的一種形式突然地跳躍到根本不同的另一種形式的不連續變化,包含著突然變化的瞬間過程,稱為突變(catastrophe)[1]。突變理論以不連續現象為研究對象,它運用拓撲學、奇點理論和結構穩定性等數學工具,研究某種系統(過程)從一種穩定狀態到另一種穩定狀態的躍遷。突變理論用一組參數描述系統所處的狀態,當系統處于穩定狀態時,表明該系統狀態的某個函數取一定的值(如能量取極小或者取極大等)。當參數在某個范圍內變化、該函數值有不止一個極值時,系統必然就處于不穩定狀態,而參數再略作變化,能使處于不穩定狀態的系統進入另一穩定狀態,就在這一剎那狀態發生了突變。

巖石受力破壞的過程是其內部微破裂萌生、擴展和斷裂的過程,這個過程本身是一種非線性的突變現象。長期以來許多研究工作者一直致力于研究巖石峰值以后的應力與應變關系,以揭示巖石峰后表現出的承載力及其變形特征,在這過程中得出了很多有價值的結論。目前認為巖石力學試驗中,巖石試件發生突然破裂的主要原因是:一是試驗機的剛度不夠；二是試驗機控制精度不高[2]。因此隨后就誕生了巖石伺服剛性試驗機,以解決上述的兩個問題。但是,不是所有的巖石試件通過巖石伺服剛性試驗機都可以得出巖石的全應力-應變曲線,如果巖石表現出高強度、高脆性時,全應力-應變曲線就不易得出[3]。本文根據突變理論建立了巖石單軸壓縮的力學模型,并分析巖石發生突然破裂的原因,同時提出了對于高強度,高脆性的巖石試件得出全應力應變曲線的試驗方法。

1 尖點突變理論模型

尖點突變模型標準的勢函數為

(1)

式中,x為狀態變量；p和q為控制變量。

當勢函數V(x)的一階導數為零時有

(2)

式(2)為系統的平衡方程,如圖1所示,這是一個具有光滑折痕的曲面,其上一點代表所研究系統的一種平衡狀態。對勢函數V(x)求二階導數有

(3)

在圖1中曲面上葉和下葉上,滿足V″(x)>0,即系統勢能取極小值,則平衡狀態是穩定的；在曲面的中葉上V″(x)<0,即系統勢能取極大值,則平衡狀態是非穩定的。

圖1 尖點突變理論模型

4p3+27q2=0

(4)

當系統狀態處于下葉時,狀態穩定,隨著外界載荷的進一步作用,系統狀態進入中葉,當系統進一步發展時,達到平衡臨界點時,系統就會發生突然跳躍直接到達下葉,即系統失穩破壞[1,4-5]。

2 巖石單軸壓縮尖點突變理論模型的建立

巖石單軸壓縮試驗在加載系統作用下的破裂過程,除了在特殊的控制條件下進行外,通常都不是一個穩定的狀態,在更多的情況下是由穩態發展到失穩的過程[6-8],運用突變理論可以很好地描述巖石單軸壓縮過程中的失穩現象。

對巖石單軸壓縮試驗加載過程進行分析并建立相應的力學模型,載荷R和變形u′的本構關系可寫為[9]

(5)

系統整體的勢函數V是系統的總能量，有

(6)

式中:k為試驗機的剛度；a為系統的全位移。

求解上述定積分，有

(7)

式中:u1為巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點對應的位移；λ1為巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點處的斜率。令:

那么式(7)可以寫為尖點突變的標準勢函數形式為

(8)

對式(8)求導,可以得出尖點突變模型的平衡方程為

4x3+2ux+v=0

(9)

奇點集為

12x2+2u=0

(10)

上述各式中,u、v是控制變量,可以控制和決定系統的演化過程和演化途徑。

從圖1中可以看出,系統得到的平衡曲面是一個折疊的曲面,其折疊或尖點的集合稱為奇點集,奇點集在u-v平面上的投影稱為分叉集,消去式中的x,可以得出分叉集的方程為

8u3+27v2=0

(11)

