隨機子空間法在諧波電能計量中的應用

馬 亮

（山東省電力公司安丘供電公司，山東 濰坊 262100）

電力系統中，由于電力電子設備的廣泛應用，很容易對電網造成諧波污染[1]。諧波污染在一定程度上嚴重影響企業的安全生產以及居民用電安全，且在諧波情況下，很難保證電能計量的準確性。當負荷為線性負荷，電網存在多次諧波，電能表的計量是基波電能加上電網注入負荷的諧波電能，將會為用戶造成經濟損失；而當負荷為非線性負荷并向電網中注入諧波時，電能表的計量是基波電能減去注入電網的諧波電能，會對電網造成經濟損失[2]。故而如何在電網中存在諧波的情況下實現準確計量顯得尤為重要。

目前電能計量方法中應用較為廣泛是基波電能和諧波電能分別計量，然后計算總和以得到總的電能消耗量。準確得到諧波電能是準確電能計量的前提，快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）[3-4]是比較成熟的諧波檢測方法，但此方法一般只可得到諧波頻率和幅值，對于諧波相位很難準確檢測出。文獻[5]提出利用小波來分析電能計量中的諧波問題，但小波存在基波選取困難的問題。

為了準確分析電網中的諧波，本文提出采用隨機子空間法（Stochastic Subspace Identification，SSI）[6-7]來分析電能計量中的諧波問題，SSI 通過構造Hankle矩陣，進行奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD），通過SVD 可得到奇異值，根據奇異值的大小可確定系統模態階數，使SSI 算法具有一定的抗噪能力，在實際電網中更能準確辨識出諧波參數。本文應用SSI 對諧波電流、電壓信號進行分析，通過對諧波參數的準確辨識，以實現諧波電能的高精度計量。

1 基本原理

電力系統中的諧波信號可擬合為

式中，Ri為幅值，fi為頻率，φi為初相。

1.1 隨機子空間理論

SSI 的通過構造Hankle 矩陣，前i個采樣點作為“過去”采樣點形成一個矩陣，第i個采樣點之后看做“將來”采樣點形成另一個矩陣，“將來”的輸出行空間投影到“過去”的輸出行空間，投影結果是保留了“過去”的全部信息，并用此預測“將來”的信息。“將來”和“過去”的矩陣組成一個新的矩陣并乘以一個系數的形式。SSI 復雜度低，因為只運行一次SVD 分解，故而運算效率高。

對于白噪聲激勵的線性系統，隨機狀態空間模型可以表示為

式中，yk∈Rl×l為第l個測點，在第k（k∈N）個采樣間隔（Δt）的輸出向量；xk∈Rn×l為系統的狀態向量，n為系統的階數；A∈Rn×n為系統矩陣；C∈Rl×n為輸出矩陣；wk∈Rn×l為系統噪聲污染；vk∈Rl×l為測量噪聲；wk和vk互不相關。

根據系統輸出yk構造Hankel 矩陣H

式中，Y0/2i-1的下標0/2i- 1表示Hankel 矩陣第一行塊和最后一行塊；下標p和f分別表示“過去”和“將來”。

定義輸出yk自協方差矩陣Ri為

由協方差序列組成的Toeplize 矩陣T1/i為

對矩陣T1/i進行奇異值分解，秩為非零的奇異值個數，即為系統階數。

式中，S1∈Rli×n；V1∈Rn×n；D1∈Rli×n；n表示系 統階數，階數可用SVD 分解法確定。

T1/i可分解為

式中，Oi為可觀矩陣；Γi為反轉隨機可控矩陣。

根據上式可得到系統矩陣A和C。

1.2 諧波參數辨識

對系統矩陣A做特征值分解

式中，Λ=diag [λ1,λ2,… ,λi,…,λn]∈Cn×n，λ i為系統特 征值；Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψn]∈Cn×n為 系 統特征向 量矩陣；n表示系統階次。

