水平層狀電各向異性介質(zhì)大地電磁正演研究

劉鴻洲，安亞婷

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)a．構(gòu)造與油氣資源教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b．資源學(xué)院，武漢 430074）

水平層狀電各向異性介質(zhì)大地電磁正演研究

劉鴻洲a，b，安亞婷a，b

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)a．構(gòu)造與油氣資源教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b．資源學(xué)院，武漢 430074）

電各向異性現(xiàn)象在地球內(nèi)部是普遍存在的，通過(guò)理論上推導(dǎo)的電各向異性介質(zhì)的張量電導(dǎo)率的表達(dá)式及水平層狀電各向異性介質(zhì)的大地電磁正演公式，對(duì)一些地電模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，同時(shí)與電各向同性地電模型進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，電各向異性介質(zhì)的張量電導(dǎo)率的大小不僅與介質(zhì)的固有電阻率性質(zhì)有關(guān)，還與測(cè)量的方向有聯(lián)系；電各向異性系數(shù)和相對(duì)測(cè)量角的變化都對(duì)地層的視電阻率和相位曲線振幅有較大的影響，但其曲線形態(tài)基本保持不變；當(dāng)野外觀測(cè)方向和電各向異性介質(zhì)的電性主軸重合時(shí)，電各向異性介質(zhì)模型可以看成兩個(gè)獨(dú)立的電各向同性介質(zhì)模型。這些結(jié)果有助于以后的電各向異性介質(zhì)實(shí)驗(yàn)研究和其大地電磁反演研究。

張量電導(dǎo)率；大地電磁測(cè)深；電各向異性；正演研究

0 引言

常規(guī)大地電磁測(cè)深（Magnetotelluric，MT）往往假設(shè)地下介質(zhì)為電各向同性。近年來(lái)隨著地球物理技術(shù)方法的進(jìn)展和地球認(rèn)識(shí)的逐漸深入，地球的電各向異性問(wèn)題越來(lái)越引起人們的關(guān)注，越來(lái)越多的證據(jù)［1－8］也表明：地殼和上地幔通常是電各向異性的，地球介質(zhì)的物理性質(zhì)（如彈性，導(dǎo)電性，磁性，導(dǎo)熱性和密度等）存在明顯的電各向異性，地球內(nèi)部介質(zhì)的電各向異性是地球科學(xué)的難點(diǎn)和前沿課題。MT法與其他方法（如地震）相比，其成本低、探測(cè)深度大，是地殼上地幔探測(cè)的主要方法之一，能很好地揭示出介質(zhì)的電各向異性。

一維大地電磁電各向異性介質(zhì)正演研究從上世紀(jì)60年代到如今已經(jīng)發(fā)展了半個(gè)多世紀(jì)，國(guó)外有較成熟的研究，O'Brien等［9］及Reddy等［10］分別推導(dǎo)了層狀電各向異性介質(zhì)中電磁場(chǎng)的遞推公式及研究了傾斜電各向異性對(duì)大地電磁場(chǎng)的影響；捷克學(xué)者Josef Pek［11］在前人的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了層狀電各向異性介質(zhì)中大地電磁阻抗張量表達(dá)式。在國(guó)內(nèi)，石應(yīng)駿［12］、陳樂(lè)壽［13］、林長(zhǎng)佑［14］、阮愛(ài)國(guó)［15］、霍光譜［16］、周健美［17］等學(xué)者對(duì)電各向異性介質(zhì)都進(jìn)行了一些大地電磁正演研究，特別是霍光譜［18］對(duì)電各向異性介質(zhì)的大地電磁正演進(jìn)行了綜述研究。這里主要在理論上推導(dǎo)了電導(dǎo)率張量產(chǎn)生的原理，從理論上解釋了電導(dǎo)率張量的形式，并在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)地對(duì)水平層狀電各向異性介質(zhì)進(jìn)行了大地電磁正演研究，完善了正演理論，分析了電各向異性系數(shù)、相對(duì)觀測(cè)角對(duì)水平層狀電各向異性介質(zhì)的視電阻率和相位曲線的影響。這有助于電各向異性介質(zhì)的大地電磁野外觀測(cè)和其反演研究。