分叉集為一半立方拋物線。分叉集上的任意點(u,v)對應于系統的某個臨界狀態。從圖2中可以看出,只要控制變量u<0,系統從一種狀態演化到另一種狀態、穿過分叉集曲線時系統的狀態將發生一個突跳,即巖石發生突然的破裂。那么系統發生失穩破壞的條件是:試驗機的剛度小于巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點處的斜率[10-12],即:

(12)

圖2 巖石單軸壓縮尖點突變理論模型

3 巖石單軸壓縮剛性試驗

普通的力學試驗機是由加載架、液壓系統和測量系統組成,長期以來大多數巖塊的變形與強度性質的試驗都靠普通試驗機來完成。但在實踐中發現,在進行巖石力學試驗時,當達到巖石峰值強度的瞬間,往往會發生巖石試件“爆裂”現象,以至于很難測得接近或達到峰值時的應力與應變關系,更無法獲得峰值以后的信息。巖石試件發生“爆裂”現象主要是:(1)試驗機的剛度比巖石試件的剛度小；(2)當巖石發生破裂承載力下降時試驗機不能主動“讓壓”。

目前巖石力學試驗克服巖石試件發生“爆裂”的途徑是:提高試驗機的剛度及伺服控制試件的變形。

巖石在加載過程中試驗機儲存的彈性勢能為

(13)

式中，k為試驗機的剛度，um為試驗機自身位移，P為載荷(kW)。

巖石在加載過程中試件儲存的彈性勢能為

(14)

式中kr為巖石的剛度。

在普通試驗機上進行巖石力學試驗時可以看出Em>Er,在巖石試件破裂的瞬間,巖石試件的承載能力降低,同時其彈性勢能也伴隨裂紋的擴張、聲響、震動和熱能而消耗掉；但試驗機的彈性勢能并沒有消散,它會完全釋放給巖石試件,使得巖石試件吸收比自身的彈性勢能大出很多倍的勢能,使得巖石試件不能承受這么大的彈性勢能,因此發生“爆裂”現象。

如果提高試驗機的剛度,即km→,那么試驗機在加載的過程中自身儲存的彈性勢能就很小,即

(15)

在巖石試件破裂的瞬間,試驗機不會釋放彈性勢能或釋放很少的彈性勢能給巖石試件,這時巖石試件就不會發生“爆裂”現象。巖石單軸壓縮全應力-應變曲線見圖3，圖中應變為軸向應變。

圖3 巖石單軸壓縮全應力-應變曲線

但是對于脆性指標很高和強度很高的巖石試件來說,全應力應變曲線就不是那么容易得出了。因為k→只是一種理想狀態,剛性試驗機的剛度可以很大,但其剛度不會達到無窮大。剛性試驗機的剛度一般在7～10 GN/m之間,在試驗過程中,試驗機還是會儲存一部分彈性勢能,如果巖石試件表現出極強的脆性,那么巖石試件就有可能發生“爆裂”現象。

針對高強度、高脆性的巖石在單軸壓縮試驗過程中易發生“爆裂”現象,作者認為可以采用在峰后主動卸載的方法得出其全應力-應變曲線。因為在巖石達到峰值時,巖石內部已經發生了大量的損傷現象,產生了一些裂隙；這時進行卸載將巖石的應變能釋放一些,然后再加載,巖石會沿卸載的應力應變路徑的上方行進,留下一個應力滯回環,最后穿過卸載應力應變路徑,但由于巖石已經發生了損傷,再次加載時巖石試樣的彈性模量會降低,強度不可能達到卸載點的強度,在低于卸載點的載荷值時巖石繼續發生破裂。巖石試件的卸載和加載過程不但可以降低巖石的脆性指標,還可以降低其λ1值,可以得出巖石的全應力-應變關系曲線。

