水平層狀電各向異性介質大地電磁正演研究

劉鴻洲，安亞婷

（中國地質大學a．構造與油氣資源教育部重點實驗室，b．資源學院，武漢 430074）

水平層狀電各向異性介質大地電磁正演研究

劉鴻洲a，b，安亞婷a，b

（中國地質大學a．構造與油氣資源教育部重點實驗室，b．資源學院，武漢 430074）

電各向異性現象在地球內部是普遍存在的，通過理論上推導的電各向異性介質的張量電導率的表達式及水平層狀電各向異性介質的大地電磁正演公式，對一些地電模型進行數值計算，同時與電各向同性地電模型進行對比分析。結果表明，電各向異性介質的張量電導率的大小不僅與介質的固有電阻率性質有關，還與測量的方向有聯系；電各向異性系數和相對測量角的變化都對地層的視電阻率和相位曲線振幅有較大的影響，但其曲線形態基本保持不變；當野外觀測方向和電各向異性介質的電性主軸重合時，電各向異性介質模型可以看成兩個獨立的電各向同性介質模型。這些結果有助于以后的電各向異性介質實驗研究和其大地電磁反演研究。

張量電導率；大地電磁測深；電各向異性；正演研究

0 引言

常規大地電磁測深（Magnetotelluric，MT）往往假設地下介質為電各向同性。近年來隨著地球物理技術方法的進展和地球認識的逐漸深入，地球的電各向異性問題越來越引起人們的關注，越來越多的證據［1－8］也表明：地殼和上地幔通常是電各向異性的，地球介質的物理性質（如彈性，導電性，磁性，導熱性和密度等）存在明顯的電各向異性，地球內部介質的電各向異性是地球科學的難點和前沿課題。MT法與其他方法（如地震）相比，其成本低、探測深度大，是地殼上地幔探測的主要方法之一，能很好地揭示出介質的電各向異性。

一維大地電磁電各向異性介質正演研究從上世紀60年代到如今已經發展了半個多世紀，國外有較成熟的研究，O'Brien等［9］及Reddy等［10］分別推導了層狀電各向異性介質中電磁場的遞推公式及研究了傾斜電各向異性對大地電磁場的影響；捷克學者Josef Pek［11］在前人的基礎上推導了層狀電各向異性介質中大地電磁阻抗張量表達式。在國內，石應駿［12］、陳樂壽［13］、林長佑［14］、阮愛國［15］、霍光譜［16］、周健美［17］等學者對電各向異性介質都進行了一些大地電磁正演研究，特別是霍光譜［18］對電各向異性介質的大地電磁正演進行了綜述研究。這里主要在理論上推導了電導率張量產生的原理，從理論上解釋了電導率張量的形式，并在此基礎上系統地對水平層狀電各向異性介質進行了大地電磁正演研究，完善了正演理論，分析了電各向異性系數、相對觀測角對水平層狀電各向異性介質的視電阻率和相位曲線的影響。這有助于電各向異性介質的大地電磁野外觀測和其反演研究。

1 電各向異性介質張量電導率表達式

眾所周知，在電各向異性介質中，一般Ji和Ei（i＝x，y，z）的方向是不一致的。但是根據實驗的結果［19］，介質中存在幾個特殊的方向，在這些方向上電流密度和電場方向是一致的，我們稱這幾個特殊的方向為電各向異性介質的電性主軸。為了數學推導方便，假設介質只有三個主軸并且它們之間互為正交并構成一個直角坐標系。用帶撇的三個直角坐標軸x′、y′、z′表示所研究的電各向異性介質的三個主軸，而用不帶撇的三個直角坐標系軸x、y、z表示觀察者所在的直角坐標系中的三個坐標軸，兩個直角坐標系的軸之間可以有任意的夾角θki（k ＝x′，y′，z′；i＝x，y，z），θki表示k軸到i軸的夾角（順時針旋轉）。

1．1 電場Ex對電各向異性介質的作用

在觀測者坐標系中，設有一個外電場E為：

因為觀測者中x軸不在電各向異性介質的三個主軸上，故把Ex投影到三個主軸x′、y′、z′上（Exx′，Exy′，Exz′），并分別在電性主軸上產生電流密度Jxx′、Jxy′、Jxz′。表達式為：

其中σx′、σy′、σz′分別是主軸上的電導率，反應了電各向異性介質的固有電性性質。因為是在觀察者所在坐標系中觀察介質的電流密度，故應把外電場Ex在電各向異性介質三個主軸上產生不同方向的電流密度Jxx′、Jxy′、Jxz′分別投影到觀察者所在的坐標系中的x、y、z軸上，所得的Jxx、Jxy、Jxz表達式為式（4）。

1．2 電場E對電各向異性介質的作用

根據Ex對電各向異性介質作用的理論，同理可以得到Jyx、Jyy、Jyz、Jzx、Jzy、Jzz的表達式（其表達式與Jxx，Jxy，Jxz的表達式相似）。最后用Jx、Jy、Jz表示外電場E在x、y、z軸上產生的電流密度：

