基于諧波小波帶通濾波的動不平衡信號提取研究

馮英鵬，占小杰，李傳江

（上海師范大學信息與機電工程學院，上海200234）

0 引言

動平衡測量系統是通過安裝在兩側硬支承上的傳感器測量振動信號的，后經信號轉換、調理、傳輸以及分析等多個環節完成動不平衡信號（即有用信號）的測量［1］。而且這個動不平衡信號提取的越精確，就越能保證轉子系統的動平衡。為此，研究一種高效可行的動平衡測量方法，既能保證信號相位的不偏移，又能準確測定不平衡量的幅值，具有十分重要的現實意義。而諧波小波濾波方法有著明確的表達式、時頻分解靈活、盒形緊支譜以及相位鎖定特性［2－3］，基于上述優點，將諧波小波帶通濾波方法用于動不平衡信號的提取，研究表明該方法有效可行，可以消除噪聲干擾。

1 諧波小波濾波原理

一種復小波，可以將信號毫無遺漏地分解到相互獨立的頻段。這樣特定頻率成分與其他頻率成分被分離，從而消除了其他頻率成分對該頻率段的影響，那么被淹沒的微弱信號得以體現，可以說是信噪比得到提高［2］。于是，研究某一信號特定頻率成分時可采取對該信號進行諧波小波分解，將其他頻段的諧波小波系數置零，保留特定頻段的小波系數，然后對其重構，如圖1所示。根據正交性可知，重構后的信號只包含特定頻率成分，其余成分被濾除，即實現了精確濾波的目的［4］。

圖1 信號諧波小波分解重構流程

諧波小波在頻域具有明確的表達式，設有實偶函數he（t）和實奇函數ho（t），其傅氏變換為：

把 He（ω）和 Ho（ω）組合得到

即為諧波小波的頻域表達式，從圖2看到，H（ω）具有極好的緊支特性，并且有著嚴格的盒形特性，非常適合用于信號濾波，提高信噪比。

圖2 諧波小波函數的頻域波形

對H（ω）做傅里葉逆變換，可得到諧波小波

其實部與虛部如圖3所示，可見h（t）具有很好的緊支特性。

圖3 諧波小波函數實部與虛部形狀

對諧波小波函數進行伸縮平移，令t＝2jt－k（j，k均為整數），式（4）變為：

而h1（t）的傅里葉變換為：

令p＝2jt－k，dt＝2－jdp，則

與式（3）比較發現，H1（ω）頻譜為發生改變，只是水平方向上的尺度壓縮了2j，在新的尺度上平移了k個單位。j的值與小波的層有關，標準的諧波小波頻譜2π～4π對應j＝0，于是得到第j傅里葉變換頻譜區間為2j＋1π～2j＋2π，j值越大，頻帶帶寬越寬，不同層上的諧波小波頻譜區間如圖4所示。

圖4 不同j值時諧波小波的頻譜

從圖4可以看出，諧波小波對信號的分解頻帶寬度從高頻到低頻以關系遞減。令m＝2j，n＝2j＋1，m，n∈R＋，且m＜n，式（3）可化為：

其對應的時域表達式為：

鑒于諧波小波函數族中層層之間都是正交的，所以可把諧波小波作為基函數系，這樣就能將信號正交、無遺漏地分解到相互獨立的空間，實現信號分解到不同頻段，方便精確研究單一頻率信號，提取信號特征。其實部與虛部都可作為零相移濾波器，使得諧波小波具有相位鎖定功能，它能克服基于二進小波信號分析頻域產生相位移動導致提取特定頻率信號的不精確問題。所以在轉子動平衡中，應用諧波小波帶通濾波算法提取動不平衡信號可以保證信號的相位不失真，提高提取精度。

即工程中常用的分析中心在

2 諧波小波濾波方法的仿真研究

諧波小波分解算法是通過FFT和IFFT實現的，具體步驟如下：

a.對振動信號f（t）進行FFT，得到其頻譜Fk，k＝1，2，…，N，N＝2n。

b.選擇分解尺度，對諧波小波函數hm，n（t）進行FFT得到頻譜Hk，k＝m，…，n。

c.計算Fk與Hk的乘積，做IFFT得到諧波小波分解系數，即目標頻率的信號。

2.1 諧波小波算法提取微弱模擬信號

為了驗證諧波小波帶通濾波的性能，現對一模擬信號進行濾波分析。假定模擬信號包含10Hz，80Hz和160Hz三種頻率的信號［3，5］，則

在Matlab仿真平臺中，采樣頻率選擇fs＝4 096，采樣點數為N＝2 048，利用諧波小波算法對其分析。因為160Hz頻率的信號幅值遠小于前兩者，所以在信號的頻譜中幾乎看不到譜峰，屬于微弱信號。

