基于壓縮感知的一類帶噪聲電氣系統的故障診斷

葉北林 梁凱豪 熊平原

（1.從化市職業技術學校，廣州 510920;2.仲愷農業工程學院計算科學學院，廣州 510225;3.仲愷農業工程學院機電學院，廣州 510225）

復雜的電力系統往往會包含很多子系統，以建筑上的電力系統為例，它包含了照明子系統、供配電子系統、動力設備子系統、辦公及管理自動化子系統等[1]，不同子系統之間的相互作用增加了整個系統的復雜性。

目前，出現的故障智能診斷方法主要有神經網絡、支持向量機（SVM）、高斯過程分類器等方法[2-4]，這些方法極大提高了故障的診斷效率。龔瑞昆等[2]針對電力變壓器故障，先對量子神經網絡進行局部融合診斷，再將各局部診斷信息引入決策融合網絡進行全局融合，提出了基于量子神經網絡信息融合的故障診斷方法。尹金良等[3]圍繞變壓器故障診斷問題，構建了基于拉普拉斯近似方法的高斯過程分類器，分類器中均值函數采用常函數，協方差函數采用全平方指數函數，而似然函數采用誤差函數。崔江等[4]針對模擬電路的故障診斷問題，先對電路故障樣本進行訓練建立支持向量機模型，并根據訓練參數構建故障字典；然后對未知樣本進行測試，判斷故障類型。但這些方法也存在一定的診斷誤差，運用量子神經網絡的故障誤診率為2.2%，采用高斯過程分類器的誤診率為8.3%，而基于SVM 的故障誤診率為2.4%。張龍和陳宸等根據Candes、Donoho和Tao 等提出的壓縮感知理論建立了一種在建筑電氣系統上的故障診斷方法，該方法在故障診斷準確率上取得了較好效果[1]，但是該方法沒有考慮到在帶干擾的電力系統中的故障診斷情況以及算法的魯棒性。本文主要考慮在帶干擾的電力系統中，如何準確地診斷故障的位置以及診斷算法的魯棒性。將故障診斷問題看作是稀疏故障信號和故障類型的一種對應關系，并構建測量矩陣和測量相應位置的電阻，從而恢復故障信號，判斷故障類型。

1 基于壓縮感知的電氣故障診斷

1.1 壓縮感知故障診斷原理

電氣系統的故障診斷實質上是從故障信息集到故障類型集的一種映射關系，即由觀測到的信息判斷故障的狀態類型[5]。假設故障信息集Y包含了m個故障信息值，即故障信息集Y中的任意一個元素y，有y∈Rm。設故障類型集只有k個元素，每個 元素表示一種故障類型。

電氣系統故障診斷過程可以看作一個分類過程，根據觀測到的信息y，利用故障診斷算法輸出故障類型，再根據故障類型，判斷故障發生的位置。

1.2 測量矩陣的構建

利用壓縮感知方法進行電氣系統故障分類時，先要構建壓縮感知問題的測量矩陣。從第i類故障中隨機抽取ni(i= 1,2,… ,k)個訓練樣本，每個訓練樣本都測量其m個故障信息值，將第i類故障的訓練樣本組合到一起，則得到第i類故障的訓練樣本矩陣[1]

式中，∈Rm×1為第i類故障的第j個訓練樣本，的m個分量為樣本所對應的m個故障信息值，為第i類故障的訓練樣本矩陣。

將所有k個類別的訓練樣本矩陣組合起來，則構建出初始測量矩陣

式中，aij∈R，而Ai,j∈Rm×1。

1.3 帶噪聲故障診斷的l0 范數最小化問題

設測試樣本屬于第i類故障，則測試樣本的故障信息向量y∈Rm可以表示為完備化后的第i類故障訓練樣本矩陣的線性組合[5]，即

式中，xi,j為權重系數。當測試樣本的故障信息向量y的故障類型未知時，則y可以通過測量矩陣A表示為

式中，x=(x1,x2,…,xk)T∈RN×1，xi= (xi,1,xi,2,…,xi,ni)T∈Rni×1。此時，如果給定的y屬于第i類故障，則有

此時，稱x為ni稀疏向量，即Card(supp(x) ) ≤ni，其中supp(x)表示向量x的支撐集，Card(supp(x))則表示支撐集的元素個數，同時，可把x看作y的稀疏向量分解，即求式（4）中，x的l0范數最小值

在實際的測試當中，測試樣本的故障信息向量y往往會受到干擾，而出現測量誤差。我們稱這些干擾為噪音。則式（6）中的測試樣本的故障信息向量y應該表示為

要確定測試樣本的故障類型，只要在式（6）中，對y做稀疏向量分解，求x的l0范數最小值，則可得到稀疏向量x，根據稀疏向量x中，非零分量所在的位置，則可以確定測試樣本的類型。帶噪聲的l0范數最小化問題為

但不幸的是，式（7）的l0范數最小化問題為NP-hard問題[6]，其計算量呈現階乘級數增長，當A的行數和列數較大時，普通計算機也難以求解該問題。因此，必須通過其他算法求解式（7）的l0范數最小化問題。

