“平行四邊形面積計(jì)算”的教學(xué)實(shí)踐與思考

方文東

[摘 要]在平面圖形面積計(jì)算教學(xué)中，平行四邊形面積計(jì)算具有承上啟下的重要作用，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想對學(xué)生下一步探索平面圖形面積計(jì)算具有很強(qiáng)的引領(lǐng)價(jià)值。因此，引導(dǎo)學(xué)生感悟基本的數(shù)學(xué)思想和積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，成為“平行四邊形面積計(jì)算”一課教學(xué)的核心目標(biāo)之一。

[關(guān)鍵詞]平行四邊形面積計(jì)算 教學(xué)實(shí)踐 積累經(jīng)驗(yàn) 感悟思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-028

教學(xué)實(shí)踐：

一、立足基礎(chǔ)，引發(fā)需求

師：知道今天我們要一起學(xué)習(xí)什么嗎？你們已經(jīng)會求哪些平面圖形的面積？（出示方格紙中的長方形）你們知道這個(gè)長方形的面積是多少嗎？自己是怎么想的？

師（在方格紙中出示一個(gè)不規(guī)則圖形）：這個(gè)圖形有點(diǎn)復(fù)雜，你知道它的面積是多少嗎？你又是怎么想的？

生1：把左邊的三角形平移到右邊，這樣就把原來的復(fù)雜圖形變成了一個(gè)長方形。

師：變化前后什么變了，什么沒有變？（生答略）

師：當(dāng)遇到不熟悉或復(fù)雜的圖形時(shí)，我們可以想辦法把它變成以前學(xué)過的簡單的圖形，這是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化。

師：回憶一下，剛才我們是把這個(gè)不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成什么圖形來求出面積的？

二、經(jīng)歷過程，積累經(jīng)驗(yàn)

師（出示方格紙中的平行四邊形）：你能利用轉(zhuǎn)化的方法求出這個(gè)平行四邊形的面積嗎？

師：老師為每個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備了一個(gè)平行四邊形，現(xiàn)在我們一起來動(dòng)手剪一剪、拼一拼，想辦法求出這個(gè)平行四邊形的面積。（學(xué)生交流反饋剪拼的方法）

師：雖然剪拼方法不同，但它們有共同點(diǎn)，你們有沒有發(fā)現(xiàn)？為什么要沿著高剪呢？

師：看來，根據(jù)圖形的特征，我們就能找到轉(zhuǎn)化的具體操作方法。

師：剛才我們通過剪、移、拼，把這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，求出了它的面積。猜猜看，其他平行四邊形是不是也能轉(zhuǎn)化成長方形求出面積呢？下面，我們就任選幾個(gè)平行四邊形來驗(yàn)證一下。

師：每人任意拿出一個(gè)平行四邊形，想辦法把它轉(zhuǎn)化成長方形并求出它的面積，最后把表格（如下）填寫完整。

師：通過驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)其他的平行四邊形也都能轉(zhuǎn)化成長方形求出面積。仔細(xì)觀察表格，轉(zhuǎn)化成的長方形與平行四邊形之間存在著怎樣的聯(lián)系？（生答略）

師：為什么會有這樣的聯(lián)系呢？我們回到圖中再來看一看。（再次演示平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程）

師（出示脫離方格紙的平行四邊形）：已知一個(gè)平行四邊形的底是25厘米，高是20厘米，不剪拼，你能求出它的面積嗎？

師：為什么“底×高=平行四邊形的面積”呢？

三、拓展訓(xùn)練，感悟思想

師（出示三個(gè)已知底和高的平行四邊形，最后一個(gè)平行四邊形還已知鄰邊的長度）：這里有三個(gè)平行四邊形，你能求出它們的面積嗎？

師：最后一個(gè)平行四邊形的底為什么是24厘米，而不是16厘米呢？如果以16厘米為底，它對應(yīng)的高又在哪里？

師：我們利用公式計(jì)算平行四邊形面積時(shí)要注意什么？

師：在方格紙中畫出一個(gè)平行四邊形，使它與方格紙中的長方形（6×4）面積相等。

師（展示平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等的情況）：這些平行四邊形的形狀不同，為什么面積都與長方形相等？看來，平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等時(shí)，它們的面積一定相等。

師（展示平行四邊形的底和高與長方形的長和寬不相等的情況）：這位同學(xué)畫的平行四邊形的面積與長方形面積相等嗎？為什么？（生答略）看來，平行四邊形的底和高與長方形的長和寬不相等時(shí)，它們的面積也有可能相等。你知道其中的奧秘嗎？

師：還有哪些平行四邊形也能與這個(gè)長方形的面積相等？想象一下，它們的形狀是怎樣的？

師：這是一個(gè)長方形框架，長30厘米，寬20厘米，你能分別求出它的周長和面積嗎？

師（拉動(dòng)長方形框架）：現(xiàn)在老師把它拉成了什么形狀？這時(shí)它的周長和面積有沒有發(fā)生變化？發(fā)生了怎樣的變化？為什么？如果一直繼續(xù)拉長方形框架，結(jié)果會怎樣？拉到什么情況下面積最大？

