橫看成林側(cè)成峰，一題多解格不同

王榮

在高三復(fù)習(xí)中，對高考題或練習(xí)中的經(jīng)典題進行研究，恰當(dāng)而又適量地采用一題多解，對解題思路多層次分析，多角度審視，探討解題規(guī)律，能“以少勝多”地鞏固基礎(chǔ)知識，提高分析問題和解決問題的能力，掌握基本的解題方法和技巧.本文以2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題為例，從以下幾個角度進行分析探討.

例 設(shè)函數(shù)[fx=ex2x-1-ax+a]，其中[a<1]. 若存在惟一的整數(shù)[x0]，使得[fx0<0]，則實數(shù)[a]的取值范圍是（ ）

A. [-32e，1] B. [-32e，34]

C. [32e，34] D. [32e，1]

這是一道非常優(yōu)秀的試題，作為選擇題，在考場上，我們應(yīng)該采取小題小做的策略，以節(jié)約時間，達(dá)到事半功倍的效果.然而，在高三復(fù)習(xí)備考的解題教學(xué)中，我們可以多角度地剖析這道試題，讓其發(fā)揮更大的功效.

分析1 特殊值法，因題中已有[a<1]的條件，結(jié)合選擇題只有一個正確選項與題中的選擇支，取[a=0]和[a=34]排除ABC，從而得正確答案.

解1 （1）令[a=0]得，[fx=ex2x-1]，

故[f0=-1<0]，[f-1=-3e-1<0]，這與題設(shè)條件矛盾，排除選項AB.

（2）再令[a=34]得，[fx=ex2x-1-34x+34]，則[fx=ex2x+1-34].

當(dāng)[x<-12]時，[fx<0]，

當(dāng)[x>0]時，[fx>f0=14>0]，

即[fx]在[-∞，-12]上是減函數(shù)，在[0，+∞]上是增函數(shù)，

故當(dāng)[x≤-1]時，[fx≥f-1=32-3e>0]，

當(dāng)[x≥1]時，[fx≥f1=e>0]，且[f0=-14<0].

滿足題意，由此排除選項C.

答案 D

點撥 特殊值法解選擇題能事半功倍，但對特殊值的選擇比較難把握，而且有時候選擇的特殊值不一定真正的能達(dá)到簡化的目的，也不易于把握題目的本質(zhì).

分析2 從題干出發(fā)，通過計算[f0]與[f-1]發(fā)現(xiàn)，可先對參數(shù)[a]分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)[fx]的性質(zhì)，進而根據(jù)已知條件得出答案.

解2 （1）當(dāng)[a<32e]時，可得[f0=-1+a<0]，[f-1=2a-3e<0]，這與題設(shè)條件不符，舍去.

（2）當(dāng)[32e≤a<1]時，

得[fx=ex2x+1-a]，[fx=ex2x+3].

若[x<-32]，則[fx<0].

若[x>-32]，則[fx>0].

從而[fx]在[-∞，-32]上是減函數(shù)，在[-32，+∞]上是增函數(shù).

又當(dāng)[x→-∞]時，有[ex2x+1→0.]

且當(dāng)[x<-12]時，有[ex2x+1<0]成立；

當(dāng)[x>-12]時，有[ex2x+1>0]成立.

故存在[t∈-12，0]，使得[ft=0].

因此，若[x若[x>t]，則[fx>0].

所以[fx]在[-∞，t]上是減函數(shù)，在[t，+∞]上是增函數(shù).

且[f0=-1+a<0]，[f1=e>0].

由“存在惟一的整數(shù)[x0]，使得[fx0<0]”得，

[f-1=2a-3e≥0]，解得[a≥32e].

綜上所述，實數(shù)[a]的取值范圍是[32e，1].

答案 D

點撥 用直接法研究函數(shù)的性質(zhì)，對參數(shù)分類討論獲得結(jié)果，此法的難點在于分類標(biāo)準(zhǔn)的確定、導(dǎo)函數(shù)符號的確定以及存在性問題的等價轉(zhuǎn)化.

分析3 由題意得，“存在惟一的整數(shù)[x0]，使得[ex02x0-1-ax0+a<0]成立”等價于“存在惟一的整數(shù)[x0]，使得[ex02x0-1

綜上所述，實數(shù)[a]的取值范圍是[32e，1].

答案 D

點撥 利用分離參數(shù)法研究本題，易錯點在于對變量[x0]分類之后的等價變形.

分析4 當(dāng)[x≠12]時，本題也可以研究參數(shù)[a]對函數(shù)[y=ex]與[y=ax-12x-1]的圖象的相對位置關(guān)系的影響，再根據(jù)題設(shè)條件求解.

解4 由題意得，“存在惟一的整數(shù)[x0]，使得[ex02x0-1（1）當(dāng)[x0>12]時，（*）[?]存在惟一的整數(shù)[x0]，使得[ex0