2 l0 最小化問題的求解

2.1 l0 問題與l1 問題解的一致性

由于式（7）的l0范數最小化問題是是一個NP-hard 問題，一個自然的想法就是用l1范數最小化問題來求解l0問題，即求解

但是，這里需要解決l0問題與l1問題的解是否一致的問題。Candes，Romberg 和Tao[7]證明了在測量矩陣A滿足RIP 條件（restricted isometry property）下，l0問題與l1問題的解是一致的，即用l1最小化能用y準確恢復x。

2.2 故障測量矩陣的RIP 條件

我們說測量矩陣A滿足s-階RIP 條件，如果存在常數δs∈ [ 0,1)，使得

Candes 和Tao 等證明了[8]，若測量矩陣A滿足2s階RIP 條件，且RIP 常數則對任意的s稀疏向量x，即 Card ( supp(x) )≤s，均有l0問題與l1問題的解是一致的。但是，對于給定的一個測量矩陣A，難以從理論上證明其滿足RIP 條件，當A的行數和列數較多時也不容易在計算機上快速驗證其RIP 條件。

2.3 測量矩陣的高斯分布檢驗

當測量矩陣A為高斯隨機矩陣時，則A滿足RIP 條件δs≤δ的概率非常高。因此，將驗證A的RIP 條件δs≤δ改為驗證A的元素服從高斯分布。這里采用分布擬合檢驗方法驗證A的元素服從高斯分布[9]，檢驗過程如下：

1）建立假設檢驗H0：aij服從高斯分布，備擇假設H1：aij不服從高斯分布。

2）用M- 1個點t i(i= 1,2,…,M-1)將( -∞,+∞)分為M個互不相交的子區間(t i,ti+1]。用vi表示觀測值ai j(i∈ [m] ,j∈ [N])落入區間(t i,ti+1]的個數，這個個數又稱為組頻數。記pi為總體落入區間的概率，即為標準高斯分布的密度函數。構造檢驗統計量

3）對于給定的顯著性水平α，查χ2分布表，找臨界值χα2(M- 1)，使得

得到拒絕域(χα2(M- 1),+∞)。

4）根據ai j(i∈ [m] ,j∈ [N])，計算檢驗統計量χ2，若χ2位于拒絕域之外，則接收原假設，拒絕備擇假設，認為aij服從高斯分布；否則，認為aij不服從高斯分布。

若測量矩陣A通過了高斯分布擬合檢驗，則可以用算法來求解l1問題（8）；否則，需要對測量矩陣A重新調整，重新構建。

2.4 IRLS 算法

用Daubechies I 和Devore R 等提出的IRLS (iteratively reweighted least squares minimization)算法對l1問題（8）進行求解[10]。求解l1問題（8）的IRLS 算法為

IRLS 算法 IRLS( y ,e) 輸入：測量矩陣A，測試向量y ，噪聲模擬值e 輸出：稀疏向量x 初始 化： w0=(1 ,…,1) ,ε 0=1.迭代：Dn=diag (1 w1n ,1 w2n ,…,1 wNn ),x n + 1 =Dn AT ( ADn AT ) -1( y -e ),εw nn j+ + 1 1 = = m ■■■(i nx nj■■■■ +ε 1 n ),2 r+( ε xn n2+ N+1 1 )■■■K-12+1.■■■■,迭代停止條件： ε n= 0，或迭代次數n 大于某個給定的值。

IRLS 算法中，r(xn+1)K+1表示將向量xn+1的各個分量取絕對值，并從大到小排列，取第K+ 1個位置的分量，即r(xn+1)K+1為xn+1各分量中第K+ 1個絕對值最大的分量。

3 故障診斷實驗及結果分析

3.1 電氣故障模擬實驗

采用建筑電氣系統測試平臺MA2067 進行試驗。該平臺能夠模擬建筑電氣系統的運行及故障發生機制，它包含了弱電系統和強電系統兩部分，其中強電系統是該實驗平臺的主體[11-12]。該實驗平臺通過故障設置面板的22 個開關模擬22 個故障位置的是否存在故障。這22 個位置的故障可以分為四大類阻值故障，分別為線路阻抗故障、連續性故障、接地電阻異常、絕緣電阻過小[13]。若將正常作為一類診斷狀態，則一共有五類診斷狀態。不同故障狀態對應不同的故障位置，根據診斷的故障狀態類型就可以判斷故障發生的位置[14]。在實驗中，采集實驗平臺10 個不同測試位置的電阻值組成故障信息 向量y，即y∈R10，10 個故障測試位置見表1。

在五類故障診斷狀態中，對每類故障診斷狀態分別隨機地收集15 組樣本數據，每組樣本數據都包含了10 個不同故障位置的電阻值，計算其均值和標準差，數據見表1。將這75 組數據組合起來，則得到初始測量矩陣，將的每一行標準化，則得到完備測量矩陣A∈R10×75。

表1 實驗平臺測試故障位置

將( -∞,+∞)分為10 個互不相交的子區間，由分 布擬合檢驗，在顯著性水平α= 0.05下，算得χ2= 3.17小于χ02.05(10) = 3.940。因此，可認為測量矩陣A為高斯隨機矩陣。