可通過式（10）計算出諧波的頻率和衰減系數

式中，λic表示系統特征值，λic和λic*互為共軛，Δt表示采樣時間間隔，fi為頻率。

進而通過最小二乘得到各次諧波的幅值和相角對于N個采樣數據存在

其中

式中，n表示得到的諧波個數。

則P的最小二乘解為

則各變量的幅值Ri和相角φi可求得為

由此已經求得各諧波量的幅值、頻率、相角。

1.3 諧波功率計算

在電網中存在諧波的情況下，諧波電流和諧波電壓分別表示為

式中，n表示諧波次數，Ij和Uj分別表示諧波電流和諧波電壓的幅值，φi和φu分別表示諧波電流和諧波電壓的相位。

諧波的有功功率可用瞬時功率來計算

同理，諧波的無功功率可表示為

由式（17）和式（18）即可計算得到相應的諧波電能。

1.4 諧波電能計量方案

通過SSI 方法準確的辨識出電網中的諧波電流和諧波電壓參數后，進一步求出諧波功率，從而實現了諧波電能的準確測量。流程圖如圖1所示。

圖1 SSI 辨識諧波流程圖

2 仿真分析

2.1 理想信號分析

為了驗證SSI 方法在諧波參數估計方面的有效性，構造如下理想信號進行分析。

其中

首先利用FFT 算法對式（19）所示的理想信號進行分析，分析結果如圖2所示。

圖2 FFT 分析結果

由圖2可知，通過FFT 無法分析得出諧波的相位。FFT 的分析結果和SSI 的分析結果對比見表1。

由表1知，同FFT 方法相比，SSI 方法具有更高的辨識精度，且能獲得相位信息，更能滿足實際系統電網中電能計量的需要。

2.2 PSCAD 仿真算例

在PSCAD/EMTDC 仿真軟件中搭建六脈動換流閥接理想電源的拓撲圖，換流閥的主要構成為晶閘管電力電子設備，在實際運行當中會向電網輸入6k±1 次特征諧波，其中k=0,1,2,…,n。本算例通過仿真得到諧波的時域仿真結果，并用SSI 算法對諧波電流進行檢測。系統拓撲結構圖如圖3所示。

表1 FFT 和SSI 的對比結果

圖3 仿真拓撲結構圖

圖3中，L為輸電線路，理想電源的機端電壓為0.2kV，六脈動換流器經過一個0.2kV/0.2kV 的變壓器與理想電源相連，此變壓器僅作為換流器與電源間的接連變壓器使用，接線方式為輸電線路電壓有效值為200V，電流有效值為100A。系統基波頻率為50Hz，信號采樣頻率為100000Hz。

經過PSCAD 時域仿真，得知換流器向電網注入5、7、11、13 次諧波。諧波電流仿真波形圖如圖4所示。

圖4 諧波次數仿真圖

取出線路中三相電流信號，如圖5所示。

圖5 線路電流時域仿真圖

由圖5可知，電流中存在諧波電流，嚴重影響基波電流。

采用SSI 算法對線路中的諧波電流進行辨識，辨識結果見表2。

表2 諧波電流辨識結果

同理，諧波電壓的辨識結果見表3。

表3 諧波電壓辨識結果

故而可根據表2和表3的辨識結果計算出相應諧波次數的電能消耗，相應諧波次數的電能消耗見表4。

表4 諧波次數電能消耗

由表2至表5可知，通過SSI 準確辨識出線路中的諧波電流和諧波電壓的幅值、相位后，即可通過式（18）、式（19）計算出諧波電流、電壓消耗的功率。

3 結論

鑒于FFT 無法辨識出諧波量的相位，小波分析諧波時存在小波基波選取困難的問題，本文提出利用隨機子空間法來分析電網中的諧波電流和諧波電壓參量。

本文通過理想算例將SSI 與FFT 對比分析，驗證了SSI 算法可準確辨識諧波參量，在得到準確的諧波參量前提下，進一步通過成熟的諧波功率計算方法得到較為準確的諧波功率。

在實際電網中，通過隨機子空間法分析諧波電流和諧波電壓的詳細參量可計算出諧波消耗的電能，進一步提高了電能計量的準確度，保證了用戶和電網的利益。

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