滯回非線性模型研究現狀

程相文， 洪偉

（河北聯合大學 機械工程學院，河北 唐山 063009）

0 引言

滯回非線性是很常見的系統非線性特性，常用于描述位移或應力和應變力、材料的力和速度之間的滯后關系。在振動利用工程中具有廣泛的實際應用背景［1］。

非線性系統的滯回模型種類很多，大致可以分為分段直線型滯回模型和曲線型滯回模型兩大類，下面對這兩種類型中常用的模型作簡單介紹。

圖1 干摩擦理想模型

1 分段直線滯回模型

1.1 干摩擦理想模型

Den Hartog［2-3］在1931年按能量耗散相等原則用等效黏性阻尼力替代干摩擦力，發展成了等效線性化方法，同時提出了最簡單的滯回非線性的模型—干摩擦理想模型，其表達式為

干摩擦力與速度、位移的關系可用圖1表示。干摩擦力方向與速度方向相反，為一個常數，圖中的矩形面積就是一個振動周期內的能量損耗。C.W.Stammers對半主動干摩擦系統的振動控制進行了研究，干摩擦力在質量控制中的應用取代了只能作用于相反方向的彈性力。干摩擦阻尼器可以用來模擬黏性阻尼器［4］。王華中等［5］以理想的干摩擦模型為基礎，對摩擦力的分布情況進行了分析，得出了摩擦力方向判斷及大小計算的方法。

1.2 雙線性模型

Iwan WD于1961年在干摩擦模型的基礎上，提出了雙線性模型［6］，其數學表達式為

滯后曲線可分解彈性和遲滯兩部分，如圖2所示。這個模型可以描述系統干摩擦時的情況，能夠對滯回回線進行較好的近似。具有簡單的表現形式、少量的物理參數識別、明確的物理意義等特點。

圖2 雙線性模型

胡海巖［7］提出的記憶力模型，是通過實驗對雙線性模型進行了改進，此模型的提出，為非線性隔振器的研究提供了方便。R.Y.Tan［8］提出了一個驗證算法來研究鉛橡膠基座高速公路橋隔振系統的動態特性。用線性模型來表示底座構造，用雙線性滯回模型表示支承體系，并且通過一個數值實例說明了驗證過程和算法的可行性。白鴻柏等運用Floquet理論解決了滯回非線性系統周期解的穩定性分析問題［9-10］。

圖3 Caughy雙線性滯回模型曲線

1.3 Caughy雙線性模型

Caughy［11］于 1960年提出了最早的最簡單的對稱的雙線性滯回模型，其中系統的力—位移曲線由線段組成，如圖3所示。

2個線性彈簧及庫侖阻尼組合成了它的物理系統，此模型可用來研究振動壓實過程中的不對稱滯回模型。

1.4 Neilsen退化雙線型模型

Neilsen提出的退化雙線模型常用于鋼材，如圖4所示。圖中的數字表示不同的作用力下的路線變化。

圖4 Neilsen退化雙線型

其中卸載曲線的斜率Ky表達式為

式中：xy為正負加載的屈服變形的絕對值；K為在變形x

圖5 Clough退化雙線型曲線

2.5 Clough退化雙線型模型

這個滯回曲線模型的提出，主要是為了研究鋼筋混凝土構件，如圖5所示。圖5中數字與圖4中的具有相同意義，退化剛度按照最近一次反向變形的最遠點來計算，例如路線7的斜率由J、C兩點坐標計算如下：

2 曲線滯回模型

2.1 Davidenkov模型

Davidenkov［12］于 1939 年提出了雙參數模型，其數學表達式為

式中：K為滯后環的線性剛度；x為相對位移；n和η為滯后環系數，由實驗確定。滯后曲線如圖6所示。楊紹普［13］利用此模型提出了轉遷極限點的概念；金棟平 等［14］在 Davidenkov模型的基礎上，描述了材料的滯回非線性特性。通過多尺度法和奇點理論得到了此類系統的新的動態特性；陳恩利等［15］對兩系非線性懸掛車輛的運行穩定性與分岔進行了研究，建立了以Davidenkov模型為基礎的動微分方程，為車輛設計和參數選取提供了依據；項偉等［16］結合對土體動力學特性廣泛適用性的基于等效黏彈性理論的修正Davidenkov模型，提出用于求取最大動剪切模量并得到本構方程中所需系數，對該模型中的3個參量多元回歸和對最大動剪切模量自適應逼近迭代的反分析算法。榮棉水等［17-18］利用此模型對渤海海域軟表層土非線性動力本構關系進行了一系列研究。

圖6 Davidenkov模型

2.2 Bouc-Wen模型

由 Bouc［11］于 1967 年提出，Wen 等［19］于 1976 年進一步發展得到了被稱作一階非線性微分方程模型的Bouc-Wen模型，如圖7，其表達式為

圖7Bouc-Wen模型

式中：Z 為滯后恢復力；x為相對位移；x˙為相對速度；α、β、γ、n為參數。

通過對具有滯回非線性恢復力的系統進行研究，Bouc［20］于1967年介紹了一種沿用至今的簡單的光滑滯回模型，它是通過微分方程來進行控制的。1976年Wen［11，21］改進了Bouc-Wen模型，其表達式為

式（8）可以表示一般曲線滯回非線性模型。α、β、γ決定滯回曲線的大小和形狀，常數n決定曲線的光滑程度。調節這些系數，取α=1.0，β=0和γ=1.0，所得到的滯回恢復力系統具有不同的特性，如圖8所示。其中：圖8（a）～（e）中 α<0，β≥0；圖 8（f）～（j）中 α＞0，β<0。