把Jxx、Jxy、Jxz、Jyx、Jyy、Jyz、Jzx、Jzy、Jzz的表達式，代入公式（5），得到電流密度的張量表達式：

其中：

從上述公式可以看出，電各向異性介質的電導率是張量形式，其大小不僅與介質本身的性質（電性主軸的方向和其電導率的大小）有關，而且與野外數據采集時測量方向有關。

對于層狀介質，電性主軸z是垂直于介質層面的，當電性主軸z′和測量z軸一致時，電各向異性介質的張量電導率可以簡化成如下形式：

其中：σx′、σy′、σz′分別是介質主軸上的電導率；角度α定義為野外測量方向相對于地層電性主軸方向的夾角，即相對測量角。

2 大地電磁層狀電各向異性介質正演理論

該理論部分借鑒于Josef Pek［11］在2002年發表的關于電各向異性介質正演的相關研究。

2．1 水平層狀電各向異性介質中的大地電磁響應

假設有介質其前N層為電各向異性介質，N＋1層為一個均勻無限半空間。電磁波是垂直入射到地層的平面波。從麥克斯韋方程組出發［20］，根據在一維層狀介質中的條件?／?x＝?／?y≡0，聯立公式（7），在笛卡爾坐標中，把麥克斯韋方程分解成如下：

并且有：

根據公式（8）和公式（9）整理得到一組關于電場的二階耦合微分方程組：

對于方程組的解，Ex、Ey解的形式應包含指數e±kz，且Ex、Ey都不是獨立存在的，可以令Ex＝QEy，容易得到在電各向異性介質中，總是存在兩種解的模式，對應了兩個不同的平面波：

若用主軸電導率表示k1，2有：（其中令σx′＝σ1，σy′＝σ2）

2．2 大地電磁電各向異性介質中的阻抗張量

根據方程組的解析解，可以將一個特定層中深度為z時的水平電磁場用矩陣方程表示：

矢量D包含了在層狀介質中兩個下行波（D－1，D－2）和兩個上行波（D＋1，D＋2）的振幅大小。在N＋1層的均勻半空間，隨著z→∞，上行波減小到零，所以在均勻半空間，只有下行波存在，即D＋1，N＋1＝D＋2，N＋1＝0。

由地層中的邊界條件，得到在第l層中底部和頂部的大地電磁場有：Fl（zl，ω）＝Fl＋1（zl，ω），即：

其中：ζ1、ζ2、α是均勻半空間的參數。

最后把阻抗定義式：Eh（z，ω）＝Z（z，ω）Hh（z，ω）代入公式（18）得到阻抗張量的遞推表達式：

在特殊情況下，在均勻半空間中阻抗張量表示為式（21）。

3 水平層狀電各向異性介質的模型算例

通過對一些電各向異性地電性模型做數值計算［21－22］，并和電各向同性介質進行對比，可以研究大地電磁場在電各向異性介質的分布規律，并探討電各向異性系數、相對觀測角對視電阻率和相位曲線的影響。

3．1 兩層電各向異性地電模型（模型一）

對一個簡單的兩層電各向異性地電模型做正演計算，研究其視電阻率的分布形態，模型參數為：h1＝3km＝10Ω·＝1 000Ω·m，α＝30°，ρ2 ＝1 000Ω·m，計算結果見圖1。

圖1 兩層電各向異性介質視電阻率曲線圖Fig．1 Apparent resistivity curves in anisotropic media layers

由圖1可知，ρxy和ρyx包含了符合實際地電模型的有用信息，能比較直觀地了解地層模型；ρxx和ρxy兩值相等，但和ρxy、ρyx相差較大，不能較好地反應模型地層的電性結構，故這兩個方向的視電阻率并不十分重要（在以后的模型正演中一般不顯示這兩個方向的視電阻率曲線）。總體來看，ρxy、ρyx兩條曲線的趨勢形態基本一致，但其值的大小存在著較大差別。在視電阻率曲線的低頻區域，ρxy、ρyx兩條曲線逐漸重合，這是因為第二層為電各向同性均勻半空間；在高頻區域，兩條曲線差別明顯，這是因為第一層為電各向異性介質，水平的兩個電性主軸的電導率不相等，且ρxy和ρyx的值介于兩個電性主軸電阻率之間。

3．2 不同電各向異性系數下的地電模型正演對比（模型二）

地電模型的很多參數都會影響電各向異性介質正演的視電阻率、相位曲線。電各向異性系數m是縱向電導率σL與橫向電導率σt比值的平方根，對三層電各向異性地電模型A進行正演計算，探討了電各向異性系數對視電阻率、相位曲線的影響。電各向異性三層模型第一層為電各向同性介質地層，第二層為電各向異性介質地層，第三層為均勻半空間基底。設電各向異性系數的大小分別為0．1、0．5、1、1．5、2，相對測量角度為30°，具體參數見表1。計算結果見圖2（因為ρxy和ρyx的形態基本一致，在探究電各向異性系數對曲線的影響時，以免累贅，僅以ρxy為例）。

