斜拉索振動信號的包絡線稀疏復原算法

徐靜妹，葉慶衛，王曉東，周宇

(寧波大學信息科學與工程學院，浙江寧波315211)

斜拉索振動信號的包絡線稀疏復原算法

徐靜妹，葉慶衛，王曉東，周宇

(寧波大學信息科學與工程學院，浙江寧波315211)

經驗模態分解算法在故障診斷、信號去噪、趨勢預測和趨勢消除等很多領域具有廣泛的應用價值。信號包絡線提取是經驗模態分解算法的核心關鍵技術，直接影響分解結果的效果。目前在信號處理中常用的包絡分析法有Hilbert變換、廣義檢波濾波、三次樣條插值法和偏微分方程建模等，但是這些方法存在提取包絡線精度不高、端點效應等不足，尤其是端點抖動效應導致很大的包絡線提取誤差。將信號的極值點看成是包絡線信號的某一變換域上稀疏采樣點，引入了稀疏優化算法對這些極值點進行包絡線的稀疏優化復原。首先研究分析包絡線的平穩變化特性，以此構建變頻的DCT稀疏基;其次求解信號的極值點，以信號的極值點集用于稀疏優化算法的觀測值;然后采用正交匹配追蹤算法進行包絡線的稀疏復原求解;最后對實際斜拉索振動信號進行算法測試和應用，通過與三次樣條插值法進行比較分析，結果表明本算法不僅可以提高提取信號包絡線的精度，還可以有效的抑制端點效應。

經驗模態分解;Hilbert變換;三次樣條插值;稀疏復原;端點效應

經驗模態分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)是由美籍華裔科學家Huang等提出的一種基于瞬時頻率的信號處理方法，它能夠克服傅里葉變換、短時傅里葉變換和小波分析等信號分析方法存在的局限，主要用于處理非穩態、非線性的時變頻率信號［1］。EMD作為新提出的信號處理方法在故障診斷、信號去噪和趨勢預測和趨勢消除等很多領域具有廣泛的應用價值。而EMD算法的關鍵技術是包絡線的提?。?］。斜拉索作為斜拉橋和懸臂橋的主要受力構件，振動信號能實時反映出斜拉橋外界環境激勵及拉索荷載的變化。拉索具有質量輕，結構柔及阻尼低等特點，在外界激勵與支撐端運動作用下易產生大幅振動，對斜拉索的安全性與耐久性構成極大威脅［3－5］。采用經驗模態分解算法對斜拉索振動信號進行分析，可以實時對橋梁進行故障檢測，為橋梁的安全使用提供保障［6］。

在信號處理中常用的包絡提取方法有:Hilbert變換、廣義檢波濾波和三次樣條插值法及其改進算法等。但這些方法都存在不足。Hilbert變換法存在隨機噪聲，使得提取的包絡線精度不高;廣義檢波法要求必須知道包絡成分的頻率，而且帶有混頻效應;三次樣條插值法存在最棘手的端點效應問題［7］。

針對三次樣條插值法提取信號包絡線的端點效應問題，目前已有學者提出了一些改進算法。鄧擁軍等［8］提出用神經網絡技術對數據序列進行延拓的算法。該算法使用的是一種單層、單神經元和線性神經網絡。先由學習過程確定網絡模型的權重向量和偏移量，再由此模型對原數據進行左右延拓。對于大多數信號數據，神經網絡延拓算法都可以很好地抑制端點效應，該算法最大的不足就是速度太慢。趙進平等［9］提出了鏡像延拓算法。該算法把原數據序列對稱地延拓成一個環形數據，再對環形數據進行平穩化處理，輸出各本征模態函數(Intrinsic Mode Function，IMF)分量。鏡像延拓算法是一種理想的算法，但是較占存儲空間，而且如趙進平所說，鏡像延拓一般要求把鏡面放在極值點處，當無法確定一個數據序列的端點數據是否是極值點時，最好截去一部分數據以便把鏡面放在極值點處。如果處理一個短數據，不適合截去時，處理效果就欠佳。

