直線與圓的位置關系題型分析

朱大志

題型一：直線和圓相切問題

例1 自點A（-3，3）發出的光線ι射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：相切，求光線ι所在直線的方程。

解析：圓關于x軸對稱的圓C'的方程為其圓心為C'（2，-2）。

由題意得ι與圓C'相切。

易得直線ι的斜率存在。

設ι：y-3=k（x+3）。

由ι與圓C'相切，得

整理得

解得

故光線ι所在直線的方程為或，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=O。

題型二：直線和圓相交問題

例2 已知直線ι過點（-2，0），當直線ι與圓有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是（）。

解析：將化為，則該圓的圓心為（1，0），半徑為r=l。

由題意得直線ι的方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0。

設圓心（1，O）到直線ι的距離為d。

由直線ι與圓有兩個交點，得d<

解得。應選c。

題型三：“設而不求”技巧的應用

例3 已知圓和直線交于P、Q兩點，且OP⊥OQ（0為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑。

解析：將x=3-2y代人方程m-0中，得

設點P（x1，y1）、Q（X2，y2），則

由，得

由OP⊥OQ，得，即，即9-6×4+（m+12）=0。解得m-3。

當m=3時，方程的判別式△>0，則m=3滿足題意，此時圓心坐標為，半徑為

題型四：弦長的計算及應用

例4 已知直線ax+by+c=0與圓0相交于A、B兩點，且，則=____。

解析：如圖1，OC⊥AB。

在Rt△OAC中，AC=，OA=1，則∠AOC=60°故∠AOB=120°應填。

題型五：直線與圓的平移問題

例5 將直線2x-y+λ=0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓相切，則實數λ的值為（）。

A.-3或7

B.-2或8

C.O或10

D.1或11

解析：直線2x-y+λ=O沿x軸向左平移1個單位后，所得直線ι的方程為：2（x+1）-y+λ=0。

已知圓的圓心為（-l，2），半徑為

由直線ι與圓相切，得圓心（-l，2）到直線ι的距離等于圓的半徑，即：

解得λ=-3或λ=7。應選A。

題型六：直線與圓的綜合問題

例6 已知直線

（l）求證：對任意m∈R，ι1與ι2的交點P在一個定圓上。

（2）若ι1與定圓的另一個交點為P1，ι2與定圓的另一個交點為P2，當m在實數范圍內取值時，求的面積的最大值及對應的m。