3.2 結果分析

為了檢驗在第1 節中所建立的方法的有效性，這里選擇第2 類故障診斷狀態進行檢驗，設定其原始故障信號x，此時測定其10 個不同故障位置的故障信息值（電阻值）

將其標準化后分析根據IRLS 算法是否能夠由y準確恢復故障信號x，若x可以準確恢復，則根據故障信號x可以判斷故障類型。需要注意的是，由于在測試過程中，故障信息值y不可避免會存在誤差e（這里又稱噪聲），這里不妨假設ej～N(0,0.1)。 因此，關鍵的問題是，由y恢復出來的故障信號x~ 與設定的故障信號x是否會很大差異。利用Matlab 實現IRLS 算法，結果如圖1所示。圖1中上圖為設定的故障信號，而下圖為恢復出來的故障信號。

由圖1可知，恢復出來的故障信號和設定的故障信號基本一致。由于恢復出來的故障信號的非負分量分布在第2 類故障的位置，與設定的故障類型一致。此實驗說明了故障診斷模型（7）的有效性。

圖1 故障信號

隨機選擇一種故障類型，設定故障信號，測定相應位置的電阻值并加入高斯噪聲，用算法恢復故障信號，診斷故障類型。在200 次隨機試驗中，有196 次識別準確，故障識別率為98%。而在無噪聲的情況下，采用神經網絡的故障識別率為97.78%，用SVM 的故障識別率為97.6%。

圖2為恢復的故障信號和設定的故障信號兩者之間隨著迭代次數的增加，其誤差的變化。由圖2可知，經過3 次迭代之后，恢復的故障信號能夠較好擬合實際故障信號，兩者誤差穩定在1%。而且，算法沒有出現因為誤差疊加而失控的情況。

圖2 迭代誤差

4 結論

本文針對帶噪聲的故障識別問題進行研究，在驗證實驗當中，算法只需要經過3 次迭代則能夠恢復故障信號，而且恢復出來的故障信號和原來的故障信號一致，這說明利用壓縮感知和IRLS 算法進行電氣系統的故障診斷具有診斷效率較高，診斷準確的特點。通過多次實驗計算可知，利用壓縮感知方法的故障識別率約為98%，而利用支持向量機對電氣系統進行故障診斷的故障識別率為97.6%[15-16]，比支持向量機的故障識別率高。另外，故障識別率的高低與測量矩陣的構建有關，測量矩陣如何影響識別率的問題，我們將進一步研究。

[1] 張龍,陳宸,韓寧,等.壓縮感知理論中的建筑電氣系統故障診斷[J].智能系統學報,2014,9(2): 204-209.

[2] 龔瑞昆,馬亮,趙延軍,等.基于量子神經網絡信息融合的變壓器故障診斷[J].電力系統保護與控制,2011,39(23): 79-84,88.

[3] 尹金良,朱永利,俞國勤,等.基于高斯過程分類器的變壓器故障診斷[J].電工技術學報,2013,28(1): 158-164.

[4] 崔江,王友仁.基于支持向量機與最近鄰分類器的模擬電路故障診斷新策略[J].儀器儀表學報,2010,31(1): 45-50.

[5] 韓安太,郭小華,廖忠,等.基于壓縮感知理論的農 業害蟲分類方法[J].農業工程學報,2011,27(6): 203-207.

[6] 許志強.壓縮感知[J].中國科學:數學,2012(9): 865-877.

[7] Candes E J,Romberg J K,Tao T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2006,59(8): 1207-1223.

[8] Candes E J,Tao T.Decoding by linear programming[J].IEEE Transactions on Information Theory,2005,51(12): 4203-4215.

[9] 夏帆,倪青山.基于分布擬合的異方差檢驗[J].數量經濟技術經濟研究,2012(8): 114-123.

[10] Daubechies I,Devore R,Fornasier M A.Iteratively reweighted least squares minimization for sparse recovery[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2010,63(1): 1-38.

[11] 王英英,羅毅,涂光瑜,等.電力系統連鎖故障的關聯模型[J].電工技術學報,2012(2): 204-209.

[12] 郭金葉,佘維,李江林,等.一種基于EFPN 的電力系統故障診斷方法[J].電力系統保護與控制,2012(14): 10-15.

[13] 尹項根,陳慶前,王博,等.基于四層集合模型的復雜電力系統脆弱性評估體系[J].電工技術學報,2013,28(1): 225-233.

[14] 曾慶鋒,何正友,楊健維.基于有色Petri 網的電力系統故障診斷模型研究[J].電力系統保護與控制,2010,38(14): 5-11,127.

[15] 劉友波,胡斌,劉俊勇,等.電力系統連鎖故障分析理論與應用（一）——相關理論方法與應用[J].電力系統保護與控制,2013(9): 148-155.

[16] 曹玉蘋,田學民.基于SVM 和Kalman 預測的非線性系統故障預報[J].控制與決策,2009,24(3): 477-480.