圖8 Brouc-Wen模型在不同參數下的光滑滯回曲線模型

由圖8可知Brouc-Wen模型的光滑滯回曲線特點：

1）當α＞0，β≥0時，系統的恢復力與位移絕對值成反比，即具有軟特性；當α＞0，β<0時，系統的恢復力隨著位移絕對值成正比，即具有硬特性。

2）系統滯回恢復力曲線包含的面積、曲線形狀和系統在振動過程中消耗的能量與α/β比值成正比。

目前，該模型主要用于對土木結構、機械系統的地震隨機響應分析和磁流變阻尼力分析。嚴天宏等［22］在Bouc-Wen模型的基礎上，提出了一個基于軌道結構主動控制的用于非線性滯回隔振系統的改進瞬時主動控制算法，此算法使控制系統的評估更簡單明了，最后運用數字仿真證明了算法的可行性。魯麗雪等［23］討論了動態Bouc-Wen模型的應用條件和滯回環上模型參數的影響，得到了Bouc-Wen動態模型的增益耗散函數表達式，分析了筑壩土石的能量耗散原理，對進一步認識土體動應力-應變特性有一定意義。Spencer［24］在Bouc-Wen模型的基礎上提出了一個新的能夠有效地描述典型磁流變減振器特性的模型，此模型在很大范圍的操作條件下都能保證精確度，同時適用于控制設計和分析；關新春等［25］分析了磁流變耗能器阻尼力和它的一般模型的特性，建立了阻尼力的改進Bouc-Wen模型并確定了模型參數，為磁流變耗能器在結構控制領域的應用提供了基礎；王貞艷等［26］提出了一個針對壓電致動器的基于Bouc-Wen滯回非線性特性的Hammerstein率相關模型，建立了一個基于Bouc-Wen模型的滯回補償器，并且將其與被控對象串聯起來，使系統線性化。

2.3 跡法模型

1987 年 Badrakhan［27-28］提出了跡法模型，其滯后恢復力的表達式為

模型示意圖如圖9所示。跡法模型具有平均和等效原則，形式簡單，振幅和頻率的改變會導致其恢復力的變化，易于根據實驗數據進行擬合。根據不同的階次和參數，可得到不同的形狀，有較為廣泛的使用范圍。

圖9 跡法模型

L.M.Tinker［29］利用跡法模型對建立在螺旋光電隔振器上的鋼絲繩隔振系統的動態特性進行了研究，提出了一個包含非線性剛度、加速度阻尼和可變庫侖摩擦阻尼的半經驗方程，并對實驗數據進行比較。潘東等［30］在跡法模型的基礎上提出了一個用新的參數來描述線性阻尼和干摩擦混合阻尼特性的模型，并通過參數辨識來證明此模型能夠有效地描述混合型阻尼滯回非線性特性。王軻等［31］通過實驗在利用跡法模型建模過程中首先引入了最大位移變形，然后根據恢復力和位移變形之間先后達到最大位移變形的不同的本構關系，得到滑移極限等模型參數，并證明整個識別過程是可行的。龔憲生［32-33］利用跡法模型對以鋼絲繩為基本元件的聯軸器和增強泡沫塑料隔振器的建模和參數識別進行研究，并提出了多種以試驗數據為基礎的數學模型。趙榮國［34］基于跡法模型提出了一個新的非線性隔振系統動力學模型，并且推導出了它的理論表達式。此模型由非線性剛度和非線性滯回阻尼原理構成，將非線性滯回阻尼力表示為位移的函數，這使數字計算更加簡便，減少了測量工作量。

另外，楊紹普等［35］提出了新的跡法模型，他用位移和速度的立方對系統的滯回非線性特性進行模擬，其表達式為

式中：x 為相對位移；x˙為相對速度；k1、k2、c1、c2為參數，由實驗數據擬合。

其滯后回線如圖10所示。楊紹普［35］運用此模型研究了一個基于均值法的多頻激勵滯回非線性系統組合共振，提出了組合共振系統參數的影響。李韶華［36-37］利用這種模型研究了具有滯后非線性的汽車懸架在發生路面多頻正弦激勵下的受迫振動時的混沌運動，得到從準周期運動到混沌運動的軌跡。周艷國等［38］針對金屬橡膠動力學特性提出了三個非線性模型，其中精確推導出了兩種形式的跡法模型和記憶力模型，為金屬橡膠隔振器的建模和參數識別提供了一種實際有效的方法。

圖10 位移和速度3次方模型

3 結論

由上述可見，當系統存在滯回非線性特性時，它的力與位移形成的曲線或者應力與應變形成的曲線會產生滯后回線。滯后回線是由表示彈性力的滯后回線基架線（不隨頻率變化，無能量損耗）和表示阻尼力的純滯后環組成，滯后環可以用不同種類的阻尼來表示，它的面積表示能量損耗。正阻尼時滯后回線走向為順時針，相反，負阻尼時滯后回線走向為逆時針。在分段直線滯回模型中，當滯回曲線的決定因素是第一次正負向加載的力-形變曲線時，第一次正負向加載的開裂點（三線型）和屈服點的載荷和位移值，或者3個（二線型是2個）圖中線段的斜率及其相應轉折點的載荷和位移值必須已知；而Bouc-Wen模型等曲線型滯回模型則具有包括非線性阻尼和非線性剛度在內的較強的適應性，可用來近似描述各種光滑滯回曲線。

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