基于非對稱漂移雙gamma跳擴散過程的創新冪型期權定價模型

石澤龍　唐志毅

摘要 針對假設股價的對數收益率布朗運動在期權定價時產生的無法解釋股價對數收益率的尖峰厚尾和序列相關性的缺陷，采用了Zhang提出的非對稱漂移雙gamma跳擴散過程來描述資產（股價）的對數收益率運動形態（該過程是kou提出的雙指數跳擴散過程的推廣），并利用Esscher風險中性變換，研究了冪型期權的定價公式.還設計了兩種創新的冪型期權，在非對稱漂移雙gamma跳擴散過程下給出了相應的定價公式.

關鍵詞 非對稱漂移雙gamma跳擴散過程；創新冪型期權；Esscher變換

中圖分類號 F830.9 文獻標識碼 A

AbstractSince the famous BS pricing model was made， Option Pricing's research has been the focus of attention. But the indepth study found that the stock's logarithmic returns of the BS pricing model， which follows the standard Brownian motion， can not explain the fat tail and serial correlation characteristics. So， this paper used the Asymmetrically Displaced Double Gamma JumpDiffusion Process proposed by Zhang to describe the logarithm yield of assets，（the process was put forward by the ms kou double exponential jump diffusion process promotion）， and used the risk neutral Esscher transformation to study the pricing formula of powertype options. Two kinds of innovation power options were designed， and the corresponding pricing formula was given based on Asymmetrically Displaced Double Gamma JumpDiffusion Process.

Key wordsAsymmetrically Displaced Double Gamma JumpDiffusion Process；innovation power options；Esscher transform

1引言

自從Black、Scholes[1]（1973） 在假設股票價格服從幾何布朗運動下得出經典的歐式期權定價公式（簡稱BS模型）以來，期權定價問題逐漸成為人們關注的焦點.但隨著眾學者對現實股票市場進一步研究發現，BS模型至少存在兩方面的缺陷.

一方面，幾何布朗運動僅僅能夠解釋正態分布的股價對數收益率.而現實中，股價的對數收益率往往是尖峰厚尾的.因此近些年，許多學者提出了一些改進的模型[2-5].其中，levy過程已經被證實是一個有效地工具，它能夠刻畫任何想要的分布.然而，在研究期權定價問題時，這些模型很少具有解析表達式.但Kou[6]（2002）將幾何布朗運動與雙指數跳過程結合來，提出了雙指數跳擴散過程，利用該模型得出了歐式期權定價的解析表達式，并通過相應的數值計算驗證了雙指數跳擴散模型能夠解釋尖峰厚尾和波動率微笑等現象.Ramezani等[7]比較了雙指數跳擴散過程、正態分布跳擴散過程及幾何布朗運動，發現雙指數跳擴散過程能更好地刻畫股價的真實分布.為了更好地刻畫股價的真實分布，Detering（2013）[8]提出了對稱漂移雙指數跳擴散過程（SDDE）來描述股價的運動.Zhang（2013）[9]受Detering的啟發，將模型進一步延伸，提出了非對稱漂移雙gamma跳擴散過程來描述股價的運動狀態，并利用Esscher變換得到了風險中性下的歐式期權解析定價式.

因為冪型期權設計簡單且權利金較低，所以近些年冪型期權逐漸成為投資者關注的熱點.為了給出冪型期權的合理價格，許多研究者對冪型期權的定價進行了研究.如趙巍[10]在假設股價服從分數布朗運動下研究了冪型期權的定價，并利用擬鞅方法得到了相應的定價公式.劉敬偉[11]在假設利率服從vasick利率模型和股價服從OU過程下研究了冪型期權的定價問題，并利用鞅方法得到了相應的定價公式.鄧小華等[12]在假設利率服從擴展的Vasick模型和股價服從分數OU過程下，利用鞅定價的方法得到了兩類冪型期權的定價公式并給出了平價關系.趙巍等[13]在風險中性下，將隨機利率看作為計價單位，利用測度變換的方法得到了創新冪式期權的定價公式等等.

本文擬在Zhang提出的分非對稱漂移雙gamma跳擴散過程的基礎上，通過假設股價的對數收益率服從分非對稱漂移雙gamma跳擴散過程，利用Esscher測度變換來研究冪型看漲期權的定價原理，并得出冪型期權的解析表達式.并為了更好地吸引投資者，本文擬設計兩種創新冪式期權，并得到相應的解析表達式.

2非對稱漂移雙gamma跳擴算過程

5結語

為了更好地刻畫股價的對數收益率，本文采用了Zhang提出的非對稱漂移雙gamma跳擴散過程來描述資產（股價）的對數收益率運動形態（該過程是kou提出的雙指數跳擴散過程的推廣），并利用Esscher風險中性變換，得到了冪型期權的解析定價公式.文章還設計了兩種創新的冪型期權，在非對稱漂移雙gamma跳擴散過程下給出了相應的定價公式.

參考文獻

[1]F BlACK， M SCHOLES.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-654.

[2]R C MERTON. The theory of rational option pricing[J]，Journal of Management and Science，1973，4（1）：141-186.

[3]P CARR， LiuRen WU. Timechanged levy processes and option pricing[J].Journal of Financial Economics，2004，71（1）：113-141.

[5]P CARR， H GEMAN， D B MADAN， et al. The fine structure of asset returns： an empirical Investigation[J]. Journal of Business， 2002，75（2）：305–332.

[6]S G KOU. A jumpdiffusion model for optionpricing[J]. Management Science， 2002，48（8）： 1086-1101.

[7]C A RAMEZANI ， Yong ZENG.Maximum likelihood estimation of the double exponential jumpdiffusion process[J].Annals of Finance，2007，3（3）：487-507.

[8]D NILS， A WEBER， U WYSTUP. Return distributions of equitylinked retirement plans under jump and interest rate risk[J].European Actuarial Journal， 2013，3（1）： 203-228.

[9]T MATTHIAS，A Q ZHANG. Analytical option pricing under an asymmetrically displaced double gamma jumpdiffusion model[C]//26th Australasian finance and banking conference 2013：1-46.Available at SSRN： http：//ssrn.com/abstract=2311673 or http：//dx.doi.org/10.2139/ssrn.2311673.

[10]趙巍.分數布朗運動驅動的冪型期權定價模型研究[J].經濟數學，2008， 25（4）： 356-361.

[11]劉敬偉.Vasicěk 隨機利率模型下指數OU 過程的冪型期權鞅定價[J].數學的實踐與認識，2009，39（1）：32-38.

[12]鄧小華，何傳江，方知.隨機利率下服從分數OU過程的歐式冪期權定價[J].經濟數學，2009，26 （1）：64-71.

[13]趙巍 ，何建敏.基于測度變換方法的隨機型創新冪式期權定價[J].中國管理科學，2009，17（3）：35-39.