別讓一題多解淹沒數學文化

梅磊

研究高考數學試題是高中數學教師的日常工作之一.2012年和2013年湖北卷有兩道類似的高考題，試題如下：

試題1（2012年高考湖北卷理科第6題）設a，b，c，x，y，z是正數，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則=

A. B. C. D.

試題2（2013年高考湖北卷理科第13題）設x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，則x+y+z=_______.

兩道試題主要考查柯西不等式，考生也很容易想到要用柯西不等式.但是文“一道高考題的幾種思考視角”[1]卻給出試題1的5種解法，文“題不在大 有魂則靈”[2]卻給出試題2的8種解法，美其名曰“一題多解”.

這兩道試題，有沒有必要一題多解呢？

眾所周知，一題多解是指對一道試題從多種不同角度進行分析與探究，進而得到多種解法，一題多解的目的在于從多種解法中，探尋最自然的解法和最簡單的解法.讀完文獻[1][2]給出的多種解法，我們不難發現柯西不等式法既是解答這兩道試題最自然的解法，又是解答這兩道試題最簡單的解法，是名副其實的最佳解法，所以對這兩道試題完全沒有必要一題多解.特別是文[1]的解法4和文[2]的解法8，就像“魔術師的帽子突然變出了兔子”一樣，高中生很不容易想到；文[2]的解法6很復雜，高中生很難完成，有點無病呻吟，故弄玄虛之嫌.

既然這兩道試題完全沒有必要一題多解，那么湖北命題組為什么會連續兩年考查同一問題呢？

我們一起來探尋這兩道試題的價值.柯西不等式是新課程新增加的教學內容，因為“高考支持課程改革”，所以考查.此外，《普通高中數學課程標準（實驗）》已經將“體現數學的文化價值”作為高中數學課程的基本理念之一，而柯西不等式有著重要的文化價值.

柯西不等式雖然形式上比較簡單，但在數學各個分支里都有著極其廣泛的應用.它在不同的領域有著不同的表現形式，充分體現了數學各領域的內通性、滲透性和統一性.

柯西不等式在各領域中常見的表現形式如下：

命題1 ?ai，bi∈R，i=1，2，…，n，有

aibi≤[a2][i][bi][2] . 當且僅當存在不全為零的常數k1，k2，使得k1ai+k2bi=0，i=1，2，…，n時，等號成立.

命題2 ?f（x），g（x）∈C[a，b]，有

f（x）g（x）dx≤f2（x）dx·g2（x）dx. 當且僅當存在不全為零的常數k1，k2，使得k1f（x）+k2g（x）=0時，等號成立.

命題3 ?向量α，β，有（α，β）≤αβ.當且僅當存在不全為零的常數k1，k2，使得k1α+k2 β=0時，等號成立.

命題4 ?隨機變量ξ，η，若Eξ2，Eη2存在，則有[Eξη]2≤Eξ2·Eη2.當且僅當存在不全為零的常數k1，k2，使得P（k1ξ+k2η=0）=1時，等號成立.

命題1是高中數學形式，命題2是大學數學分析形式，命題3是大學高等代數形式，命題4是大學概率論形式，雖然問題的涉及角度不同，但表現形式極其相似，命題1～4的左右兩邊結構及各變量之間涉及的運算是多么地對偶、和諧、統一.

命題1～4雖涉及的數學對象不同，但其本質都反映了不同變量間的某種不等關系，且等式成立都體現了它們之間的線性關系.在不同領域，證明方式紛呈多樣，但其證明均與b2-4ac≤0有著類似的地方，故構造一個非負的二次函數，利用判別式法是證明的通法.

命題1～4不僅形式對稱，證法統一，而且相互之間滲透著內在聯系.命題1和命題2只不過是命題3在不同向量空間中的具體表述，也只不過是命題4在不同測度空間中的具體表述，命題3和命題4更具有一般性和抽象性.它體現了代數與分析，概率與分析，高等數學與初等數學之間相互滲透，相互促進的內在聯系.正如希爾伯特所說：“數學是一有機整體，它的生命力依賴于各部分的聯系.”

數學家的故事是數學文化的一種重要展示形式，人教A版課本選修4-5特別安排了“閱讀與思考”《法國科學家柯西》.柯西最重要的貢獻在微積分、復變函數和微分方程等方面.在微積分方面，他率先定義了級數的收斂性，數列和函數的極限，并給出了級數收斂準則和一些判別法；提出關于極限理論的ε-δ（ε-N）方法，給出了函數連續性的概念、定積分的第一個確切定義，以及廣義積分的定義等等.在復變函數方面，他系統地總結了復數理論，探討了柯西—黎曼條件，建立了柯西積分定理和公式；定義了留數，建立了留數定理.在微分方程方面，他研究了微分方程解的存在唯一性定理，開創了微分方程研究的新領域.柯西一生共出版7部著作和800多篇論文，數學中許多公式和定理都以他的名字命名.

綜上所述，上述兩道試題是我們進行關于柯西不等式研究性學習的極好素材，對于我們領悟數學思想方法，認識數學文化價值有著重要意義.試題的文化價值是試題的靈魂，我們在研究高考試題時，千萬不能片面追求一題多解，而忽視了試題的文化價值，否則，就會舍本逐末，得不償失.

參考文獻：

[1] 黃清波.一道高考題的幾種思考視角[J].中學數學（高中版），2012（11）：84.

[2] 查正開.題不在大 有魂則靈——2013年湖北高考理科第13題的解法賞析[J]. 中學數學（高中版），2013（10）：52-54.