基于聲子晶體的層疊式方柱型減振結構設計

黃佳　尹進　張昭　張洪武

摘要：基于聲子晶體特性提出一種層疊式方柱型聲子晶體單胞結構，通過沖擊響應譜分析和隨機振動分析考察其周期性結構減振特性，并與相應非周期結構對比.計算結果表明該聲子晶體周期性結構對于沖擊載荷和隨機振動載荷均有較好的減振特性.在三組分材料參數中影響單胞帶隙特性的主要因素是外層材料密度和中間層材料彈性模量.聲子晶體結構的減振效果隨周期數的增加而愈加明顯.組分材料力學性能參數和周期型結構周期數是聲子晶體結構減振設計的主要因素.

關鍵詞：聲子晶體； 單胞結構； 減振設計； 隔振材料； 低頻帶隙

中圖分類號： TH113； O328

文獻標志碼：B

Abstract：A phononic crystal unit cell structure with stacked square columns is designed on the basis of the phononic crystal characteristics. The vibration reduction characteristics of the periodic structure are investigated through the shock response spectrum analysis and the random vibration analysis and compared with that of the corresponding non-periodic structure. The results show that the periodic structure of phononic crystal demonstrates better vibration reduction characteristics in the shock load and random vibration load problems. In the parameters of 3-components material， the density of the material in the outer layer and the elastic modulus of the material in the middle layer are the main factors that affect the band gap of unit cell. The vibration reduction of phononic crystal structure is obviously increased with the increase of the periodic numbers. The mechanical performance parameters of each component material and the periodic numbers of periodic structure are the main factors for the vibration reduction design of phononic crystal structure.

Key words：phononic crystal； unit cell structure； vibration reduction design； vibration isolation material； low frequency band gap

0引言

在航空航天、船舶等領域，沖擊和隨機振動是結構設計中需要考慮的重要力學環境，如火箭發動機點火產生的瞬態沖擊[1-2]、水下武器對船舶攻擊時的非接觸爆炸[3]等，因此考慮沖擊載荷和隨機振動載荷作用的減振設計，對于結構服役安全具有重要意義.

聲子晶體是一種空間周期性排布的多組分復合材料，具有阻擋某些頻率范圍內彈性波和聲波傳播的特性，對應的頻率范圍稱為帶隙或禁帶.[4]該周期性復合材料的最小單元稱為單胞.由聲子晶體單胞構成的有限周期結構稱為聲子晶體結構.作為由天然晶體中電子帶隙類推而來的周期結構，聲子晶體可阻擋彈性波傳播的特性，使得彈性波特別是聲波在聲子晶體中的傳播特性研究受到越來越廣泛的關注.[5-6]聲子晶體的禁帶特性使得其在減振隔振[7]、降噪等領域都有潛在、廣闊的應用前景.值得注意的是，美國國防部高級計劃局大力資助聲子晶體在減振降噪方面的研究，使聲子晶體的應用范圍擴大到飛行器發動機底座、航空電子設備底盤等.[4]對于聲子晶體的研究大多以帶隙特性為重點，以梁板類結構[8-10]、理論分析和一維彎曲、扭轉及二維面內面外振動帶隙[11-15]為主.

目前，對聲子晶體低頻減振特性的三維振動特性研究相對較少.研究三維聲子晶體的結構特性對其進一步工程化應用具有現實意義.聲子晶體的尺寸和禁帶的頻率范圍是需要重點考慮的因素，此外，聲子晶體周期數對減振效果的影響以及聲子晶體單胞材料參數變化對帶隙特性的影響也不容忽視.鑒于此，建立一種具有隔振效果的層疊式方柱型聲子晶體三維模型，考察其周期結構對沖擊載荷和隨機振動載荷的隔振效果，并與非周期結構進行對比.采用多重多級子結構方法[16-18]考察其三維模型的振動帶隙特性和單胞材料參數對帶隙特性的影響，對比分析周期結構和非周期結構傳輸特性，考察周期數對結構傳輸特性的影響.

1基于有限元的帶隙計算方法

聲子晶體研究中沿用晶格理論描述其空間結構的周期性.周期結構的最小重復單元稱為原胞，理想周期結構是由原胞沿著3個不共面的基本平移矢量周期分布構成，這3個基本平移矢量稱為基矢[19]，記為

2.2沖擊響應譜振動分析

考察2種結構的沖擊響應譜振動特性.分別將聲子晶體結構和非周期結構的4根立柱底面設置為載荷輸入面，沿z方向輸入某固體火箭發動機點火時加速度沖擊響應譜[2]，頻率范圍為10～370 Hz，輸入功率譜最大值約100g（g為重力加速度），可計算得到整體結構響應.因上部結構鋼板的響應為考察對象，故單獨取鋼板模型及其結果進行查看，見圖4.鋼板中部z方向加速度響應很小，約為0.23g，整個鋼板最大加速度響應也很小，約為0.33g.