本文針對三次樣條插值存在的端點效應問題，提出了基于稀疏復原提取信號包絡的算法。①根據包絡線的平穩特性構建變頻寬的稀疏基;②求解信號的極值點，以信號的極值點作為稀疏優化算法的觀測值，然后采用正交匹配追蹤算法進行稀疏復原求解信號的包絡線;③通過對實際提取的斜拉索振動信號進行實驗仿真，比較分析后，基于稀疏復原方法可以有效的克服Hilbert變換和三次樣條插值提取信號包絡中存在的問題，即不僅可提高提取信號包絡線的精度，而且能有效的抑制端點效應。

1 信號包絡線求解基本原理

1.1 希爾伯特變換包絡檢波原理

將一段時間長度的高頻信號的峰值點連線，就可以得到上方(正的)一條線和下方(負的)一條線，這兩

它的實質是使信號產生90°的相移［11］，其中(t)為實信號x(t)的希爾伯特變換信號。

求解信號包絡線的原理就是讓測試信號產生一個90°的相移，從而與原信號構成一個解析信號。求出它的幅值信號，此信號就構成包絡。實信號x(t)經希爾伯特變換得到信號(t)，二者構成一解析函數式z(t)，可表示為

由此得到振動信號的幅值信號為條線為包絡線。包絡線就是反映高頻信號幅度變化的曲線。對于等幅高頻信號，這兩條包絡線就是平行線。當用一個低頻信號對一個高頻信號進行幅度調制(即調幅)時，低頻信號就成了高頻信號的包絡線。這樣的信號稱為調幅信號。從調幅信號中將低頻信號解調的過程，稱為絡檢波，即包絡的求解過程［10］。

一個實信號x(t)的希爾伯特變換定義為

上述過程完成了對信號的解包絡分析。采用基于希爾伯特變換提取信號包絡譜的方法可以有效地提取調制頻率及具有一定的抗噪性。但是當信號信噪比變小時，Hilbert變換法的包絡誤差會隨之增大。導致所提取的信號包絡不光滑，影響了包絡提取的精度。在實際中，包絡解調前必須選取一個沖擊激起的受環境干擾小的高頻振動，并以其為中心頻率進行窄帶濾波，然后再對濾波后的信號進行包絡分析。因此采用希爾伯特變換法提取信號包絡線只具有理論研究意義，對于實際信號并不實用。

1.2 三次樣條插值法求解信號包絡線的基本原理

在實際中，我們常用的信號包絡線的提取方法是三次樣條插值法。三次樣條插值法是根據信號的有限采樣點即插值節點以及信號的邊界條件求解信號的具體求解過程參照文獻［12］。利用三次樣條插值方法求解包絡線即分別以信號的極大值點和極小值點作為信號的上包絡線的插值節點和下包絡線的插值節點，通過求解相應的插值函數擬合出信號的上、下包絡線。

用三次樣條插值擬合的信號包絡不僅有很好的光滑度，而且當節點逐漸加密時，能夠很好的提高信號包絡提取的精度。EMD通過多次的篩選過程來逐個分解IMF。在每一次的篩選過程中，要根據信號的上、下包絡來計算信號的局部平均值;上、下包絡是由信號的局部極大值和極小值通過樣條插值算法給出。由于信號兩端不可能同時處于極大值和極小值，因此上、下包絡在數據序列的兩端不可避免地會出現發散現象。以左端點為例，如果該點為極大值點，那么上包絡線可以把它作為左端終點，不會發生大幅度的擺動;對于下包絡線由于左端點不是極小值點，則無法確定它的左端終點，產生大幅度的擺動，給篩選過程引入誤差，并且這種發散的結果會隨著篩選過程的不斷進行逐漸向內“污染”整個數據序列而使得所得結果嚴重失真，這也就是所謂的端點效應問題。圖1為利用樣條函數對一個序列計算上下包絡的實例，可以看出，利用三次樣條插值法所得到的上、下包絡線都出現了失真。