……

思考：

在平面圖形面積計(jì)算教學(xué)中，平行四邊形面積計(jì)算具有承上啟下的重要作用，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想對學(xué)生下一步探索平面圖形面積計(jì)算具有很強(qiáng)的引領(lǐng)價(jià)值。因此，引導(dǎo)學(xué)生感悟基本的數(shù)學(xué)思想和積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，成為“平行四邊形面積計(jì)算”一課教學(xué)的核心目標(biāo)之一。

1.準(zhǔn)確把握基礎(chǔ)，調(diào)動(dòng)潛在經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)運(yùn)用策略的需求

研究表明，盡管人可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法，但不能自覺地將所學(xué)的思想方法用于新的情境和領(lǐng)域中，而不會用的原因就在于缺乏使用這些思想方法所需要的特定領(lǐng)域的知識。因此，能否成功使用數(shù)學(xué)的思想方法，關(guān)鍵看學(xué)生是否已經(jīng)掌握了特定領(lǐng)域的相關(guān)知識。“平行四邊形面積計(jì)算”一課，學(xué)生已有的顯性知識基礎(chǔ)是長方形的面積計(jì)算和對平行四邊形特征的認(rèn)識，這些知識的理解和掌握直接影響學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用與習(xí)得。除此之外，還有一個(gè)非常重要的隱性知識基礎(chǔ)，那就是化歸的策略。毫無疑問，學(xué)生通過幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對化歸策略已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)問題的解決都是一個(gè)由未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。因此，在展開新知教學(xué)前，教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)長方形的面積計(jì)算，再讓他們求不規(guī)則圖形的面積。通過新舊知識的對比，調(diào)動(dòng)學(xué)生潛在的經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)他們運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略的強(qiáng)烈需求。同時(shí)，教師抓住時(shí)機(jī)把轉(zhuǎn)化思想的外在形式及運(yùn)用的條件告訴學(xué)生，使學(xué)生在平行四邊形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)中有意識地去運(yùn)用它，并在實(shí)際運(yùn)用中體會這一數(shù)學(xué)思想帶來的好處。

2.親身經(jīng)歷過程，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)

根據(jù)數(shù)學(xué)思想的“默會”屬性，教師教學(xué)中要注重學(xué)生學(xué)習(xí)的過程性、活動(dòng)性，通過問題來引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使學(xué)生有獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的機(jī)會，從而在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感悟化歸思想的本質(zhì)。本節(jié)課安排了兩次操作活動(dòng)，第一次操作活動(dòng)主要是讓學(xué)生在動(dòng)手剪一剪、移一移、拼一拼的過程中，有意識地運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略來解決問題，激發(fā)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略的需求，感受到轉(zhuǎn)化思想的魅力。同時(shí)，教師通過“為什么要沿著高剪”等關(guān)鍵性的提問，讓學(xué)生不斷反思，逐步積累多邊形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，體會轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是等價(jià)轉(zhuǎn)化，也就是等積變形，明白轉(zhuǎn)化思想的具體操作方法來自于對圖形特征的認(rèn)識。第二次操作活動(dòng)，主要培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，引導(dǎo)他們經(jīng)歷不完全歸納的過程，積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)。此外，教師要讓學(xué)生體會到：圖形轉(zhuǎn)化后還要及時(shí)溝通圖形關(guān)鍵邊之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過一定的邏輯推理才能真正建立新的多邊形面積計(jì)算的模型。這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，對學(xué)生以后如何開展三角形、梯形等多邊形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)有著普遍的指導(dǎo)意義。

3.適當(dāng)拓展練習(xí)，提升數(shù)學(xué)思維，體會數(shù)學(xué)思想的價(jià)值

在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法中，提高學(xué)生一題多解、一題多變的能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維靈活性的有效措施。所以，教師要精心設(shè)計(jì)練習(xí)，拓展練習(xí)的深度和廣度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使他們更準(zhǔn)確地把握事物的本質(zhì)內(nèi)涵。本節(jié)課精心設(shè)計(jì)了三個(gè)題組，首先在第一個(gè)題組中適當(dāng)加入多余條件，讓學(xué)生在運(yùn)用平行四邊形面積計(jì)算公式時(shí)必須思考圖形邊與邊之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生對公式的理解更準(zhǔn)確、更清晰。其次，由于學(xué)生在推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)都是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成對應(yīng)邊相等的長方形，對“平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等時(shí)，它們的面積一定相等”這一結(jié)論根深蒂固，所以教師在練習(xí)題中及時(shí)加入“平行四邊形的底和高與長方形的長和寬不相等時(shí)，面積也相等”的情況，打破了學(xué)生原有的思維定式，使他們對事物的認(rèn)識更全面、更深刻。最后，利用四邊形易變形的特性，讓學(xué)生在變與不變的轉(zhuǎn)化中進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的真諦，體會數(shù)學(xué)思想對于數(shù)學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)與指導(dǎo)價(jià)值。

（責(zé)編 杜 華）