通過選擇不同的諧波小波分解尺度，在［8，12］、［78，82］、［158，162］頻段分別提取這三種頻率的信號，再對濾波后的信號頻譜經IFFT即可獲得各頻率信號波形，即便是頻率為160Hz的微弱信號，經諧波小波帶通濾波后其信號波形十分明顯［3，5］。分析發現，得到的信號波形正好與其頻率相吻合，且在頻域內并無相位移動，有利用信號的提取，可防止信號檢測的誤判，可見諧波小波帶通濾波算法較其他方法具有優勢，能很好地提取特定頻率的信號。

2.2 諧波小波算法實際應用研究

實驗平臺采用上海歐承動平衡機有限公司提供的轉子動平衡機，左右支撐點處安裝壓電陶瓷加速度傳感器，變頻調速驅動，測試平臺采用標準轉子（3 kg）［6］。實驗中，轉子轉速設定為1 680r／min（轉子頻率為28Hz），現場采集的轉子動不平衡信號如圖5所示。從圖中可以看到，由于機器振動、隨機噪聲以及環境等因素的存在，盡管經過硬件電路濾波，轉速信號微弱，淹沒于噪聲中，不易分辨。選擇采樣頻率fs＝512，分析頻率fH＝256Hz，對轉速信號進行FFT，從頻譜中看到信號含有強烈的低頻噪聲干擾，這是由轉子低速運行引起的，有用的信號幾乎看不到如圖6所示。為了提取28Hz的頻率信號，采用小波包和諧波小波算法進行分解。

小波包采用‘db4’小波對信號進行5層分解，帶寬為4Hz，信號頻段為28～32Hz，濾波后的頻譜圖如圖7所示，可以看到該頻段內包含較多其他頻率信號的譜峰。利用諧波小波帶通濾波算法，調節帶通濾波器的上下限頻率，信號頻段設為27～29Hz，濾波后的頻譜圖如圖8所示，較圖7，諧波小波提取的信號頻譜所含成分較少。

圖5 現場采集的動不平衡信號

圖6 動不平衡信號的頻譜

圖7 小波包提取的信號頻譜

圖8 諧波小波提取的信號頻譜

對圖8中得到的數據進行重構，重構后的信號波形如圖9所示。經分析，諧波小波算法提取到了與轉子轉速同頻的振動信號。

圖9 諧波小波提取到的轉子轉速（1 680r／min）信號

3 結束語

諧波小波帶通濾波算法具有相位鎖定和盒形譜特性決定了它適合于動平衡測量系統的動不平衡信號提取，且構造簡單，有著明確的數學表達式。該方法根據信號的相關性，由轉動頻率和濾波帶寬確定出相應頻段的諧波小波，后經濾波、重構即可精確提取出淹沒在強噪聲中的動不平衡信號，解決常規濾波方法濾波精度不高的問題。

［1］ 夏耀曾，崔鳳奎.諧波小波在動不平衡信號提取中的應用［J］.噪聲與振動控制，2009，29（1）：65-68.

［2］ 卿湘運，段紅，魏俊民.諧波小波在動平衡機不平衡量信號提取中的應用［J］.浙江工程學院學報，2003，20（2）：100-103.

［3］ 李瞬酩，許慶余.微弱振動信號的諧波小波頻域提取［J］.西安交通大學學報，2004，38（1）：51-55.

［4］ 鄭云飛，童軍，劉曉丹.諧波小波在發動機振動信號分析中的應用［J］.噪聲與振動控制，2008，28（6）：24-28.

［5］ 陳果.一種改進的諧波小波及其在轉子故障診斷中的應用［J］.機械工程學報，2011，47（1）：8-16.

［6］ 李傳江，費敏銳，胡豁生，等.基于諧波小波和Prony算法的轉子不平衡信號提取［J］.儀器儀表學報，2014，33（11）：2516-2522.