1 電各向異性介質(zhì)張量電導(dǎo)率表達(dá)式

眾所周知，在電各向異性介質(zhì)中，一般Ji和Ei（i＝x，y，z）的方向是不一致的。但是根據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果［19］，介質(zhì)中存在幾個(gè)特殊的方向，在這些方向上電流密度和電場(chǎng)方向是一致的，我們稱這幾個(gè)特殊的方向?yàn)殡姼飨虍愋越橘|(zhì)的電性主軸。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)方便，假設(shè)介質(zhì)只有三個(gè)主軸并且它們之間互為正交并構(gòu)成一個(gè)直角坐標(biāo)系。用帶撇的三個(gè)直角坐標(biāo)軸x′、y′、z′表示所研究的電各向異性介質(zhì)的三個(gè)主軸，而用不帶撇的三個(gè)直角坐標(biāo)系軸x、y、z表示觀察者所在的直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)軸，兩個(gè)直角坐標(biāo)系的軸之間可以有任意的夾角θki（k ＝x′，y′，z′；i＝x，y，z），θki表示k軸到i軸的夾角（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）。

1．1 電場(chǎng)Ex對(duì)電各向異性介質(zhì)的作用

在觀測(cè)者坐標(biāo)系中，設(shè)有一個(gè)外電場(chǎng)E為：

因?yàn)橛^測(cè)者中x軸不在電各向異性介質(zhì)的三個(gè)主軸上，故把Ex投影到三個(gè)主軸x′、y′、z′上（Exx′，Exy′，Exz′），并分別在電性主軸上產(chǎn)生電流密度Jxx′、Jxy′、Jxz′。表達(dá)式為：

其中σx′、σy′、σz′分別是主軸上的電導(dǎo)率，反應(yīng)了電各向異性介質(zhì)的固有電性性質(zhì)。因?yàn)槭窃谟^察者所在坐標(biāo)系中觀察介質(zhì)的電流密度，故應(yīng)把外電場(chǎng)Ex在電各向異性介質(zhì)三個(gè)主軸上產(chǎn)生不同方向的電流密度Jxx′、Jxy′、Jxz′分別投影到觀察者所在的坐標(biāo)系中的x、y、z軸上，所得的Jxx、Jxy、Jxz表達(dá)式為式（4）。

1．2 電場(chǎng)E對(duì)電各向異性介質(zhì)的作用

根據(jù)Ex對(duì)電各向異性介質(zhì)作用的理論，同理可以得到Jyx、Jyy、Jyz、Jzx、Jzy、Jzz的表達(dá)式（其表達(dá)式與Jxx，Jxy，Jxz的表達(dá)式相似）。最后用Jx、Jy、Jz表示外電場(chǎng)E在x、y、z軸上產(chǎn)生的電流密度：

把Jxx、Jxy、Jxz、Jyx、Jyy、Jyz、Jzx、Jzy、Jzz的表達(dá)式，代入公式（5），得到電流密度的張量表達(dá)式：

其中：

從上述公式可以看出，電各向異性介質(zhì)的電導(dǎo)率是張量形式，其大小不僅與介質(zhì)本身的性質(zhì)（電性主軸的方向和其電導(dǎo)率的大小）有關(guān)，而且與野外數(shù)據(jù)采集時(shí)測(cè)量方向有關(guān)。

對(duì)于層狀介質(zhì)，電性主軸z是垂直于介質(zhì)層面的，當(dāng)電性主軸z′和測(cè)量z軸一致時(shí)，電各向異性介質(zhì)的張量電導(dǎo)率可以簡(jiǎn)化成如下形式：