圖1 利用三次樣條插值法提取的一組信號包絡線Fig.1 The signal envelope extracting based on cubic spline interpolationmethod

2 基于稀疏復原的信號包絡線提取原理

2.1 采用變頻寬DCT基進行稀疏復原的包絡線提取的原理

對原始信號x(t)求解其極大值點得到極大值點序列xa(t)，xa(t)=［xa1，xa2，xa3，…，xai，…，xaK］，其中xai為x(t)的第i個極大值點，1≤i≤K，K為極大值點的個數。對原始信號x(t)求解其極小值點得到極小值點序列xb(t)，xb(t)=［xb1，xb2，xb3，…，xbi，…，xbL］，其中xbi為x(t)的第i個極小值點，1≤i≤L，L為極小值點的個數。

基于稀疏復原的方法求解信號包絡線的基本思想是把信號x(t)的上(或者下)包絡線看成是一條某一變換域下的稀疏信號，把信號的極大值點集xa(t)(或者極小值點序列xb(t))看成是經過稀疏采樣后的點集。然后根據稀疏復原的方法擬合出極大(或者小)值點的曲線xs(t)。但是在稀疏復原的過程中由于稀疏基、觀測矩陣的不同會求出不同的曲線。因此可以根據包絡線平穩變化的特性選擇合適的稀疏基，從而可以自適應提取出最佳的信號包絡線xm(t)。

由于信號的包絡線結構比較復雜，很難根據信號特征來構建自適應的稀疏字典，故采用通用的稀疏基來進行稀疏復原。常用的稀疏基有DFT基、DCT基和小波基等，本文是根據信號包絡線的平穩特性自適應構建變頻寬的離散余弦變換基(Discrete Cosine Transform，DCT)Ψ，定義變化因子m，構建變頻寬的DCT基表達式為:

式(4)中:N為所構建DCT基的維數，即原始信號x(t)的采樣點數，m為變換因子，主要用于改變DCT基的頻寬來構建變頻寬的DCT基。利用不同的DCT基進行稀疏復原獲得多條不同的曲線，從恢復的曲線中找出一條變化最平穩的信號作為最佳包絡線，故本文提出的方法可以根據信號的特征自適應地提取出信號的最佳包絡線。此處信號包絡線的平穩特征是指在包含所有峰值點基礎上的平穩變化。如果信號本身存在突變，那么突變峰值點也會包含在里面。

恢復信號的變化程度是通過恢復的信號的一階微分體現的。定義一個微分矩陣D，dij表示D的元素(i =1，2，3，…，(n－1)，j=1，2，3，…，n)，其中dij=1，di(j+1)=－1，矩陣D中的其他元素均為零。將已經恢復的信號與微分矩陣相乘即可獲得信號的一階微分信號D(t)，最終提取的最佳包絡線即是從恢復的多個曲線中找出滿足D(t )最小的曲線，D(t)表示信號D(t)的2范數，本文定義D(t )為已恢復信號的平穩度函數。綜上所述，可得到基于稀疏復原求解信號包絡線的數學模型為:

式中:H為感知矩陣，s為待求的稀疏解，yr為觀測值，即信號的極大值點序列xa(t)或者信號的極小值序列xb(t)，Ψ為稀疏基，本文使用的稀疏基是根據信號包絡線的平穩特性自適應構建的變頻寬的DCT基，xs(t)即是恢復出的原始信號，即信號包絡線，根據不同頻寬的DCT獲得不同的信號包絡線，從中選擇最佳包絡線xm(t)。

但是上述表達式是個非凸問題，很難求解，故需要簡化模型，分步求解。即先利用稀疏復原方法求解以下模型:

式(6)使用稀疏優化算法很容易求解，將求得的結果代入式(7)中即可提取出信號包絡線。然后通過改變變化因子m，從中恢復的曲線中找出一條使得最小的稀疏信號。

2.2 基于稀疏復原提取信號上包絡線的具體實現

首先求解信號x(t)的極大值點，獲得極大值點序列xa(t)，初始化變化因子m的值，令m=1，根據式(4)來構建變頻寬的DCT基Ψ，以信號的極大值點序列xa(t)作為觀測序列，以Ψ作為稀疏基，采用OMP算法進行稀疏復原，得到恢復曲線xs(t)，即信號的包絡線，根據式(5)求解xs(t)的一階微分Dm(t)，‖Dm(t)‖表示當變頻寬DCT基的變化因子的值為m時恢復出曲線的平穩度函數，根據m=m+1來更新變化因子m的值，比較不同變換因子所對應‖Dm(t)‖的大小，從中找出使得‖Dm(t)‖最小的恢復信號xs(t)，即為所要求解的最佳上包絡線xm(t)。綜上所述。基于稀疏復原的信號上包絡線求解算法的流程圖見圖2，由于提取信號下包絡線的原理相同，在此不多做說明。

圖2 基于稀疏復原的信號上包絡線求解算法的流程圖Fig.2 The flow chart on signal envelope algorithm based on sparse restoration

基于稀疏復原的信號包絡線求解算法的主要步驟是利用OMP算法對信號的極值點進行稀疏復原［13］，OMP算法的具體過程見圖3。

圖3 正交匹配追蹤算法的流程圖Fig.3 The flow chart on Orthogonal Matching Pursuit algorithm

3 仿真實驗以及結果分析

3.1 采用稀疏復原方法提取信號包絡線仿真結果

通常斜拉索振動信號的兩個主模態頻率為0.8 Hz和3 Hz，故采用的仿真信號的主模態頻率f1=0.8 Hz，次模態頻率f2=3 Hz，所加的微弱干擾信號頻率f3= 10 Hz。

仿真信號采用的是一維雙模態信號x(t)，采樣點數為500個，信號取值范圍為［0，3］s，

利用稀疏復原方法對信號x(t)的極值點進行曲線擬合時，由實驗可知，通過改變DCT基的頻頻寬度可以自適應地找到一條符合包絡線緩慢變化特性的最佳擬合曲線，即可以找到一條變化程度最小的最佳包絡線。圖4表示基于稀疏復原與基于三次樣條插值方法提取出的信號上包絡線比較，橫軸表示的是時間，縱軸表示信號幅值，圖4中m是改變DCT基頻寬的變化因子(假設變化前DCT基頻寬為B，則變化后DCT基頻寬變為B/m)，dd表示的是采用壓縮感知思想擬合出曲線的變化程度。由于包絡線具有變化緩慢的特性，因此dd越小越好。比較可得當m=7時，dd的值最小。由圖4可知，基于疏復原提取的信號包絡線不僅能有效的抑制端點效應，而且在信號的中間點擬合出的包絡線與三次樣條插值提取出的信號包絡線幾乎完全重合，由此可知本文提出的基于稀疏復原提取出的信號包絡線可以有效的抑制端點效應。同理可以提取出信號下包絡線(見圖5)。

圖4 基于稀疏復原與基于三次樣條插值方法提取出的信號上包絡線比較Fig.4 The comparison chart on extracted the signal upper envelope based on sparse recovery and based on cubic spline interpolationmethod

圖5 基于稀疏復原與基于三次樣條插值方法提取出的信號包絡線比較Fig.5 The comparison chart on extracted the signal envelope based on sparse recovery and based on cubic spline interpolationmethod

3.2 基于稀疏復原提取信號包絡的抗噪性能分析

為分析本文提出算法的抗噪性能，本文對一維雙模態信號x0(t)加一高斯白噪聲n(t)，得到已加噪信號x1(t)。對已加噪信號x1(t)進行仿真。由于通常斜拉索振動信號的兩個主模態頻率為0.8 Hz和3 Hz，故為了說明本文提出算法實際意義，信號的頻率采用主模態頻率為f1=0.8 Hz，次模態頻率為f2=3 Hz，所加的微弱干擾信號頻率f3=10 Hz。采樣點數為500個，信號取值范圍為［0，3］s