取非周期結構上部的鋼板響應為考察對象，單獨取出鋼板模型及其結果進行查看，見圖5.由此可知：鋼板中部z方向加速度響應較大，約為32.4g；整個鋼板z方向最大加速度響應位于鋼板中心部位.可見，聲子晶體結構上部鋼板中心位置z方向加速度響應僅為一般結構的0.71%，鋼板最大加速度僅為一般結構的1.02%.與非周期結構相比，聲子晶體結構響應值更小，即彈性波穿過聲子晶體結構后具有更小的能量.因此，本文提出的聲子晶體結構具有更好的抗沖擊能力，可在一定程度上減弱沖擊載荷對其周圍結構的不利影響.

2.3隨機振動功率譜分析

考察聲子晶體結構對隨機振動載荷環境的減振效果.分別將聲子晶體結構和非周期結構4根立柱底面設置為載荷輸入面.隨機振動功率譜輸入選取某運載火箭貯箱增壓系統隨機振動工作條件[20]，載荷沿z方向.選取上部鋼板結構中心點z方向加速度響應結果進行分析.聲子晶體結構和非周期結構鋼板中心位置z方向功率譜密度（Power Spectral Density， PSD）見圖6.PSD描述隨機振動條件下結構振動能量密度在頻域上的分布特性.由圖6可知，在給定的隨機振動條件下，聲子晶體結構和非周期結構上部鋼板振動響應能量密度主要集中在20 Hz以上，其中非周期結構PSD最大值為1 641.33 Hz-1，最小值為1.66×10-6 Hz-1；聲子晶體結構PSD最大值為7.03 Hz-1，最小值為7.64×10-20 Hz-1.在該頻率范圍內，聲子晶體結構對應的PSD普遍顯著小于非周期結構，即隨機振動使聲子晶體結構產生的振動在相應頻率上分布的能量密度小于非周期結構.值得注意的是，在60 Hz以上的頻率范圍中，聲子晶體結構產生隨機振動的PSD甚至可以比非周期結構低20個數量級.

為使分析結果更直觀，計算2種結構的PSD均方根值的積分（Cumulative Root-Mean-Square， CRMS）.PSD的CRMS表征能量概念.計算得到聲子晶體結構和非周期結構鋼板中心位置z方向PSD的CRMS結果見圖7.作為對隨機振動響應量能量大小的衡量標準，PSD的CRMS的大小可以反映結構對隨機振動的響應情況.在給定的隨機振動輸入條件下，聲子晶體結構上部鋼板的響應能量遠小于非周期結構的，其中在50 Hz以上的頻率范圍中，聲子晶體結構的PSD的CRMS值一直小于非周期結構，且二者差值越來越大，這與PSD及其CRMS之間的積分關系一致.由2種結構PSD及其CRMS的結果對比可知，聲子晶體結構能夠顯著減小隨機振動對上部結構的影響，說明所提出的聲子晶體結構具有更好的減振特性.

3單胞帶隙特性計算與分析

3.1單胞帶隙特性計算

為進一步對本文提出的聲子晶體隔振特性進行研究，計算該聲子晶體單胞帶隙特性，并分析其影響因素.對前文中的單胞形式進行帶隙特性計算，得到帶隙特性，見圖8.由此可知：在80～310 Hz出現寬度很大的禁帶，說明層疊型方柱聲子晶體單胞具有良好的帶隙特性，可以使頻率范圍較寬且頻率較低的彈性波大幅衰減.這可以解釋該聲子晶體的周期型結構能夠對相應的沖擊和隨機振動問題產生明顯減振效果的現象.

3.2材料參數對單胞帶隙特性的影響

為探討該型聲子晶體單胞帶隙的可調控性，研究單胞材料參數對單胞帶隙特性的影響.當中心質量塊與中間層材料不變時，考察外層金屬材料參數對該聲子晶體單胞帶隙特性的影響.外層金屬主要材料參數有彈性模量、密度和泊松比.分別計算單胞帶隙上下邊界和帶隙中心頻率隨3個材料參數的變化規律，計算結果見圖9a～9c.由此可以看出：外層金屬的彈性模量和泊松比對帶隙幾乎沒有影響，外層金屬的密度只影響帶隙的下邊界；隨著外層金屬密度變大為1 600～31 600 kg/m3，帶隙下邊界先降低后趨于不變，為66～146 Hz，從而帶隙中心頻率也呈現先降低而后趨于不變的趨勢，范圍為230～190 Hz.