其中：σx′、σy′、σz′分別是介質(zhì)主軸上的電導(dǎo)率；角度α定義為野外測(cè)量方向相對(duì)于地層電性主軸方向的夾角，即相對(duì)測(cè)量角。

2 大地電磁層狀電各向異性介質(zhì)正演理論

該理論部分借鑒于Josef Pek［11］在2002年發(fā)表的關(guān)于電各向異性介質(zhì)正演的相關(guān)研究。

2．1 水平層狀電各向異性介質(zhì)中的大地電磁響應(yīng)

假設(shè)有介質(zhì)其前N層為電各向異性介質(zhì)，N＋1層為一個(gè)均勻無(wú)限半空間。電磁波是垂直入射到地層的平面波。從麥克斯韋方程組出發(fā)［20］，根據(jù)在一維層狀介質(zhì)中的條件?／?x＝?／?y≡0，聯(lián)立公式（7），在笛卡爾坐標(biāo)中，把麥克斯韋方程分解成如下：

并且有：

根據(jù)公式（8）和公式（9）整理得到一組關(guān)于電場(chǎng)的二階耦合微分方程組：

對(duì)于方程組的解，Ex、Ey解的形式應(yīng)包含指數(shù)e±kz，且Ex、Ey都不是獨(dú)立存在的，可以令Ex＝QEy，容易得到在電各向異性介質(zhì)中，總是存在兩種解的模式，對(duì)應(yīng)了兩個(gè)不同的平面波：

若用主軸電導(dǎo)率表示k1，2有：（其中令σx′＝σ1，σy′＝σ2）

2．2 大地電磁電各向異性介質(zhì)中的阻抗張量

根據(jù)方程組的解析解，可以將一個(gè)特定層中深度為z時(shí)的水平電磁場(chǎng)用矩陣方程表示：

矢量D包含了在層狀介質(zhì)中兩個(gè)下行波（D－1，D－2）和兩個(gè)上行波（D＋1，D＋2）的振幅大小。在N＋1層的均勻半空間，隨著z→∞，上行波減小到零，所以在均勻半空間，只有下行波存在，即D＋1，N＋1＝D＋2，N＋1＝0。

由地層中的邊界條件，得到在第l層中底部和頂部的大地電磁場(chǎng)有：Fl（zl，ω）＝Fl＋1（zl，ω），即：

其中：ζ1、ζ2、α是均勻半空間的參數(shù)。

最后把阻抗定義式：Eh（z，ω）＝Z（z，ω）Hh（z，ω）代入公式（18）得到阻抗張量的遞推表達(dá)式：

在特殊情況下，在均勻半空間中阻抗張量表示為式（21）。

3 水平層狀電各向異性介質(zhì)的模型算例

通過(guò)對(duì)一些電各向異性地電性模型做數(shù)值計(jì)算［21－22］，并和電各向同性介質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，可以研究大地電磁場(chǎng)在電各向異性介質(zhì)的分布規(guī)律，并探討電各向異性系數(shù)、相對(duì)觀測(cè)角對(duì)視電阻率和相位曲線的影響。

3．1 兩層電各向異性地電模型（模型一）

對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的兩層電各向異性地電模型做正演計(jì)算，研究其視電阻率的分布形態(tài)，模型參數(shù)為：h1＝3km＝10Ω·＝1 000Ω·m，α＝30°，ρ2 ＝1 000Ω·m，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 兩層電各向異性介質(zhì)視電阻率曲線圖Fig．1 Apparent resistivity curves in anisotropic media layers

