二能級體系的量子相位、循回條件和絕熱條件

秦江濤　徐秀瑋

摘 要：令二能級系統在絕熱近似條件下演化一個周期后，得到了其所滿足的循回條件是 為整數之比，并計算了在該條件下系統中的3種量子相位。對比了二能級系統在絕熱條件和非絕熱條件下的幾何相位結果，得到了二能級系統所滿足的絕熱近似條件是ω/Ω→0.

關鍵詞：量子相位；幾何相位；循回條件；絕熱近似條件

中圖分類號：O413.1 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2015.08.045

1984年，Berry提出“將量子系統作為周期性絕熱演化過程中存在的幾何相位”以來，引起了各界的廣泛關注和研究，并且很快就有實驗得到了相同的結果。在實驗中，之所以能得到與理論值相同的結果，是因為張永德給出了相對應的條件。對于傳統的絕熱近似條件，有很多教材都有詳盡的敘述，近年來，也有人提出，即使傳統的條件被滿足，有時也不能得到自洽的、好的近似結果，并且也提出了一些新的絕熱近似條件。本文探討了二能級系統在絕熱近似條件和非絕熱近似條件下所對應的循回條件和絕熱條件。

二能級系統是最簡單的量子系統，同時，它又是量子特征最強的體系，任何二能級系統都可以化成一個類似自旋1/2粒子在磁場中的哈密頓量。自旋1/2粒子在磁場中的哈密頓量為：

. （1）

式（1）中：μ為粒子磁矩；θ、φ=ωt為球坐標系中的方位角； 為磁場；B為系統磁場的大小。

系統的本征方程為：

. （2）

式（2）中：t為系統演化的時間；B為系統磁場的大小。

利用薛定諤方程并加入初始條件 ，可以得到

任意時刻嚴格解的表達式為：

. （3）

式（3）中： 為普朗克常數；t為系統演化時間；α、β為表示態 的二維自旋態矢量；e為自然對數的底數；i為虛數單位。

在式（3）中：

（4）

1 二能級系統的量子相位

1.1 在絕熱近似條件下的量子相位

二能級系統在絕熱近似條件下的幾何相位（Berry相）為：

. （5）

式（5）中：g為幾何相位的縮寫；T為為演化周期； 為表示對時間t求偏導數；d為表示對時間t的微分。

二能級系統在絕熱近似條件下的動力學相位為：

（6）

二能級系統在絕熱近似條件下的總相位為：

（7）

式（7）中：z為表示系統總相位的縮寫。

式（5）（6）（7）為采用二能級系統在絕熱近似條件下計算得到的相位。其中，式（5）式為Berry相位。

1.2 在非絕熱近似系統中的量子相位

二能級系統在非絕熱近似條件下，對于Pancharatnam相位，其總相位是：

. （8）

二能級系統在非絕熱近似條件下動力學相位為：

. （9）

幾何相位為：

（10）

式（8）（9）（10）為二能級系統在非絕熱近似下的量子相位。

1.3 循回條件和絕熱條件

當二能級系統在非絕熱近似條件下演變一個周期T=2π/ω后，此時：

.（11）

使系統滿足循回條件 ，據此可以得到：

（12）

式（12）為循回條件所滿足的條件，此時，普通的非絕熱條件下的量子相位即為非絕熱循環系統中的A-A相位，在此條件下所對應的初始狀態即為循回初態。

根據A-A相位理論，非絕熱幾何相位的絕熱近似極限給出了Berry相位。假設式（8）和式（7）中的計算結果相同，則可以得到絕熱近似極限的條件為ω/Ω→0.

當滿足絕熱近似極限的條件時，計算非絕熱近似系統中的量子相位為：

幾何相位為：

（13）

總相位為：

（14）

動力學相位為：

（15）

這與絕熱近似系統中的量子相位的結果相同。

上述結果說明，非絕熱近似系統中的循回條件是ω/Ω=整數之比。此時，普遍的PM型相位即為A-A型相位。當滿足絕熱近似條件ω/Ω→0時，二能級系統在絕熱近似條件下和非絕熱近似條件下就有相同的量子相位，這時，Berry相位即為A-A型相位。

2 結論

二能級系統在非絕熱近似條件下演變一個周期后，利用波函數的改變來計算、推導出非絕熱循環系統中的循回條件為ω/Ω=整數之比。利用A-A相位的絕熱近似極限可以給出Berry相位這一條件，比較、計算絕熱近似系統和非絕熱近似系統中的幾何相位。從比較結果中可以看出，在二能級系統中非絕熱近似的情況下，當滿足ω/Ω→0時，絕熱近似條件下的Berry相位就等于非絕熱近似條件下的A-A相位。也就是說，二能級系統在非絕熱近似條件下，本身變化的頻率越小，就越能滿足絕熱近似條件。

參考文獻

[1]Berry M V.Quantum phase factors accompanying adiabatic change[J].Proc Roy Soc，1984（A392）：45-57.

[2]楊志安.非線性系統的非對角Berry相[J].物理學報，2013，62（11）：110302.

[3]張永德.量子菜根譚-量子理論專題分析[M].第2版.北京：清華大學出版社，2013.

〔編輯：白潔〕