當中心質量塊與外層金屬材料不變時，考察中間層材料參數對該聲子晶體單胞帶隙特性的影響.

中間層主要材料參數包括彈性模量、密度和泊松比，分別計算單胞帶隙上下邊界和帶隙中心頻率隨3個材料參數的變化規律，計算結果見圖9d～9f.由此可知，中間層的彈性模量對帶隙的上下邊界均有影響，中間層彈性模量（0.5～3 MPa）越大，帶隙上下邊界越高，上邊界為223～540 Hz，下邊界為56～137 Hz，且上邊界增高的程度隨彈性模量增大而更顯著.因此，中間層彈性模量越大，帶隙寬度Δf越大，為167～403 Hz，帶隙中心頻率fc越高，為139.5～338.5 Hz，帶隙寬度變化程度更為顯著，即相對帶隙rbg=Δf/fc越大；中間層泊松比變大，帶隙中心頻率稍有提高，但帶隙寬度變化不大；中間層的材料密度對帶隙幾乎沒有影響.可見，中間層材料對于該單胞帶隙特性影響較為顯著的參數為彈性模量.

4聲子晶體結構傳輸特性計算分析

4.1傳輸特性計算

為驗證單胞帶隙特性并更直觀地展示其衰減彈性波的作用，考察聲子晶體周期結構和非周期結構的傳輸特性.分別將聲子晶體結構和非周期結構4根立柱底面設置為載荷輸入面，輸入載荷為z方向單位加速度，頻率范圍為0～400 Hz.考察鋼板中心點位置z方向加速度響應a/a0.計算得到2種結構傳輸特性曲線見圖10.

參考結構（非周期結構）相對加速度對數值在0～400 Hz的大部分頻率范圍內都大于0，即參考結構在對應頻率范圍內會將載荷輸入放大.聲子晶體結構在本文考慮的頻率范圍內的絕大頻域上產生的相對加速度對數值都小于0，即聲子晶體結構在對應頻率范圍內會將載荷輸入衰減.其中，在30～400 Hz頻率范圍內存在寬頻率段衰減現象，衰減范圍與上文計算得到的聲子晶體單胞帶隙特性一致，且有限周期聲子晶體結構在比帶隙范圍更大的頻域范圍內也存在使載荷輸入衰減的效果，因此聲子晶體具有良好的減振作用.

4.2周期數對振動特性的影響

為考察聲子晶體周期數量對周期結構隔振效果的影響，分別建立1周期和2周期聲子晶體模型并計算其傳輸特性，有限元模型見圖11.

分別對1，2和3周期時聲子晶體結構傳輸特性進行計算，得到其傳輸特性曲線，見圖12.3種周期數的聲子晶體結構z方向加速度均在50 Hz處開始衰減，在50～310 Hz范圍內有很顯著的衰減效果，這

與上述計算得到的單胞帶隙特性一致.3種聲子晶體結構相對加速度最小值均出現在200～250 Hz范

圍內，1周期結構加速度響應最小值較輸入小6個數量級，2周期結構小10個數量級，3周期結構小

12個數量級.

由此可見，周期數分別為1，2和3時，聲子晶體結構在帶隙范圍內均有減振效果，周期數越大，減振效果越顯著.在對于減振要求不高的情況下，單胞形式的1周期聲子晶體結構即可實現一定的減振功能.

5結論

基于聲子晶體概念建立層疊式方柱型隔振材料單胞，具有能夠衰減較寬的低頻彈性波的特性.通過對該型單胞的帶隙特性及其周期結構振動特性分析，得到以下結論.

1）層疊式方柱型聲子晶體單胞的有限周期結構具有很好的隔振效果，可以大幅衰減振動頻率在其單胞帶隙范圍內的彈性波，較一般非周期結構有明顯的隔振效果.

2）層疊式方柱型聲子晶體單胞具有良好的帶隙特性，可以使相應頻率范圍內的彈性波大幅衰減.

3）聲子晶體結構中影響帶隙特性的主要設計參數為外層材料密度和中間層材料彈性模量.

4）周期聲子晶體結構具有良好的減振特性，并且隨著周期數的增加，減振效果愈加明顯.

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（編輯武曉英）