由圖1可知，ρxy和ρyx包含了符合實(shí)際地電模型的有用信息，能比較直觀地了解地層模型；ρxx和ρxy兩值相等，但和ρxy、ρyx相差較大，不能較好地反應(yīng)模型地層的電性結(jié)構(gòu)，故這兩個(gè)方向的視電阻率并不十分重要（在以后的模型正演中一般不顯示這兩個(gè)方向的視電阻率曲線）。總體來(lái)看，ρxy、ρyx兩條曲線的趨勢(shì)形態(tài)基本一致，但其值的大小存在著較大差別。在視電阻率曲線的低頻區(qū)域，ρxy、ρyx兩條曲線逐漸重合，這是因?yàn)榈诙訛殡姼飨蛲跃鶆虬肟臻g；在高頻區(qū)域，兩條曲線差別明顯，這是因?yàn)榈谝粚訛殡姼飨虍愋越橘|(zhì)，水平的兩個(gè)電性主軸的電導(dǎo)率不相等，且ρxy和ρyx的值介于兩個(gè)電性主軸電阻率之間。

3．2 不同電各向異性系數(shù)下的地電模型正演對(duì)比（模型二）

地電模型的很多參數(shù)都會(huì)影響電各向異性介質(zhì)正演的視電阻率、相位曲線。電各向異性系數(shù)m是縱向電導(dǎo)率σL與橫向電導(dǎo)率σt比值的平方根，對(duì)三層電各向異性地電模型A進(jìn)行正演計(jì)算，探討了電各向異性系數(shù)對(duì)視電阻率、相位曲線的影響。電各向異性三層模型第一層為電各向同性介質(zhì)地層，第二層為電各向異性介質(zhì)地層，第三層為均勻半空間基底。設(shè)電各向異性系數(shù)的大小分別為0．1、0．5、1、1．5、2，相對(duì)測(cè)量角度為30°，具體參數(shù)見(jiàn)表1。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2（因?yàn)棣褁y和ρyx的形態(tài)基本一致，在探究電各向異性系數(shù)對(duì)曲線的影響時(shí)，以免累贅，僅以ρxy為例）。

表1 模型A參數(shù)Tab．1 Parameter of model A

通過(guò)對(duì)視電阻率曲線和相位曲線的分析，得到在不同電各向異性系數(shù)情況下，視電阻率和相位曲線的形態(tài)基本保持一致，但在某一頻率段對(duì)其值的大小影響很明顯。如在模型A地層中，曲線在高頻和低頻曲線的差別很小，在頻率10－3Hz～10－1Hz之間，曲線分離。

圖2中紅色星線表示的是模型A電各向異性系數(shù)為1的正演視電阻率和相位曲線圖，此時(shí)模型A介質(zhì)相當(dāng)于一個(gè)各向同性的介質(zhì)，和其他曲線對(duì)比發(fā)現(xiàn)，電各向異性介質(zhì)和電各向同性介質(zhì)的曲線差異很大，曲線中明顯的差異性說(shuō)明了大地電磁對(duì)于電各向異性是能夠很好地區(qū)分的，且對(duì)視電阻率曲線影響很明顯，在實(shí)際工作中，需要考慮地層的電各向異性性質(zhì)，而不能僅假設(shè)地層為電各向同性。

3．3 不同相對(duì)測(cè)量角下的地電模型正演對(duì)比（模型三）

相對(duì)觀測(cè)角度是指野外數(shù)據(jù)采集時(shí)，布線方向和地層的電性主軸方向的夾角，為了探究相對(duì)觀測(cè)角度對(duì)視電阻率相位曲線的影響，同樣對(duì)一個(gè)三層電各向異性地電模型B進(jìn)行正演計(jì)算，并與另外兩個(gè)三層電各向同性地電模型C、D的正演結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。電各向異性三層模型第一層為電各向同性介質(zhì)地層，第二層為電各向異性介質(zhì)地層，第三層為均勻半空間基底。設(shè)相對(duì)觀測(cè)角度σ的大小分別為0°、30°、45°、60°、90°，具體參數(shù)見(jiàn)表2，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3（同樣僅以ρxy為例）。

圖2 不同電各向異性系數(shù)下模型A視電阻率、相位曲線圖Fig．2 Apparent resistivity and phase curves in different anisotropic coefficients media model