在MATLAB中利用awgn函數為信號x(t)添加高斯白噪聲，通過設定變量R的值來改變信號的信噪比。下面以提取加噪信號的上包絡線來分析基于稀疏復原提取信號包絡的抗噪性能(見圖6)，圖6(a)表示的是當R=15，即信號的信噪比設置為15 dB時，基于稀疏復原與基于三次樣條插值方法提取出的信號上包絡線的比較，為了更清晰地體現本文提出算法抑制端點效應的效果，對圖6(a)進行局部放大，得到圖6(b)，由此圖分析可得，當信噪比較大的情況下，基于稀疏復原提取信號包絡不僅精確的提取出信號包絡線，而且仍可以有效地抑制端點效應。改變R的值，減小信號的信噪比為10 dB，如圖7所示，同樣圖7(b)為圖7(a)的局部放大圖，由圖7(b)可以清晰地觀察出，基于稀疏復原的方法仍可以有效的抑制端點效應問題，但是與大信噪比的信號相比，恢復出的信號包絡線的精度降低，因此采用稀疏復原的方法提取信號的包絡線的抗噪性能有待提高。

圖6 信噪比為15 dB時兩種方法提取已加噪信號上包絡線比較Fig.6 Thecomparison chart of twomethods of extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 15 dB

圖7 信噪比為10 dB時兩種方法提取已加噪信號上包絡線比較Fig.7 Thecomparison chart of twomethods of extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 10 dB

4 基于稀疏復原的信號包絡線提取在EMD算法中的應用

用本文提出的算法對實際采集的振動信號提取包絡線。工程數據采自寧波某斜拉索大橋，大橋全長67 m，由102根徑長為0.15 m拉索構成拉索支撐系統;采用WS－ZHT2振動設備和雙傳感器采集振動信號，雙傳感器安裝在拉索和梁端的鉸支部位，能有效感應索－梁耦合的拉索振動［14］(見圖8)。

圖8 傳感器安裝圖Fig.8 The picture of sensor installation

采用本文提出的算法對實際采集的斜拉索振動信號進行包絡線的提取，本實驗仿真中采樣頻率fs=100 Hz，采樣時間是0～1 s，采樣1 024個點。仿真結果見圖9，此圖表示的是基于稀疏復原方法與三次樣條插值方法提取斜拉索振動信號包絡線的比較，圖中橫軸表示的是時間，縱軸表示的是信號的幅值。由圖9可知，在信號的非端點處采用本文提出的算法提取出的信號包絡線與基于三次樣條插值方法提取出的包絡線幾乎完全重合，在端點處明顯看出本文提出的算法能夠有效地克服三次樣條插值方法過程中存在的端點效應，故本文提取出的算法提取的信號包絡線優于三次樣條插值方法提取的信號包絡線，證明了本文提取出的算法的有效性。由此說明本文提出的算法不僅能夠較精確地提取出斜拉索振動信號的包絡線，而且可以有效地抑制端點效應。

圖9 基于稀疏復原方法與三次樣條插值方法提取斜拉索振動信號包絡線的比較Fig.9 The comparison chart on extracted the envelope of stay cable vibration signal based on sparse ecovery and based on cubic spline interpolationmethod

