三角函數常見題型分析

陳侃

三角函數和其他數學知識聯系緊密，且綜合性強，在生產與生活中有著廣泛的應用. 研究發現，高考試卷淡化了對三角函數式化簡的技能、技巧的要求，轉為重點考查三角函數圖象和性質及其應用問題，突出對數學基本能力的考查. 下面圍繞三角函數高考的熱點問題，以近幾年的高考試題為例，分類進行剖析.

三角形中的三角函數

例1 [△ABC]中，[D]是[BC]上的點，[AD]平分[∠BAC]，[△ABD]面積是[△ADC]面積的2倍.

（1）求[sin∠Bsin∠C]；

（2）若[AD=1，DC=22，]求[BD]和[AC]的長.

解析 （1）[S△ABD=12AB?ADsin∠BAD，]

[S△ADC=12AC?ADsin∠CAD，]

因為[S△ABD=2S△ADC]，[∠BAD=∠CAD]，

所以[AB=2AC].

由正弦定理可得[sin∠Bsin∠C=ACAB=12.]

（2）因為[S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，]所以[BD=2].

在[△ABD]和[△ADC]中，由余弦定理知，

[AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB，]

[AC2=AD2+CD2-2AD?CDcos∠ADC，]

故[AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6，]

由（1）知，[AB=2AC]，所以[AC=1].

點撥 此類題主要考查三角函數在三角形中的利用. 解三角形的關鍵是在轉化與化歸思想的指導下，正確、靈活地運用正弦、余弦定理、三角形的面積公式等公式定理，適時、適度地進行“角化邊”或“邊化角”.

三角函數與向量的綜合

例2 已知向量[a=（m，cos2x）]，[b=（sin2x，n）]，設函數[f（x）=a?b]，且[y=f（x）]的圖象過點[（π12，3）]和點[（2π3，-2）].

（1）求[m，n]的值；

（2）將[y=f（x）]的圖象向左平移[φ]（[0<φ<π]）個單位后得到函數[y=g（x）]的圖象.若[y=g（x）]的圖象上各最高點到點[（0，3）]的距離的最小值為1，求[y=g（x）]的單調遞增區間.

解析 （1）由題意知，[f（x）=a?b=msin2x+ncos2x.]

因為[y=f（x）]的圖象過點[π12，3]和[2π3，-2]，

所以[3=msinπ6+ncosπ6，-2=msin4π3+ncos4π3，]

解得[m=3，n=1.]

（2）由（1）知，[f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），]

所以[g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+π6）].

設[y=g（x）]的圖象上符合題意的最高點為[（x0，2）]，

由題意知，[x02+1=1]，所以[x0=0].

即到點[（0，3）]的距離為1的最高點為[（0，2）].

將其代入[y=g（x）]得，[sin（2φ+π6）=1].

因為[0<φ<π]，所以[φ=π6].

因此[g（x）=2sin（2x+π2）=2cos2x].

由[2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z]得，

[kπ-π2≤x≤kπ，k∈Z.]

所以，函數[y=g（x）]的單調遞增區間為[kπ-π2，kπ，][k∈Z].

點撥 此題以平面向量為背景，需要結合平面向量的坐標運算來進行三角函數的化簡與求值. 第二問考查三角函數的平移、伸縮變換，特別是[y=Asin（ωx+φ）]中的[ω，φ]對函數圖象的影響.

三角函數的最值問題

例3 已知函數[f（x）=cosx?sin（x+π3）-3cos2x][+34， x∈R].

（1）求[f（x）]的最小正周期；

（2）求[f（x）]在閉區間[[-π4，π4]]上的最大值和最小值.

解析 （1）由已知得，

[fx=cosx?12sinx+32cosx-3cos2x+34]

[=12sinx?cosx-32cos2x+34]

[=14sin2x-341+cos2x+34]

[=14sin2x-34cos2x]

[=12sin2x-π3].

所以，[fx]的最小正周期[T=2π2=π].

（2）因為[fx]在區間[-π4，-π12]上是減函數，在區間[-π12，π4]上是增函數.

所以[f-π4=-14]，[f-π12=-12]，[fπ4=14].

所以，函數[fx]在閉區間[-π4，π4]上的最大值為[14]，最小值為[-12].

點撥 此題型特別要注意自變量[x]的范圍. 通過函數的單調性來求最值，也可以通過整體換元，再利用三角函數的圖象來求解.

三角函數在實際生活中的應用

例4 某實驗室一天的溫度（單位：[℃]）隨時間[t]（單位：h）的變化近似滿足函數關系：[f（t）=10-3cosπ12t][-sinπ12t，t∈0，24.]

（1）求實驗室這一天的最大溫差；

（2）若要求實驗室溫度不高于[11℃]，則在哪段時間實驗室需要降溫？

解析 （1）因為[f（t）=10-2（32cosπ12t+12sinπ12t）]

=[10-2sin（π12t+π3）]，

又[0≤t<24]，

所以[π3≤π12t+π3<7π3]，[-1≤sin（π12t+π3）≤1].

當[t=2]時，[sin（π12t+π3）=1].

當[t=14]時，[sin（π12t+π3）=-1].

于是[f（t）]在[0，24]上取得最大值12，取得最小值8.

故實驗室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.

（2）依題意知，當[f（t）>11]時，實驗室需要降溫.

由（1）得，[f（t）=10-2sin（π12t+π3）]，

故有[10-2sin（π12t+π3）]>11，

即[sin（π12t+π3）]<[-12].

又[0≤t<24]，

因此[7π6<π12t+π3<11π6]，即[10所以，在10時至18時實驗室需要降溫.

點撥 此題是三角函數在實際生活中的應用，解決這類問題的關鍵是把實際問題轉化成數學問題，然后利用所學的三角函數知識來求解.

通過上述分析，三角函數題都能在教材中尋到基本原型題. 因此，在三角函數復習中，要以課本為主，梳理整合知識點，強化重點內容，提煉數學思想方法，突出通性通法，講究知識的綜合應用，提高分析問題、解決問題的能力.