集合與常用邏輯用語

郭聯福 鄒同儉

縱觀近幾年高考的集合與常用邏輯用語題，可謂精彩紛呈.在設問上，“新而不難，活而不偏”，重視理解、把握了本質.在命題思路上，仍然注重基礎，注重知識交匯. 預計集合與充要條件仍然是考查的重點，命題及真假性的判斷也不能忽視，這種命題思路仍將延續.

元素與集合的關系

這類題主要考查集合的基本概念、對集合的理解、元素與集合的關系，意在考查我們的數形結合能力和運算能力.常用的解法有列舉法、圖解法（畫出數軸或維恩圖）以及語言轉換法等.

例1 已知集合[A=1，2，3，4，5]，[B={（x，y）|x∈A，][y∈A，x-y∈A}，]則[B]中所含元素的個數為（ ）

A. 3 B. 6

C. 8 D. 10

分析 集合[B]中的元素是點集[→] 對[x，y]賦值，[x∈A]，[y∈A][→]判斷[x-y]是否屬于[A][→]進而確定集合[B]中的元素.

解 當[x=5∈A]，[y=1∈A]，

則[x-y=4∈A]，即點[（5，1）∈B].

同理（5，2）[∈][B]，（5，3）[∈][B]，（5，4）[∈][B]，（4，1）[∈][B]，（4，2）[∈][B]，（4，3）[∈][B]，（3，1）[∈][B]，（3，2）[∈][B]，（2，1）[∈][B]，所以[B]中所含元素的個數為10.

答案 D

點撥 求解本題的關鍵是過好三關. 第一關是“區別關”，注意數集與點集的區別. 容易出現兩個方面的錯誤：一是書寫錯誤，如把點集[（1，2）]誤寫為[1，2]或[x=1，y=2]等；二是理解上的錯誤，如把數集[y|y=x2+1，x∈R]錯誤地理解為[（x，y）|y=x2+1，x∈R]或[x|y=x2+1，x∈R]等. 第二關，“運算關”，利用集合元素的三個特性，尤其是元素的互異性判斷元素個數，常把兩個相同的對象錯算作集合中的兩個元素. 第三關“周密關”，對[x，y]賦值，[x∈A]，[y∈A]時要周密，按照一定的順序取值，做到不重不漏.

集合與集合之間的關系

這類題常結合不等式的求解、函數的定義域、值域或新定義等知識，來考查兩個集合之間的包含關系及利用兩個集合之間的包含關系求解參數的取值范圍等.目的是考查我們解不等式的能力、綜合運用知識的能力、數形結合能力以及理解運算能力.

例2 設集合[A={（x，y）|x24+y216=1}]，[B={（x，y）|y=3x}]，則[A?B]的子集個數是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

分析 集合翻譯成圖形語言[→][A]表示橢圓，[B]表示指數函數的圖象[→]利用兩個圖象的交點個數解題.

解 集合[A]是以原點為對稱中心，長半軸長為4，短半軸長為2的橢圓；集合[B]是經過點（0，1）的指數函數的圖象，數形結合，可以找到兩個圖象的兩個交點，所以[A?B]中有兩個元素，[A?B]的子集個數是4.

答案 A

點撥 首先要搞清楚集合的屬性，再根據屬性選擇適當的方法.如本題的兩個集合是兩個圖象上的點集，就可以采用數形結合的方法求解.求兩個點集的交集的子集個數問題的關鍵：首先，過好轉化關，即把求兩個點集的交集的子集個數轉化為求兩個圖象的交點個數問題；其次，過好畫草圖關，把兩個圖象畫出來，注意畫草圖的技巧，關鍵點描出來，記住“草圖不草”；最后，利用列舉法或公式法，求出子集個數.一般地，集合[A=a1，a2，…an]含有[n]個元素，其子集的個數為[2n]，其真子集個數[2n]-1，非空真子集個數[2n-2]，利用這個結論可以加快解題速度.

命題及其關系

這類題主要考查四種命題的關系、邏輯連接詞、全稱量詞與存在量詞等基礎性知識. 特別注意命題的否定與否命題的區別.

例3 設命題[P]：[?n∈N，n2>2n，則?p為]（ ）

A. [?n∈N]， [n2>][2n]

B. [?n∈N]， [n2≤][2n]

C. [?n∈N]， [n2≤][2n]

D. [?n∈N]， [n2=][2n]

分析 將命題中的“存在”改為“任意”[→]將結論進行否定.

解 命題[P]是特稱命題，其否定是全稱命題.

所以[?n∈N，n2>2n，則?p為]：[?n∈N]， [n2≤][2n].

答案 C

點撥 對含有全稱（存在）量詞的命題進行否定需要兩部操作：第一步，將全稱（存在）量詞改寫成存在（全稱）量詞；第二步，將結論加以否定.含有全稱量詞的命題的否定是含有存在量詞的命題.含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題.注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，需要認真判斷.特別注意區別“命題的否定”與“否命題”. 理解記憶常用詞語的否定，如：“都是”的否定是“不都是”“至多有[n]個”的否定是“至少有[n+1]個”等.

充要條件

充要條件既可以全面認識有關數學知識的前因后果，也可以探索數學命題的來龍去脈. 因此充要條件的考題一直受到命題者的青睞. 試題多與集合、函數、方程、不等式、三角函數、立體幾何等知識交匯考查.

例4 “[φ=π]”是“曲線[y=sin（2x+φ）]過坐標原點”的（ ）

A. 充分而且不必要條件

B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

分析 將[φ=π]代入曲線[y=sin（2x+φ）][→]利用誘導公式與三角函數圖象判斷已知曲線是否經過坐標原點[→]由曲線[y=sin（2x+φ）]過坐標原點判斷[φ]是否一定等于[π][→]作出選擇.

解 當[φ=π]時，[y=sin（2x+π）]，

即[y=-sin2x]的圖象經過坐標原點.

條件能推出結論，所以條件是充分的.

反過來，當曲線經過坐標原點時，[φ=kπ]，[k∈Z]不一定有[φ=π]，即結論不能推出條件.

所以條件是結論成立的不必要條件.

答案 A

點撥 （1）充要條件的判斷問題，一定要先搞清楚誰是條件，誰是結論，條件能否推出結論. 若能，則條件是結論成立的充分條件；再看結論能否推出條件，能，則條件是結論成立的必要條件；能夠互推，則條件是結論成立的充要條件.

（2）本題是三角函數與充要條件交匯的問題，解題突破口是熟練掌握三角公式和三角函數的圖象與性質，并且抓住充要條件的定義和“以小推大”（小范圍是大范圍的一部分，小范圍成立則大范圍必成立）的技巧.

（3）充要條件的命題范圍很廣，可以以數學中任意的知識作為背景命題，但萬變不離其宗，緊扣（1）即可. 同時注意該知識的特性，結合起來考慮是可以輕松解決的. 注意，對假命題的判斷只需舉一個反例就行了.