將本文提出的提取包絡線的方法應用到EMD分解中，并且對實際采集的斜拉索振動信號進行EMD分解，本實驗仿真中采樣頻率fs=100 Hz，采樣時間是0～1 s，采樣512個點。仿真結果見圖10。圖10表示分別采用稀疏復原方法提取信號包絡線的EMD分解結果的比較，圖11表示采用三次樣條插值方法提取信號包絡線的EMD分解結果。兩圖中IMF1、IMF2和IMF3分別表示經過EMD分解得到一階、二階和三階本征模態函數。比較分析知，采用本文提出的方法進行斜拉索振動信號包絡線提取的EMD分解效果很好，能夠較好地抑制端點效應，在高頻分量上差異還不是很明顯，由于包絡線的誤差不斷積累，在低頻分量上表現出了明顯的差異。從圖11可知，兩種方法得到的前兩個IMF分量差異不大，但是第三個分量表現出了明顯的不同，即采用本文提出的方法進行信號包絡線提取的EMD得到的本征模態函數IMF的對稱性優于采用三次樣條插值法提取包絡線的EMD分解所得結果，故說明本文提出的方法可以有效地克服EMD分解過程中的端點效應，從而提高了EMD分解的效果，因此本文提出的基于稀疏復原的信號包絡線的提取方法對于橋梁的故障檢測具有重要意義。

圖10 基于稀疏復原方法提取斜拉索振動信號包絡線的EMD分解結果Fig.10 EMD decomposition results based on sparse recovery extract the stay cable vibration signal envelope

圖11 基于三次樣條插值方法提取斜拉索振動信號包絡線的EMD分解結果Fig.11 EMD decomposition results based on cubic spline interpolation extract the stay cable vibration signal envelope

5 結論

本文提出了一種新的提取信號包絡線的方法，即基于稀疏復原提取信號包絡線，該方法根據信號包絡線的平穩特性自適應構建變頻寬的DCT基，從而能夠根據自適應地提取信號的最佳包絡線。與三次樣條插值法提取信號包絡線比較，由仿真結果可以得出本文提出的方法不僅可以提高信號包絡線的精度，而且可以有效的抑制端點效應?；谙∈鑿驮崛⌒盘柊j線的這一特性使其在EMD分解中可以得到廣泛的應用。本文通過比較采用稀疏復原方法和三次樣條插值方法提取斜拉索振動信號包絡線的EMD分解結果，說明了本文提出方法的有效性，從而證明了稀疏復原方法在橋梁故障檢測中具有重要的應用價值。

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Envelope sparse recovery algorithm for stay cable vibration signals

XU Jing－mei，YE Qing－wei，WANG Xiao－dong，ZHOU Yu
(Information Science and Engineering College，Ningbo University，Ningbo 315211，China)

Empirical mode decomposition(EMD)has extensive applications in a lot of fields，such as，fault diagnosis，signal de－noising，trend prediction and trend elimination.The key of EMD technique is to extract the signal envelope，it directly affects the effects of decomposition results.Currentenvelope analysismethods in signal processing are Hilbert transformation，generalized detection and filtering，cubic spline interpolation and modeling of partial differential equations，etc.However，the disadvantages of these methods are the lower accuracy for envelope extraction and the end effects，etc，especially，the jitter effect of ends leads to a larger envelope extraction error.Here，the extreme points of a signal were regarded as spare sampling points of its envelope signal in a certain transformation domain，the sparse optimization algorithmswere introduced to do envelope sparse optimal recovery for these extreme points.Firstly，the steady change characteristics of the envelope were studied to construct a DCT sparse base with varying frequency;secondly，the extreme points of the signal were solved and the extreme points of the signal were taken as observation values for sparse optimization algorithms;then，the orthogonalmatching pursuit algorithm was used to do solving envelope sparse recovery.Finally，the actual stay cable vibration signals were employed for algorithm testing and applications.Through a comparative analysiswith the cubic spline interpolation method，the results showed that the proposed algorithm can not only improve the accuracy of extracting signal envelope but also can effectively inhibit the end effect.

empirical mode decomposition(EMD);Hilbert transformation;cubic spline interpolation;sparse recovery;end effect

TP391.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.033

國家自然科學基金(61071198);浙江省自然科學基金(LY13F010015);浙江省重點科技創新團隊子項目(421400250);浙江省重中之重學科開放基金(xkx11417);寧波市自然科學基金(2012A610019)

2015－01－23修改稿收到日期:2015－05－25

徐靜妹女，碩士，1990年生

葉慶衛男，副教授，1970年生