表2 模型B參數(shù)Tab．2 Parameter of model B

圖3 不同相對(duì)測(cè)量角下視電阻率、相位曲線變化圖Fig．3 Apparent resistivity and phase curves in different relative measuring angle media model

分析圖3發(fā)現(xiàn)，視電阻率、相位曲線的形態(tài)基本一致，但視電阻率和相位曲線對(duì)相對(duì)測(cè)量角度的變化表現(xiàn)很敏感。由模型B與模型C、D對(duì)比發(fā)現(xiàn)，模型C、D的視電阻率相位曲線與模型B測(cè)量角分別為0°和90°的視電阻率相位曲線重合。模型C、D的參數(shù)基本相同，僅在中間層有差異，模型C中間層電導(dǎo)率為模型B的縱向電導(dǎo)率，模型D中間層電導(dǎo)率為模型B的橫向電導(dǎo)率。結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)野外觀測(cè)方向和電各向異性介質(zhì)的電性主軸重合時(shí)，電各向異性介質(zhì)可以看成是兩個(gè)電各向同性介質(zhì)。

表3 模型C參數(shù)Tab．3 Parameter of model C

表4 模型D參數(shù)Tab．4 Parameter of model D

4 結(jié)束語(yǔ)

1）作者從理論上得到了電各向異性介質(zhì)的張量電導(dǎo)率的表達(dá)式，其大小不僅與介質(zhì)的固有電阻率性質(zhì)有關(guān)，還與測(cè)量的方向有關(guān)。當(dāng)電各向異性介質(zhì)為水平層狀且測(cè)量軸為笛卡爾坐標(biāo)軸時(shí)，此時(shí)電導(dǎo)率張量的表達(dá)式有明顯的變化。

2）電各向異性系數(shù)和相對(duì)測(cè)量角都對(duì)地層的視電阻率和相位曲線有較大地影響，但其基本形態(tài)基本保持不變。在野外觀測(cè)中，這種介質(zhì)的電各向異性對(duì)其視電阻率和相位的影響是不容忽視的。

3）當(dāng)野外觀測(cè)方向和電各向異性介質(zhì)的電性主軸重合時(shí)，電各向異性介質(zhì)模型可以看成兩個(gè)獨(dú)立的電各向同性介質(zhì)模型。

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Magnetotelluric forward research on horizontal layered electric anisotropic media

LIU Hong-zhoua，b，AN Ya-tinga，b
（China University of Geosciences a．Key Laboratory of Tectonics and Petroleum Resources of the Ministry of Education，b．Faculty of Earth Resources，Wuhan 430074，China）

The electrical anisotropic phenomena is universal in the earth interior．We theoretically derived tensor conductivity expressions for the electrical anisotropic media and formula of magnetotelluric forward modeling in layered electrical anisotropic media which was used for numerical calculating some geoelectric models and comparing with electric isotropic geoelectric model．It shows that the tensor electrical conductivity of anisotropic media is not only related with its inherent resistivity properties，but also measuring direction；The amplitude value of the apparent resistivity curve changes significantly when one of the electric anisotropy coefficient and the relative measurement angle changes，while the shape of the apparent resistivity curve basically remain unchanged；When the measuring direction is the same as electrical spindle orientation of electric anisotropic medium in the field of electromagnetic exploration，electric anisotropic medium model can be seen as two independent electric isotropic medium model．This study，hopefully，will contribute to the research and application of future electric anisotropic media magnetotelluric inversion．

tensor conductivity；magnetotelluric sounding；electrical anisotropy；forward research

P 631．3

A

10．3969／j．issn．1001-1749．2015．03．03

1001-1749（2015）03-0280-07

2014-07-13 改回日期：2014-10-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（40702024）；霍英東教育基金會(huì)項(xiàng)目（132020）

劉鴻洲（1990－），男，碩士，主要研究方向?yàn)殡姼飨虍愋源蟮仉姶艤y(cè)深法，E-mail：992414102＠qq．com。