表1 模型A參數Tab．1 Parameter of model A

通過對視電阻率曲線和相位曲線的分析，得到在不同電各向異性系數情況下，視電阻率和相位曲線的形態基本保持一致，但在某一頻率段對其值的大小影響很明顯。如在模型A地層中，曲線在高頻和低頻曲線的差別很小，在頻率10－3Hz～10－1Hz之間，曲線分離。

圖2中紅色星線表示的是模型A電各向異性系數為1的正演視電阻率和相位曲線圖，此時模型A介質相當于一個各向同性的介質，和其他曲線對比發現，電各向異性介質和電各向同性介質的曲線差異很大，曲線中明顯的差異性說明了大地電磁對于電各向異性是能夠很好地區分的，且對視電阻率曲線影響很明顯，在實際工作中，需要考慮地層的電各向異性性質，而不能僅假設地層為電各向同性。

3．3 不同相對測量角下的地電模型正演對比（模型三）

相對觀測角度是指野外數據采集時，布線方向和地層的電性主軸方向的夾角，為了探究相對觀測角度對視電阻率相位曲線的影響，同樣對一個三層電各向異性地電模型B進行正演計算，并與另外兩個三層電各向同性地電模型C、D的正演結果進行對比。電各向異性三層模型第一層為電各向同性介質地層，第二層為電各向異性介質地層，第三層為均勻半空間基底。設相對觀測角度σ的大小分別為0°、30°、45°、60°、90°，具體參數見表2，計算結果見圖3（同樣僅以ρxy為例）。

圖2 不同電各向異性系數下模型A視電阻率、相位曲線圖Fig．2 Apparent resistivity and phase curves in different anisotropic coefficients media model

表2 模型B參數Tab．2 Parameter of model B

圖3 不同相對測量角下視電阻率、相位曲線變化圖Fig．3 Apparent resistivity and phase curves in different relative measuring angle media model

分析圖3發現，視電阻率、相位曲線的形態基本一致，但視電阻率和相位曲線對相對測量角度的變化表現很敏感。由模型B與模型C、D對比發現，模型C、D的視電阻率相位曲線與模型B測量角分別為0°和90°的視電阻率相位曲線重合。模型C、D的參數基本相同，僅在中間層有差異，模型C中間層電導率為模型B的縱向電導率，模型D中間層電導率為模型B的橫向電導率。結果說明，當野外觀測方向和電各向異性介質的電性主軸重合時，電各向異性介質可以看成是兩個電各向同性介質。

表3 模型C參數Tab．3 Parameter of model C

表4 模型D參數Tab．4 Parameter of model D

4 結束語

1）作者從理論上得到了電各向異性介質的張量電導率的表達式，其大小不僅與介質的固有電阻率性質有關，還與測量的方向有關。當電各向異性介質為水平層狀且測量軸為笛卡爾坐標軸時，此時電導率張量的表達式有明顯的變化。

2）電各向異性系數和相對測量角都對地層的視電阻率和相位曲線有較大地影響，但其基本形態基本保持不變。在野外觀測中，這種介質的電各向異性對其視電阻率和相位的影響是不容忽視的。

3）當野外觀測方向和電各向異性介質的電性主軸重合時，電各向異性介質模型可以看成兩個獨立的電各向同性介質模型。

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Magnetotelluric forward research on horizontal layered electric anisotropic media

LIU Hong-zhoua，b，AN Ya-tinga，b
（China University of Geosciences a．Key Laboratory of Tectonics and Petroleum Resources of the Ministry of Education，b．Faculty of Earth Resources，Wuhan 430074，China）

The electrical anisotropic phenomena is universal in the earth interior．We theoretically derived tensor conductivity expressions for the electrical anisotropic media and formula of magnetotelluric forward modeling in layered electrical anisotropic media which was used for numerical calculating some geoelectric models and comparing with electric isotropic geoelectric model．It shows that the tensor electrical conductivity of anisotropic media is not only related with its inherent resistivity properties，but also measuring direction；The amplitude value of the apparent resistivity curve changes significantly when one of the electric anisotropy coefficient and the relative measurement angle changes，while the shape of the apparent resistivity curve basically remain unchanged；When the measuring direction is the same as electrical spindle orientation of electric anisotropic medium in the field of electromagnetic exploration，electric anisotropic medium model can be seen as two independent electric isotropic medium model．This study，hopefully，will contribute to the research and application of future electric anisotropic media magnetotelluric inversion．

tensor conductivity；magnetotelluric sounding；electrical anisotropy；forward research

P 631．3

A

10．3969／j．issn．1001-1749．2015．03．03

1001-1749（2015）03-0280-07

2014-07-13 改回日期：2014-10-08

國家自然科學基金項目（40702024）；霍英東教育基金會項目（132020）

劉鴻洲（1990－），男，碩士，主要研究方向為電各向異性大地電磁測深法，E-mail：992414102＠qq．com。