循環(huán)行列式的求法

張慧萍

（內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院社科基礎(chǔ)部，呼和浩特 010022）

循環(huán)行列式的求法

張慧萍

（內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院社科基礎(chǔ)部，呼和浩特 010022）

循環(huán)行列式是線性代數(shù)中一類特殊的行列式，在實(shí)際當(dāng)中也有其重要的應(yīng)用。給出循環(huán)行列式的概念，通過(guò)舉例的形式給出簡(jiǎn)單循環(huán)行列式的計(jì)算方法，即化為上三角形行列式進(jìn)行計(jì)算，且得到此類行列式的計(jì)算公式，進(jìn)而利用n次多項(xiàng)式的根得到一般循環(huán)行列式的計(jì)算方法。

循環(huán)矩陣；循環(huán)行列式；多項(xiàng)式；根

循環(huán)行列式是線性代數(shù)中一類具有特殊結(jié)構(gòu)的行列式，也是線性代數(shù)中的研究熱點(diǎn)，在許多的實(shí)際問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用。本文首先給出循環(huán)矩陣、循環(huán)行列式的概念，進(jìn)而通過(guò)舉例的方式給出簡(jiǎn)單的循環(huán)行列式的計(jì)算方法，最終得到一般的循環(huán)行列式的計(jì)算方法。

定義1[1]設(shè)a1，a2，…，an是n個(gè)復(fù)數(shù)，稱矩陣

是以a1，a2，…，an為元素的n階循環(huán)矩陣。則循環(huán)矩陣A的行列式即為n階循環(huán)行列式。

下面，我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的循環(huán)行列式，并給出具體的計(jì)算方法，并得到最終的計(jì)算公式。

例1計(jì)算10階行列式

分析：這個(gè)行列式中的所有元素都是已知的，且沒有零元素，若利用行列式的性質(zhì)將其化為上三角形行列式，則可以得到行列式的結(jié)果。

為了能夠看清楚行列式的具體構(gòu)造，我們不妨多寫幾行幾列，在計(jì)算中也能夠更加方便地得知下一步的計(jì)算方法。由于行列式的每行元素都是1，2，…，10這十個(gè)數(shù)，因此，首先我們可以將第2列到第10列的元素都加到第1列，進(jìn)而提取公因子進(jìn)行計(jì)算。然后，通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)行列式的第1列元素都是1，所以將第1行的-1倍分別加到第2行到第n行進(jìn)行消零。再觀察所得到的行列式，我們將所得行列式的第2行的i-1倍分別加到第i行上，其中i=3，4，…，9，另外，將第2行直接加到第10行，即得到我們想要的上三角形行列式。最終，行列式的結(jié)果即為主對(duì)角線元素的乘積。具體的計(jì)算過(guò)程如下：

解

例2計(jì)算下面的n階循環(huán)行列式

解

由此可知，由例1所猜測(cè)的此類n階循環(huán)行列式的結(jié)果是正確的，即：

所以，我們遇到此類行列式可以直接套用公式（1）計(jì)算即可，為我們計(jì)算填空題或選擇題提供了方便，也可以為計(jì)算類題型計(jì)算結(jié)果的提供檢驗(yàn)。

除了上面例1、例2所給的循環(huán)行列式，我們還會(huì)遇到變形后的循環(huán)行列式，下面我們也給出此類行列式的計(jì)算過(guò)程及其最終的計(jì)算公式。

例3 計(jì)算下面的n階循環(huán)行列式

與例2類似的計(jì)算方法，我們可以得到此行列式的計(jì)算結(jié)果為：

也就是說(shuō)，此行列式的結(jié)果與例2所給行列式的結(jié)果在符號(hào)上是有區(qū)別的，因此，我們把（2）式也作為計(jì)算此類循環(huán)行列式的一個(gè)公式，但在應(yīng)用的時(shí)候要注意的是結(jié)果中的符號(hào)。

除了上面所給類型的循環(huán)行列式，更一般的構(gòu)造n階循環(huán)行列式的數(shù)是a1，a2，…，an這n個(gè)復(fù)數(shù)，對(duì)于這樣的循環(huán)行列式，用上述的計(jì)算方法就不是很方便了，因此我們利用多項(xiàng)式的根來(lái)進(jìn)行求解，可以得到下面的結(jié)論。

定理1[2]設(shè)A是以n個(gè)復(fù)數(shù)a1，a2，…，an為元素的n階循環(huán)矩陣，則矩陣A的行列式，

其中，f（x）=a1+a2x+…+an-1xn-2+anxn-1是復(fù)數(shù)域上的n-1次多項(xiàng)式，ω1，ω2，…，ωn是多項(xiàng)式xn-1的n個(gè)根。

利用定理1，我們將其應(yīng)用于例2，可得Dn= f（ω1）f（ω2）…f（ωn），其中ω1，ω2，…，ωn是多項(xiàng)式xn-1的n個(gè)根，且此處，則通過(guò)計(jì)算可知：

與化為上三角形行列式計(jì)算的結(jié)果是一致的。

需要說(shuō)明的是，利用定理1求解n階循環(huán)行列式，要求解n次多項(xiàng)式的n個(gè)根，且需將此n個(gè)根分別代入n-1次多項(xiàng)式f（x）中進(jìn)行求值，然后再求乘積，計(jì)算量也是比較大的，但要解決由定義1所給n階矩陣的循環(huán)行列式，即構(gòu)造行列式的n個(gè)復(fù)數(shù)是任意給定時(shí)，定理1所給的方法就體現(xiàn)出了優(yōu)越性。我們?cè)谟?jì)算的時(shí)候可以根據(jù)所給行列式的特點(diǎn)自行把握，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算。

[1] 張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，1979

[2] 賈璐，姚光同，有關(guān)循環(huán)矩陣行列式的計(jì)算及其應(yīng)用[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005-4，18（2）

Solution Method of Recurrent Determinant

ZHANG Hui-ping
(Department of Basic and Social Science,Inner Mongolia Business and Trade Vocational College,Huhhot 010022)

Cyclic determinant is a class of special determinant in the linear algebra,and there are important applications in the actual.Gives the conception of the cyclic determinant,by the way of giving examples,obtains the computing method of the simple cyclic determinant, changes into a triangle on the determinant to calculate.And obtains the computational formula of this class determinant,and makes use of the roots of the polynomial of degree n,obtains the computing method to solve the general cyclic determinant.

Circulant Matrix;Recurrent Determinant;Polynomial;Roots

1007-1423（2015）03-0022-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.03.006

張慧萍（1979-），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育教學(xué)

2014-12-09

2014-12-30