二能級(jí)體系的量子相位、循回條件和絕熱條件

秦江濤　徐秀瑋

摘 要：令二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件下演化一個(gè)周期后，得到了其所滿足的循回條件是 為整數(shù)之比，并計(jì)算了在該條件下系統(tǒng)中的3種量子相位。對(duì)比了二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱條件和非絕熱條件下的幾何相位結(jié)果，得到了二能級(jí)系統(tǒng)所滿足的絕熱近似條件是ω/Ω→0.

關(guān)鍵詞：量子相位；幾何相位；循回條件；絕熱近似條件

中圖分類號(hào)：O413.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2015.08.045

1984年，Berry提出“將量子系統(tǒng)作為周期性絕熱演化過程中存在的幾何相位”以來，引起了各界的廣泛關(guān)注和研究，并且很快就有實(shí)驗(yàn)得到了相同的結(jié)果。在實(shí)驗(yàn)中，之所以能得到與理論值相同的結(jié)果，是因?yàn)閺堄赖陆o出了相對(duì)應(yīng)的條件。對(duì)于傳統(tǒng)的絕熱近似條件，有很多教材都有詳盡的敘述，近年來，也有人提出，即使傳統(tǒng)的條件被滿足，有時(shí)也不能得到自洽的、好的近似結(jié)果，并且也提出了一些新的絕熱近似條件。本文探討了二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件和非絕熱近似條件下所對(duì)應(yīng)的循回條件和絕熱條件。

二能級(jí)系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的量子系統(tǒng)，同時(shí)，它又是量子特征最強(qiáng)的體系，任何二能級(jí)系統(tǒng)都可以化成一個(gè)類似自旋1/2粒子在磁場(chǎng)中的哈密頓量。自旋1/2粒子在磁場(chǎng)中的哈密頓量為：

. （1）

式（1）中：μ為粒子磁矩；θ、φ=ωt為球坐標(biāo)系中的方位角； 為磁場(chǎng)；B為系統(tǒng)磁場(chǎng)的大小。

系統(tǒng)的本征方程為：

. （2）

式（2）中：t為系統(tǒng)演化的時(shí)間；B為系統(tǒng)磁場(chǎng)的大小。

利用薛定諤方程并加入初始條件 ，可以得到

任意時(shí)刻嚴(yán)格解的表達(dá)式為：

. （3）

式（3）中： 為普朗克常數(shù)；t為系統(tǒng)演化時(shí)間；α、β為表示態(tài) 的二維自旋態(tài)矢量；e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；i為虛數(shù)單位。

在式（3）中：

（4）

1 二能級(jí)系統(tǒng)的量子相位

1.1 在絕熱近似條件下的量子相位

二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件下的幾何相位（Berry相）為：

. （5）

式（5）中：g為幾何相位的縮寫；T為為演化周期； 為表示對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)；d為表示對(duì)時(shí)間t的微分。

二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件下的動(dòng)力學(xué)相位為：

（6）

二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件下的總相位為：

（7）

式（7）中：z為表示系統(tǒng)總相位的縮寫。

式（5）（6）（7）為采用二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件下計(jì)算得到的相位。其中，式（5）式為Berry相位。

1.2 在非絕熱近似系統(tǒng)中的量子相位

二能級(jí)系統(tǒng)在非絕熱近似條件下，對(duì)于Pancharatnam相位，其總相位是：

. （8）

二能級(jí)系統(tǒng)在非絕熱近似條件下動(dòng)力學(xué)相位為：

. （9）

幾何相位為：

（10）

式（8）（9）（10）為二能級(jí)系統(tǒng)在非絕熱近似下的量子相位。

1.3 循回條件和絕熱條件

當(dāng)二能級(jí)系統(tǒng)在非絕熱近似條件下演變一個(gè)周期T=2π/ω后，此時(shí)：

.（11）

使系統(tǒng)滿足循回條件 ，據(jù)此可以得到：

（12）

式（12）為循回條件所滿足的條件，此時(shí)，普通的非絕熱條件下的量子相位即為非絕熱循環(huán)系統(tǒng)中的A-A相位，在此條件下所對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)即為循回初態(tài)。

根據(jù)A-A相位理論，非絕熱幾何相位的絕熱近似極限給出了Berry相位。假設(shè)式（8）和式（7）中的計(jì)算結(jié)果相同，則可以得到絕熱近似極限的條件為ω/Ω→0.

當(dāng)滿足絕熱近似極限的條件時(shí)，計(jì)算非絕熱近似系統(tǒng)中的量子相位為：

幾何相位為：

（13）

總相位為：

（14）

動(dòng)力學(xué)相位為：

（15）

這與絕熱近似系統(tǒng)中的量子相位的結(jié)果相同。

上述結(jié)果說明，非絕熱近似系統(tǒng)中的循回條件是ω/Ω=整數(shù)之比。此時(shí)，普遍的PM型相位即為A-A型相位。當(dāng)滿足絕熱近似條件ω/Ω→0時(shí)，二能級(jí)系統(tǒng)在絕熱近似條件下和非絕熱近似條件下就有相同的量子相位，這時(shí)，Berry相位即為A-A型相位。

2 結(jié)論

二能級(jí)系統(tǒng)在非絕熱近似條件下演變一個(gè)周期后，利用波函數(shù)的改變來計(jì)算、推導(dǎo)出非絕熱循環(huán)系統(tǒng)中的循回條件為ω/Ω=整數(shù)之比。利用A-A相位的絕熱近似極限可以給出Berry相位這一條件，比較、計(jì)算絕熱近似系統(tǒng)和非絕熱近似系統(tǒng)中的幾何相位。從比較結(jié)果中可以看出，在二能級(jí)系統(tǒng)中非絕熱近似的情況下，當(dāng)滿足ω/Ω→0時(shí)，絕熱近似條件下的Berry相位就等于非絕熱近似條件下的A-A相位。也就是說，二能級(jí)系統(tǒng)在非絕熱近似條件下，本身變化的頻率越小，就越能滿足絕熱近似條件。

參考文獻(xiàn)

[1]Berry M V.Quantum phase factors accompanying adiabatic change[J].Proc Roy Soc，1984（A392）：45-57.

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〔編輯：白潔〕