該試驗是在巖石力學實驗室的GAW-2000巖石剛性試驗機上進行的巖石峰后卸載試驗。試驗方法為:在峰值前的線彈性階段采用應力控制,速率為500 N/s；達到屈服后采用應變控制,速率為0.01 MM/Min；峰后采用應變控制,速率為0.006 MM/Min；在卸載點主動采用應力控制卸載,速率為800 N/s；將載荷卸至零點，然后再加載,加載方式和峰值前的方式一致；當巖石試件再次發生破裂后再進行卸載控制,方式同前；直到得出巖石的全應力-軸向應變曲線,見圖4。

4 結論

(1) 根據突變理論建立了巖石單軸壓縮的力學模型,并分析巖石發生突然破裂的失穩破壞條件是:試驗機的剛度小于巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點處的斜率,即:K≤λ1；

圖4 巖石峰后卸載的全應力-應變曲線

(2) 巖石試件發生“爆裂”現象主要是:①試驗機的剛度比巖石試件的剛度小；②當巖石發生破裂承載力下降時,試驗機不能主動“讓壓”。

(3) 針對高強度、高脆性的巖石在單軸壓縮試驗過程中易發生“爆裂”現象,可以采用在峰后主動卸載的方法，以降低巖石的脆性指標和λ1值,可以得出巖石的全應力-應變關系曲線。

)

[1] 凌復華. 突變理論及其應用[M].上海:上海交通大學出版社,1987.

[2] 蔡美峰,何滿潮,劉東燕,等. 巖石力學與工程[M].北京:科學出版社,2004.

[3] 陳忠輝,唐春安,傅宇方.巖石微破裂損傷演化誘致突變的數值模擬[J].巖土工程學報,1998,20(6):9-15.

[4] 凌復華. 突變理論：歷史、現狀和展望[J].力學進展,1984,14(4):389-404.

[5] 桑德斯PT. 災變理論入門[M].凌復華,譯.上海:上海科學技術文獻出版社,1983.

[6] 牟宗龍,竇林名.堅硬頂板突然斷裂過程中的突變模型[J].礦山壓力與頂板管理,2004(4)：90-92.

[7] 左宇軍,李夕兵,趙國彥.受靜載荷作用的巖石動態斷裂的突變模型[J].煤炭學報,2004,29(6):654-658 .

[8] 姜德義,任松,劉新榮,等.巖鹽溶腔頂板穩定性突變理論分析[J].巖土力學,2005，26(7)：1099-1103.

[9] 魏德敏.深裂紋彎曲試件裂紋擴展的突變模型[J].太原工業大學學報,1995,26(4):73-76.

[10]JayadevanKR,NarasimhanR,RamamurthyTS,etal.AnumericalstudyofT-stressindynamicallyloadedfracturespecimens[J].InternationalJournalofSolidsandStructures,2001(38):4987-5005.

[11] 夏蒙棼,韓聞生,柯孚久,等. 統計細觀損傷力學和損傷演化誘致突變(Π)[J].力學進展,1995,25(2):145-173.

[12]ScholzCH.Microfracturingandtheinelasticdeformationofrockincompression[J].JournalofGeophysicalResrech,1968,73(4):145-151.

Research on rock rigidity test technology based on catastrophe theory

Zhang Lei, Liu Yu, Huang Zhengjun, Zhang Dong

(School of Civil and Environmental Engineering, Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)

The state of things suddenly shifts from one form to a completely different form,this discontinuous change includes a sudden change of instantaneous process which is called catastrophe. The failure process of rock itself is a kind of nonlinear phenomenon of catastrophe. A mechanics model of rock uniaxial compression is established,and the cause of rock burst is analysed. This paper puts forward a test method in order to obtain the complete stress-strain curve of the high strength and high brittleness rock at the same time.

rock uniaxial compression; catastrophe theory; instable failure; complete stress-strain curve

2015- 05- 13

張磊(1981—)，男，河北徐水，碩士，工程師，研究方向為巖土工程.

E-mail：13810174099@163.com

TU45

A

1002-4956(2015)10- 0046- 03